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广州市2015届高三调研考试数学(文科)调研考


2015 年 1 月广州市高三年级调研测试

数 学(文科)

2015.1

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂 的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知 i 为虚数单位,复数 z ? ?1 ? 2i ? i 对应的点位于 A.第一象限 A. B.第二象限 C.第三象限
N?

2. 已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 1? , N ? x | y ? x ,则 M

?

?

D.第四象限 D.

?x | 0 ? x ? 1?
2

B.

?x | 0 ? x ? 1?

C.

?x | x ? 0?

?x | ?1 ? x ? 0?

3. 命题“若 x ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题是 A.若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 B.若 x 2 ? 0 , 则 x ? 0 C.若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 D.若 x 2 ? 0 ,则 x ? 0 4. 设向量 a ? ( x,1) , b ? (4, x) , a ? b ? ?1 , 则实数 x 的值是 A. ? 2 B. ? 1 C. ?

5. 函数 f ? x ? ? 1 ? 3 tan x cos x 的最小正周期为 A. 2? B.

?

?

1 3

D. ?

1 5

3? 2

C. ?

D.

? 2

6. 一算法的程序框图如图 1,若输出的 y ?

则输入的 x 的值可能为 A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 5 7. 用 a , b , c 表示空间中三条不同的直线, ? 表示平面, 给出下列命题: ① 若 a ? b , b ? c , 则 a ∥c ; ② 若 a ∥b , a ∥c , 则 b ∥c ; ③ 若 a ∥? , b ∥? , 则 a ∥b ; ④ 若 a ? ? , b ? ? , 则 a ∥b . 其中真命题的序号是 A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 8. 已知 log2 a ? log 2 b ,则下列不等式一定成立的是 A.

1 , 2

开始

输入整数 x 否

x ? 2?


1 1 ? a b

B. log2 ? a ? b? ? 0

?? ? y ? sin ? x ? ?6 ?
输出 y 结束

y ? 2x

C. ? ? ? ?

?1? ? 3?

a

?1? ? ?2?

b

D. 2

a ?b

?1

第 1 页(共 4 页)

9. 已知双曲线 C :

x2 图1 ? y 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的 3 直线与双曲线 C 的右支相交于 P , Q 两点,且点 P 的横坐标为 2 ,则△ PF1Q 的周长为
A.

14 3 3 ? 1 ? ? 2 ? 10. 已知函数 f ? x ? ? x ? sin ? x ? 3 , 则 f ? ?? f ? ?? ? 2015 ? ? 2015 ?
B. 5 3 C.

16 3 3

D. 4 3

? 3 ? f? ?? ? 2015 ?

? 4029 ? ?f? ?的 ? 2015 ?

值为 A. 4029 B. ?4029 C. 8058 D. ?8058 二、填空题: 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是
2



??1 ? x ? 1, 12. 在平面直角坐标系 xOy 中,设不等式组 ? 所表示的平面区域是 W ,从区域 W 中随机取点 ?0 ? y ? 2

M ? x, y ? ,则 OM ? 2 的概率是
2 2

. .

B O A E
图2

13. 已知实数 x , y 满足 x ? y ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值为
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 2,圆 O 的直径 AB ? 9 ,直线 CE 与圆 O 相切于点 C ,

AD ? CE 于点 D ,若 AD ? 1 ,设 ?ABC ? ? ,则 sin ? ? ______.
15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2cos? 的交点分别为 A , B , 则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为______.

C

D

三、解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ? a cos x ( x ? R ) ,

(1)求 a 的值,并求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 ? , ? ? ? 0,

? 是函数 f ? x ? 的一个零点. 4

?? 10 3? ? ?? ? ? , f ?? ? ? ,且 f ? ? ? ? ? 4? 5 4 ? 2? ? ?

? 3 5 ,求 sin ?? ? ? ? 的值. ?? 5 ?

第 2 页(共 4 页)

17. (本小题满分 12 分) 某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析 研究, 他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白 天平均气温 x(° C) 与该奶茶店的这种饮料销量 y(杯) , 得到如下数据: 日 期 1 月 11 日
[来源:Zxxk.Com]

1 月 12 日 10 25

1 月 13 日 12 30

1 月 14 日 11 26

1 月 15 日 8 21

平均气温 x (° C) 9 销量 y (杯)

23

[来源:学#科#网]

(1)若从这五组数据中随机抽出 2 组,求抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率;

? ?a ? ? bx ?. (2)请根据所给五组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
?? (参考公式: b

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

? ? x ? x?
n i ?1 i

2

? . ? ? y ? bx ,a )

18. (本小题满分 14 分) 如图 3,在多面体 ABCDEF 中, DE ? 平面 ABCD , AD ∥BC ,平面 BCEF 平面 ADEF ? EF ,

E

?BAD ? 60? , AB ? 2 , DE ? EF ? 1 . (1)求证: BC ∥EF ; (2)求三棱锥 B ? DEF 的体积.

