当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2014全国高中数学联赛二试B卷试题和解答修正


2014全国高中数学联赛二试B卷试题和解答修正
第三题解答的修正: 三、给定正整数k ≥ 2,a,b 是非零整数,且 a+b 为奇数,假定方程ak x ? bk y = a ? b 有整 数解 x,y, 其中. 0 < | ? | ≤ 2,证明:|a-b|是某个整数的 k 次幂 解: 因0 < | ? | ≤ 2, ∴ ?2 ≤ x ? y ≤ 2 且 x ≠ y,x, y 是整数。 ∴ x ? y = ±1 或 x ? y = ±2. a + b 是奇数,a, b 一奇一偶。 k 当a 为奇数, x = y + 1 时:a x ? bk y = a ? b。 ak y + ak ? bk y = a ? b.
a k ?b k y a ?b

+ a ?b = 1

ak

a ? b (ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 )y ak + =1 a?b a?b a + b 为奇数, ∴ ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 为奇数 y 为整数 ∴
ak a ?b

也为整数, a ? b 是ak 的约数。

当|a ? b| = ak 这时:y = 0, x = 1是方程的解。 t r 当|a ? b| ≠ ak 时,只能 a ? b = c1 c2 , 这里 t, r ≤ k, c1, c2 是 a 的约数, 可设 a = c1 c2 c3 c1, c2 至少有一个 ≠ 1 t r t r k t r k t ?1 r ?1 k k 于是b = a ± c1 c2 , b = [a ± c1 c2 ] = [c1 c2 c3 ± c1 c2 ] = (c1 c2 )k (c3± c1 c2 ) ak ? bk y ak + =1 a?b a?b t ?1 r ?1 k [ c1 c2 c3 )k ? c1 c2 k (c3± c1 c2 ) ]y (c1 c2 c3 )k + =1 t r t r ±c1 c2 ±c1 c2 k ?t k ?r k k ?t k ?r t ?1 r ?1 k k ?t k ?r k [±c1 c2 c3 ? c1 c2 c3± c1 c2 ) y ± c1 c2 c3 =1
k ?t k ?r t ?1 r ?1 k k ±c1 c2 [2c3 ? (c3± c1 c2 ) ]y=1,

因为 c1, c2 至少有一个 ≠ 1, ∴ 这是不可能的。 ∴ a ? b 只能 = ak 当b 为奇数时:ak x ? bk y = a ? b。 a ? b (ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 )y ak ? bk + bk + =1 a?b a?b a ? b ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 (y + 1) bk + =1 a?b a?b ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 y + 1 + bk =1 a?b

同理: a ? b = bk 时,y = ?1, x = 0 是解。 k a ? b ≠ b 时,同理可证,方程无整数解。 当x = y ± 2 时:
a k ?b k y a ?b

±

2a k a ?b

= 1,同理可证,方程无整数解。

∴ 方程有整数解时,|a ? b||是 ak 或bk


相关文章:
2014全国高中数学联赛二试B卷试题和解答修正.doc
2014全国高中数学联赛二试B卷试题和解答修正_学科竞赛_高中教育_教育专区。上次第3题解答有误,现在是修正后的解答。 2014全国高中数学联赛二试B卷试题和解答修正第...
2016年全国高中数学联赛试题与解答(B卷)(一试、二试(加....doc
高中| 联赛| 数学|2016年全国高中数学联赛试题与解答(B卷)(一试、二试(加试)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016 年全国高中数学联赛试题与解答 B 卷(一试、二...
2014全国高中数学联赛B卷试题及答案.pdf
2014全国高中数学联赛B卷试题答案 - 2014 0 8 . . (B ) . 1 2 f (x) y=2 (0, 0), (1, 1) 3 2, 2 (2, 3) f 3 2 ...
2014全国高中数学联赛 B卷(2试).pdf
2014全国高中数学联赛 B卷(2试) - 2014 年全国高中数学联赛 B 卷加试试题 考试时间:2014 年 9 月 14 日上午 9:40~12:10 一、如下图, H 是三个半径同...
2014年全国高中数学联赛模拟试题(2卷)(附详细解答).doc
2014 年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试 (考试时间:80 分钟 满分:1
2014年全国高中数学联赛试题B卷.doc
2014年全国高中数学联赛试题B卷 - 2014 年全国高中数学联赛试题 B 卷一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 若函数 的折线,则(0,0),(1,1)和(2,3)...
2014年全国高中数学联赛试题及答案.doc
2014 年全国高中数学联赛(B 卷) 一一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 试 f ( x) ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 . 2. 已知函数 ...
2014年全国高中数学联赛试题及解答.doc
2014年全国高中数学联赛试题解答 - 2014 年全国高中数学联合竞赛试题(A 卷) 一试 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1 1 1. 若...
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)_图文.doc
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版) - 2017 年全国高中数学联赛 A 卷 一试 一、填空题 1. 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,对任 ...
2014全国高中数学联赛试题(A卷).doc
2014全国高中数学联赛试题(A卷)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014 全国高中数学联赛试题(A 卷) 一试一、填空题 1、若正数 a , b 2 ? log2 a ? 3 ? ...
2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)解答.pdf
2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)解答 - 2014 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷) 参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只...
2014全国高中数学联赛 B卷(1试).doc
2014全国高中数学联赛 B卷(1试) - 2014 年全国高中数学联赛一试试题 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1、若函数 B卷 . f ( x) 的图像是由依次...
2014年全国高中数学联赛模拟卷(含答案).doc
2014年全国高中数学联赛模拟卷(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014 年...c2 ? d 2 . a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b 三、 (本题满分 50...
2014年高中数学联赛二试解答.pdf
2014年高中数学联赛二试解答 - 蕴 秀 斋 2014 年高中数学联赛二试解答 ? 一、实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 , abc ? 0 。求证: ab ? b...
2014全国高中数学联赛模拟题.doc
1 (即 am , an 互质) 2 2014 全国高中数学联赛模拟题参考答案 1、 (?2,...一试 c a b c a b?c ? ? ? ? ? ?1 ? 3 ?1 ? 2 a b?c c ...
2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc
2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷) - 2016 年全国高中数学联赛(B 卷)一试 一、选择题: (每小题 8 分,共 64 分) 1.等比数列 ?an ? 的各项均...
2015年全国高中数学联赛模拟卷二试_图文.doc
2015年全国高中数学联赛模拟卷二试_数学_高中教育_教育专区。2014 年全国
2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc
2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷) - 2017 年全国高中数学联合竞赛一试(B 卷) 一、填空题:本大题共 8 个小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.在...
2014年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试_附详细解答).doc
2014年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试_附详细解答)_数学_高中教育_...c2 ? d 2 . a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b 三、 (本题满分 50...
2014年全国数学联赛一试答案.pdf
2014年全国数学联赛一试答案 - 2014 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷) 参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0...
更多相关标签: