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有限集合子集的个数问题研究


上海市普教科研30年纪念研讨会

对有限集合子集个数问题 的探究
上海市敬业中学 胡晓丽 2012.9.27

一、 问题引入 课本(练习 1.2)中有这样一道习题: 写出满足 M ? {a,b} 的所有集合 M ;

?,{a} ,{b} ,{a,b}

二、问题探究

集 合

集合的子集
?, {a} ,{b} ,{a,b}

子集个数

{a,b}

4 8

{a,b,c}

{a, c} ,{b, c} ,{a,b, c}
*

?, { a} ,{b} ,{c} , {a,b} ,

M ) {a ,a ,?,a }(n ? N ? {a,b} ? {a,b,c} ?
1 2 n





二、问题探究
集 合 集合 的子集

{a,b} {a,b,c} {a,b,c,d }

?, { a} , {b} ,{ a,b}

{c },{a,c},{b, c},{a,b,c }
(

?, { a} , {b} ,{ a,b}

?, {a} ,{b} ,{c} , {a,b} , {a,c} , {b, c} , {a,b, c}

{d } ,{a, d } ,{b, d } ,{c, d } ,{a,b, d } ,{a, c, d } ,{b, c, d } ,{a,b, c, d }

a1,a2 ,?,an } n ? N * n 元有限集合 {

) 的子集个数为 2

n

三、提升演练 例题 1
1 2

满足条件
1 m 2 1 2 3 4 5 6

{a ,aa,a } { 1 ,a ,a ,a n {a ,a 1,?,a 3 } ? M ? {aa,a, a2 ,?,a,a}} { 2 ,a
的集合 M 的个数为

2

n-m

. m < n,m,n ? N *

(

)

= = 2, 3, a2 6, 7,8, 9,10 ( 1 例题 2 已知 AA {1,{ a1,4, 5,,?, an } , }a,,a2 ,?,an ? R)

对于集合 X ? A ,定义 S ( X ) 为 X 中 所有元素之和,求全体 S ( X ) 的总和 S .

S = a1 + a2 +?+ an × 2

(

)

n-1

练习 一个四元集合 S 的所有子集的元素和的 总和为 2012 ,则集合 S 中的元素的和为_____.

你能从哪些角度对这个问题做推广?

增加元素个数
增加集合个数

增加元素个数

3 3
n

3

7

2

增加集合个数

7

n



五、课堂小结
进一步理解集 合之间的关系 本节课有什 么收获?

学会解决集合问 题的基本方法
体验归纳、类比、 推广等数学思想

再 见!


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