F
图3

D C

A

B

19. (本小题满分 14 分)

3 ,公比不等于 1 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 ?2S2 , S3 , 4 S 4 成等差数列. 2 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
已知首项为 (2)令 bn ? n an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? bn ? 6 .

第 3 页(共 4 页)

20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且经过点 ? 0,1? .圆 C1 : x2 ? y 2 ? a2 ? b2 . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,且 l 与圆 C1 相交于 A, B 两点,
问 AM ? BM ? 0 是否成立?请说明理由.

第 4 页(共 4 页)

21. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ? x ? ? ax2 ? b ln x 在点 1, f ?1? 处的切线为 y ? 1 .

?

?

(1)求实数 a , b 的值;

(2)是否存在实数 m ,当 x ? ? 0,1? 时,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x2 ? m ? x ?1? 的最小值为 0 ,若存在, 求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)若 0 ? x1 ? x2 ,求证:

x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

第 5 页(共 4 页)

2015 年广州市高三年级调研测试
数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 D 8 C 9 A 10 D

二. 填 空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共 5 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 20 分. 其 中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. ? ?1,3? 12.

2? ? 3 3 12

13. 2

14.

1 3

15. ? sin(? ?

?
4

)?

2 2

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (1)解:∵ 是函数 f ? x ? 的一个零点,

? 4

? ? ?? ? ? ? sin ? a cos ? 0 . 4 4 ?4? ∴ a ? ?1 . ∴ f ? x ? ? sin x ? cos x
∴ f?

????????????????1 分 ??????????????????2 分

? 2 ? 2 ? 2? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 ? ? ?? ? ? 2 sin ? x ? ? . 4? ?
由 2 k? ? 得 2 k? ?

??????????????????3 分 ??????????????????4 分

?

3? , k ? Z , ??????????????????5 分 4 4 ? 3? ? ? (k ? Z ) . ???????6 分 ∴ 函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 2k? ? , 2k? ? 4 4? ? ? ? x ? 2k? ?
(2)解:∵ f ? ? ?

?

2

? x?

?

4

? 2k? ?

?

2

, k ?Z ,

10 , ?? 4? 5 10 ∴ 2 sin ? ? . 5 5 ∴ sin ? ? . 5 ? ?? ∵ ? ? ? 0, ? , ? 2?

? ?

??

??????????????????7 分

第 1 页(共 8 页)

∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ∵f ?? ?

2 5 . 5

??????????????????8 分

? 3 5 , ?? 5 ? ?? 3 5 ? ∴ 2 sin ? ? ? ? ? . 2? 5 ?
3 10 . 10 ? ?? ∵ ? ? ? 0, ? , ? 2?
∴ cos ? ? ∴ sin ? ? 1 ? cos
2

? ?

3? 4

??????????????????9 分

10 . ??????????????????10 分 10 ∴ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ????????????????11 分

??

5 3 10 2 5 10 ? ? ? 5 10 5 10 2 . ?????????????????12 分 ? 2 ?
17. (本小题满分 12 分) (1)解:设“选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据”为事件 A . ?????????????1 分 所有基本事件(m,n) (其中 m,n 为 1 月份的日期数)有: (11,12) , (11,13) , (11,14) , (11,15) , (12,13) , (12,14) , (12,15) , (13,14) , (13,15) , (14,15)共 10 种. ????3 分 事件 A 包括的基本事件有(11,12) , (12,13) , (13,14) , (14,15)共 4 种. ????5 分 ∴ P( A) ?

4 2 ? . 10 5
25 ? ? ?

????????????????6 分

(2)解:由数据,求得 x ?
3 ?? 2 ? ? ? ?9 ? 1 0 b

9 ? 10 ? 12 ? 11 ? 8 23 ? 25 ? 30 ? 26 ? 21 ? 10 , y ? ? 25 . ???8 分 5 5
1 ?0 ?? 1 0 ?2?5 ? ? 2 5 ??? 12 10 ? 30 ? 2 ?? 5 ? ? ?
2

1 1 ?? 1?0 ? 26 ?? ?2 5

?9 ? 1 0 ? ??

