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2016-2017学年高中数学人教版必修1课件:1.3.1 第一课时 函数的单调性_图文

1.3 1.3.1

函数的基本性质 单调性与最大(小)值 函数的单调性

第一课时

[提出问题] 观察下列函数图象:

问题1:从图象上看,自变量x增大时,函数f(x)的值如何变 化?
提示:甲图中,函数f(x)的值随x增大而增大. 乙图中,函数f(x)的值随x增大而减小. 丙图中,在y轴左侧,函数f(x)的值随x的增大而减小; 在y轴右侧,函数f(x)的值随x的增大而增大.

问题2:甲、乙图中,若x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是 什么?
提示:甲图中,若x1<x2,则f(x1)<f(x2); 乙图中,若x1<x2,则f(x1)>f(x2).
问题3:丙图中,若x1<x2,f(x1)<f(x2),则自变量x属于哪个 区间?

提示:(0,+∞).

[导入新知] 1.定义域为I的函数f(x)的增减性

2.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函 数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性 ,区间D叫做y=f(x) 的 单调区间 .

[化解疑难] 1.x1,x2的三个特征 (1)任意性,即x1,x2是在某一区间上的任意两个值,不能以 特殊值代换; (2)有大小,即确定的两个值x1,x2必须区分大小,一般令 x1<x2; (3)同属一个单调区间. 2.理解函数的单调性应注意的问题 (1)函数的单调性是函数的局部性质,体现在函数的定义域 或其子区间上,所以函数的单调区间是其定义域的子集.

(2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在 单调性. (3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用 1 “∪”连接,而应该用“和”连接.如函数y= x 在(-∞,0)和 1 (0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数y= x 在(-∞,0)∪ (0,+∞)上单调递减. (4)并非所有的函数都具有单调性.如函数f(x)=
? ?1,x是有理数, ? ? ?0,x是无理数

就不具有单调性.

由函数图象说明函数的单调性
[ 例 1] (1) 函数 y = f(x) 的图象如图所 ( )

示,其增区间是 A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4]

(2)画出函数 y=-x2+2|x|+1 的图象并写出函数的单调区间.

[解] (1)选 C 根据函数单调性定义及函数图象知 f(x)在[- 3,1]上单调递增.
2 ? ?-x +2x+1, (2)y=? 2 ? ?-x -2x+1, 2 ? ?-?x-1? +2, y= ? 2 ? ?-?x+1? +2,

x≥0, x<0, x≥0, x<0,



函数图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1],单调 减区间为[-1,0],[1,+∞).

[类题通法] 由图象确定函数单调性的方法及注意事项 (1)图象从左向右上升,则函数递增;图象从左向右下降, 则函数递减. (2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能 用“∪”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接.

[活学活用] 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3|x|; (2)f(x)=|x2+2x-3|.
? ?3x,x≥0, 解:(1)f(x)=3|x|=? ? ?-3x,x<0.

图象如图所示.

f(x)的单调递减区间为(-∞,0],单调递增区间为[0,+∞).

(2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出g(x)的图象,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方 的图象翻到x轴上方就得到f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示.

由图象易得函数的递增区间是[-3,-1],[1,+∞);函数的递 减区间是(-∞,-3],[-1,1].

函数单调性的证明

[例 2]

1 求证:函数 f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数,在(-∞, x
证明:对于任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,

0)上是增函数.
[解 ] 1 1 有f(x1)-f(x2)= 2- 2 x1 x2
2 x2 ?x2-x1??x2+x1? 2-x1 = 2 2 = . 2 2 x1x2 x1 x2 2 ∵x1<x2<0,∴x2-x1>0,x1+x2<0,x2 x 1 2>0.

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 1 ∴函数f(x)= 2在(-∞,0)上是增函数. x

对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,有 ?x2-x1??x2+x1? f(x1)-f(x2)= . 2 2 x1 x2
2 ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,x2 x 1 2>0.

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 1 ∴函数f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数. x

[类题通法] 利用定义证明函数单调性的步骤

[活学活用] 证明函数 f(x)=- x在其定义域上是减函数.
证明:f(x)=- x的定义域为[0,+∞). 设0≤x1<x2,则x1-x2<0, 且f(x2)-f(x1)=(- x2)-(- x1)= x1- x2 ? x1- x2?? x1+ x2? x1-x2 = = . x1+ x2 x1+ x2 ∵x1-x2<0, x1+ x2>0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1). ∴f(x)=- x在它的定义域[0,+∞)上是减函数.

由函数的单调性求参数的取值范围
[例3] (1)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-

a)<f(2a-1),则a的取值范围是________. (2)已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,求实数a的 取值范围.
? ?-1<1-a<1, (1)由题意可知? ? ?-1<2a-1<1,

[解 ]

解得0<a<1.



又∵f(x)在(-1,1)上是减函数, 且f(1-a)<f(2a-1), ∴1-a>2a-1,

2 即a< . 3



2 由①②可知0<a< , 3
? 2? 即所求a的取值范围是?0,3?. ? ?

(2)函数f(x)=x2-2ax-3的图象开口向上,对称轴为直线x= a,画出草图如图所示.

由图象可知函数在(-∞,a]和[a,+∞)上分别单调,因此要 使函数f(x)在区间[1,2]上单调,只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时, 函数f(x)在区间[1,2]上单调递增;当a≥2时,函数f(x)在区间[1,2] 上单调递减),从而a∈(-∞,1]∪[2,+∞). [答案]
? 2? (1)?0,3? ? ?

[类题通法] “函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别 单调区间是一个整体概念,说函数的单调递减区间是I,指 的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调, 则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的 单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件含义.

[活学活用] a 若f(x)=-x +2ax与g(x)=x在区间[1,2]
2

上都是减函数,则a的取值范围是 A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) B.(-1,0)∩(0,1) D.(0,1]

(

)

a 解析:因为g(x)= x 在区间[1,2]上是减函数,所以a>0.因为函数 f(x)=-x2+2ax的图象开口向下,对称轴为直线x=a,且函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以a≤1.故满足题意的a的取值范 围是(0,1]. 答案:D

4.研究函数的单调性易忽视定义域

[典例] 已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x- 2)<f(1-x),则x的取值范围为________.

[解析]

? ?-1≤x-2≤1, 由题意,得? ? ?-1≤1-x≤1,

解得1≤x≤2.



因为f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数, 且f(x-2)<f(1-x),所以x-2<1-x, 3 解得x< . ② 2 3 由①②得1≤x< . 2 [答案]
? 3? ?1, ? 2? ?

[类题通法] 1.上题易忽视函数的定义域为[-1,1],直接利用单调性 3 得到不等式x-2<1-x,从而得出x< 的错误答案. 2 2.解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”,从而转化为熟悉的不等式.若函数y=f(x)在区间D上是增 函数,则对任意x1,x2∈D,且f(x1)<f(x2),有x1<x2;若函数y= f(x)在区间D上是减函数,则对任意x1,x2∈D,且f(x1)<f(x2), 有x1>x2.需要注意的是,不要忘记函数的定义域.

[成功破障] 函数 y= x+1的单调递增区间为________.
解析:∵x+1≥0,∴x≥-1, ∴函数y= x+1的单调递增区间为[-1,+∞). 答案:[-1,+∞)

[随堂即时演练]
f?x1?-f?x2? 1.下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有 x1-x2 >0”的是 2 A.f(x)=x B.f(x)=-3x+1 C.f(x)=x2+4x+3 1 D.f(x)=x+x ( )

f?x1?-f?x2? 2 解析: >0?f(x)在(0,+∞)上为增函数,而f(x)= x 及 x1-x2 f(x)=-3x+1在(0,+∞)上均为减函数,故A,B错误;f(x)=x 1 + x 在(0,1)上递减,在[1,+∞)上递增,故D错误;f(x)=x2+4x +3=x2+4x+4-1=(x+2)2-1,所以f(x)在[-2,+∞)上递 增,故只有C正确. 答案:C

2.函数f(x)=|x|,g(x)=x(2-x)的递增区间依次是 A.(-∞,0],(-∞,1] B.(-∞,0],(1,+∞) C.[0,+∞),(-∞,1]
解析:分别作出f(x)

(

)

D.[0,+∞),[1,+∞)

与g(x)的图象(图略)得:f(x)在[0,+∞)

上递增,g(x)在(-∞,1]上递增,选C. 答案:C

3.已知函数f(x)是(0,+∞)上的减函数,则f(a -a+1)与f

2

?3? ? ? ?4?



大小关系是_________________________________________.

解析:∵a

2

? 1 ?2 3 3 -a+1=?a-2? + ≥ >0, 4 4 ? ?

又∵f(x)是(0,+∞)上的减函数, ∴ f(a
2

?3? -a+1)≤f?4?. ? ?
2

答案:f(a

?3? -a+1)≤f?4? ? ?

4.已知函数f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-∞,4]上是减函数,则实数 a的取值范围为________.

解析:∵f(x)=x2-2(1-a)x+2 =[x-(1-a)]2+2-(1-a)2, ∴f(x)的单调递减区间是(-∞,1-a]. 又∵函数f(x)在(-∞,4]上是减函数, ∴1-a≥4,即a≤-3. ∴所求实数a的取值范围是(-∞,-3]. 答案:(-∞,-3]

1 5.求证:函数y= 在区间(1,+∞)上为单调减函数. x- 1
证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则 ?x2-1?-?x1-1? x 2 - x1 1 1 y1-y2= - = = . x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? ?x1-1??x2-1? ∵x2>x1>1,∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0, x2-x1 ∴ >0,∴y1>y2, ?x1-1??x2-1? 1 ∴函数y= 在区间(1,+∞)上为单调减函数. x-1

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