1? 0 ? 10 ??
2

?1 2 ? ? 1? 0 ? 1? 1? ?1 0 ?
2 2

?

8 10

2

8 ? 10 ?? 2.1

21

25

? ? y ? ?b x? a 4,

????????????????10 分

? ? 2.1x ? 4 . ∴ y 关于 x 的线性回归方程为 y ????????????????12 分 18. (本小题满分 14 分) E (1)证明:∵AD ∥BC , AD ? 平面 ADEF , BC ? 平面 ADEF , ∴ BC ∥ 平面 ADEF . ???????2 分 又 BC ? 平面 BCEF ,平面 BCEF 平面 ADEF ? EF , F ∴BC ∥EF . ????????????4 分 (2)解: 在平面 ABCD 内作 BH ? AD 于点 H , D ∵DE ? 平面 ABCD , BH ?平面 ABCD , ∴DE ? BH . ????????????5 分 C H ∵ AD ? 平面 ADEF , DE ? 平面 ADEF , AD DE ? D , ∴BH ? 平面 ADEF . ????????????7 分 ∴BH 是三棱锥 B ? DEF 的高. ????????????8 分
在 Rt△ ABH 中, ?BAD ? 60o , AB ? 2 ,故 BH ? 3 . A ????????????9 分 ∵ DE ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , ∴ DE ? AD. ????????????10 分 BC EF AD BC 由(1)知, ∥ ,且 ∥ , ∴ AD ∥EF . ????????????????11 分
第 2 页(共 8 页)

B

∴ DE ? EF .

????????????????12 分

1 1 1 3 ∴ 三棱锥 B ? DEF 的体积 V ? ? S?DEF ? BH ? ? ? 1? 1? 3 ? . ???????14 分 3 3 2 6

19. (本小题满分 14 分) (1)解:由题意得 2S3 ? ?2S2 ? 4S4 , 即 ? S4 ? S2 ? ? ? S4 ? S3 ? ? 0 , 即 ? a4 ? a3 ? ? a4 ? 0 . ∴

????????????????1 分

????????????????2 分 ????????????????3 分

a4 1 ?? . a3 2
1 . 2
n ?1

∴ 公比 q ? ?

????????????????4 分 ????????????????5 分 ????????????????1 分 . ????????????????2 分 ????????????????4 分 ????????????????5 分
n ?1

3 ? 1? ∴ an ? ? ? ? ? . 2 ? 2? 另解:由题意得 2S3 ? ?2S2 ? 4S4 , q ? 1 ,


a1 ?1 ? q3 ? 1? q

1? q 1 化简得 2q 2 ? q ? 1 ? 0 ,解得 q ? ? , 2
3 ? 1? ∴ an ? ? ? ? ? 2 ? 2?
n ?1

??

a1 ?1 ? q 2 ? 1? q

?

2a1 ?1 ? q 4 ?

.

3 ?1? (2)解: bn ? n an ? n ? ? ? ? 2 ?2?

3n , 2n 3 6 9 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 2 3 ? n ? 1? 3n 1 3 6 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1, ② 2 2 2 2n 2 ?
1 2 3 3 3 ? ? ? 21 22 23

????????????????6 分

?

3n , ① ???????????7 分 2n

????????????????8 分

①? ② 得, Tn ?

1 ? 1? ? 1 ? ? n ? 3 3n 3n ? 6 n ? n ? n ?1 ? 3 ? 2 ? 2 ? ? 3 ? 3 ? n ?1 , n ?1 2 2 1 2 2 1? 2
????????????????10 分 ????????????????12 分 ????????????????14 分

3n ? 6 . 2n 6 ∴ Tn ? bn ? 6 ? n ? 6 . 2
∴ Tn ? 6 ? 20. (本小题满分 14 分) (1)解:∵ 椭圆 C : ∴ b ? 1.
2

x2 y 2 ? ? 1 过点 ? 0,1? , a 2 b2
????????????????1 分 ????????????????2 分
第 3 页(共 8 页)



c 3 2 ? , a ? b2 ? c 2 , a 2

∴a ? 4.
2

????????????????3 分
2

x ? y 2 ? 1. ????????????????4 分 4 (2)解法 1:由(1)知,圆 C1 的方程为 x2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O . ?????????5 分 ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M , ? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? y ? 1 ? ?4 2 2 2 由(*)得 ?1 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ??????????????6 分
∴椭圆 C 的方程为 从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .①

???????7 分

4k 2 m m 8km 4km ?m? , yM ? kxM ? m ? ? . ?????9 分 xM ? ? ?? 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?1 ? 4k ?

m ? ? 4km . ??????????????10 分 , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ? 由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 , m 2 1 ∴ kOM ? k ? 1 ? 4k ? k ? ? ? ?1 . ??????????????11 分 4km 4 ? 1 ? 4k 2 ∴ OM 与 AB 不垂直. ??????????????12 分 ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ??????????????13 分 ∴ AM ? BM ? 0 不成立. ??????????????14 分 2 2 解法 2:由(1)知,圆 C1 的方程为 x ? y ? 5 ,其圆心为原点 O . ?????????5 分 ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M , ? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 2 由(*)得 ?1 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ??????????????6 分
∴ 点 M 的坐标为 ? ? 从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① ???????7 分

8km 4km , ???????????????????8 分 ?? 2 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k ? 由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 , 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 N ? xN , yN ? , xM ? ?
? y ? kx ? m, 2 2 2 消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2kmx ? m ? 5 ? 0 .????????????9 分 2 2 x ? y ? 5, ? x ? x2 km ?? ∴ xN ? 1 . ??????????????10 分 2 1? k 2 km 4km ?? 若 xN ? xM ,得 ? ,化简得 3 ? 0 ,矛盾. ????????????11 分 2 1? k 1 ? 4k 2 ∴ 点 N 与点 M 不重合. ??????????????12 分 ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ??????????????13 分 ∴ AM ? BM ? 0 不成立. ??????????????14 分
由?
第 4 页(共 8 页)

21. (本小题满分 14 分)

(1)解:∵ f ? x ? ? ax2 ? b ln x ,其定义域为 ? 0, ??? ,

b ∴ f ?( x) ? 2ax ? . x ? f (1) ? a ? 1, 依题意可得 ? ? f ?(1) ? 2a ? b ? 0.
解得 a ? 1, b ? 2 .
2

????????????????1 分 ????????????????2 分 ????????????????4 分

(2)解: g ( x) ? f ( x) ? x ? m( x ? 1) ? m( x ? 1) ? 2ln x, x ? (0,1] , 2 mx ? 2 ∴ g ?( x) ? m ? ? . ????????????????5 分 x x ① 当 m ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,则 g ( x) 在 (0,1] 上单调递减, ∴g ( x)min ? g (1) ? 0 . ② 当 0 ? m ? 2 时, g ?( x) ? ∴g ( x)min ? g (1) ? 0 . ③ 当 m ? 2 时,则 x ? ? 0,
m( x ? x

????????????????6 分
2 ) m ? 0 ,则 g x 在 (0,1] 上单调递减, ? ?

????????????????7 分

2? ?2 ? ? 时, g? ? x ? ? 0 ; x ? ? ,1? 时, g? ? x ? ? 0 , m? ?m ? ? 2? ?2 ? ∴g ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,1? 上单调递增. ? m? ?m ? 2 ?2? 故当 x ? 时, g ? x ? 的最小值为 g ? ? . m ?m?
?2? ∵ g ? ? ? g (1) ? 0 . ?m? ∴g ( x)min ? 0 . ????????????????8 分 综上所述,存在 m 满足题意,其取值范围为 (??, 2] . ????????????????9 分 (3)证法 1:由(2)知,当 m ? 1 时, g ( x) ? x ? 1 ? 2ln x 在 (0,1) 上单调递减, ∴ x ? (0,1) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , 即 x ? 1 ? 2 ln x . ????????????????10 分

? ?

∵ 0 ? x1 ? x2 , x ∴ 0 ? 1 ? 1. x2 x x ∴ 1 ? 1 ? 2 ln 1 . x2 x2 x ?x ∴ 1 2 ? 2(ln x1 ? ln x2 ) . x2 ∵ ln x2 ? ln x1 , x ?x ∴ 2 1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1 证法 2: 设 ? ( x) ? 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x(0 ? x ? x2 ) , 2x x ? 2x2 则 ? ?( x) ? ? 2 ? 1 ? . x x 当 x ? (0, x2 ) , ? ?( x) ? 0 , ∴? ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减 ∴? ( x) ? ? ( x2 ) ? 0 . ∴x ? (0, x2 ) 时, 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x .
0 ? x1 ? x2 ,
第 5 页(共 8 页)

????????????????11 分 ????????????????12 分 ????????????????13 分

????????????????14 分

????????????????10 分 ????????????????11 分 ????????????????12 分

∴2 x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? x2 ? x1 .
ln x2 ? ln x1 , x ?x ∴ 2 1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

????????????????13 分

????????????????14 分

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