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知识梳理圆的方程高三数学文科

圆的方程
【考纲要求】
1.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程, 2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题,并会推导圆的标准方程. 3.掌握圆的一般方程的特点,能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径; 4.能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程.
【知识网络】

圆的方程

圆的标准方程 圆的一般方程

简单应用

点与圆的关系

【考点梳理】

【高清课堂:圆的方程 405440 知识要点】

考点一:圆的标准方程
(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 ,其中 ?a,b? 为圆心, r 为半径.

要点诠释:(1)如果圆心在坐标原点,这时 a ? 0,b ? 0 ,圆的方程就是 x2 ? y2 ? r 2 .有关图形特征

与方程的转化:如:圆心在 x 轴上:b=0;圆与 y 轴相切时: | a |? r ;圆与 x 轴相切时: | b |? r ;与坐标

轴相切时: | a |?| b |? r ;过原点: a2 ? b2 ? r2 .

(2)圆的标准方程 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 ? 圆心为 ?a,b? ,半径为 r ,它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知,确定一个圆的方程,只需要 a、 b、r 这三个独立参数,因此,求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
考点二:圆的一般方程



D2

?

E2

?

4F

?

0

时,方程

x2

?

y2

?

Dx

?

Ey

?

F

?

0

叫做圆的一般方程.

? ??

?

D 2

,

?

E 2

? ??

为圆心,

1 D2 ? E2 ? 4F 为半径. 2

要点诠释:由方程 x2

?

y2

?

Dx

?

Ey ?

F

?

0



? ??

x

?

D

2
?

2 ??

?

? ??

y

?

E 2

2
? ? ?

?

D2

?

E2 4

? 4F

(1)当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ? D , y ? ? E .它表示一个点 (? D , ? E ) .

2

2

22

(2)当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.

(3)当

D2

?

E2

?

4F

?

0

时,可以看出方程表示以

? ??

?

D 2

,?

E 2

? ??

为圆心,1 2

D2 ? E2 ? 4F 为半径的圆.

考点三:点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 ,圆心为 C ?a,b? ,半径为 r ,则有

(1)若点 M ? x0,y0 ? 在圆上 ?| CM |? r ? ? x0 ? a?2 ? ? y0 ? b?2 ? r2

(2)若点 M ? x0,y0 ? 在圆外 ?| CM |? r ? ? x0 ? a?2 ? ? y0 ? b?2 ? r2

(3)若点 M ? x0,y0 ? 在圆内 ?| CM |? r ? ? x0 ? a?2 ? ? y0 ? b?2 ? r2

考点四:几种特殊位置的圆的方程

条件

标准方程

方程形式

一般方程

圆心在原点

x2 ? y2 ? r2 ?r ? 0?

x2 ? y2 ? r2 ? 0?r ? 0?

过原点

(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? a2 ? b2 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? 0

圆心在 x 轴上

(x ? a)2 ? y2 ? r2 ?r ? 0?

x2 ? y2 ? Dx ? F ? 0

圆心在 y 轴上

x2 ? (y ? b)2 ? r2 ?r ? 0?

x2 ? y2 ? Ey ? F ? 0

圆心在 x 轴上且过原点 (x ? a)2 ? y2 ? a2 ?a ? 0?

x2 ? y2 ? Dx ? 0

圆心在 y 轴上且过原点 x2 ? (y ? b)2 ? b2 ?b ? 0?

x2 ? y2 ? Ey ? 0

与 x 轴相切

(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? b2

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
?D2 ? 4F ? 0?

与 y 轴相切

(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? a2

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
?E2 ? 4F ? 0?

要点诠释:

圆的标准方程与一般方程的转化:标准方程

展开 配方

一般方程.

【典型例题】

类型一:圆的标准方程 例 1. 已知圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0,且这个圆经过点 A(6,1),求该圆的方程. 【思路点拨】已知圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0,因此可设圆的标准方程,利用待定系数法解决 问题.

解析:设圆心为

? ??

a,a 3

???,?

r

?|

a

|

??6 ? a?2

? ???1?

a ?2 3 ??

?

a2

? a ? 3或a ? 111

∴圆心为(3,1)(111,37) ∴圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x-111)2+(y-37)2=1112. 总结升华:圆心或半径的几何意义明显,则可设标准方程.

举一反三:

【变式 1】若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程

是( )

A. (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

B. (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

C. (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

D. (x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 1

解析:依题意,设圆心坐标为 (a,1) ,其中 a ? 0 ,则有 | 4a ? 3 | ? 1 ,由此解得 a ? 2 ,因此所求圆的 5
方程是 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,选 A.

类型二:圆的一般方程 例 2.求过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圆的方程,并求出圆的圆心与半径,作出图形. 【思路点拨】因为圆过三个定点,故可以设圆的一般方程来求圆的方程.

解:设所求的圆的方程为 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

?1 ? 144 ? D ? 12E ? F ? 0, 依题意有 ??49 ? 100 ? 7D ? 10E ? F ? 0,
??81? 4 ? 9D ? 2E ? F ? 0.
解得 D=-2,E=-4,F=-95. 于是所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100. 于是,圆的圆心 D 的坐标为(1,2),半径为 10,图形如图所示.

总结升华:求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的 条件,由待定系数法求出圆的一般式方程,并由此讨论圆的几何性质,这是解题的捷径.
对于由一般式给出的圆的方程,研究其几何性质(圆心与半径等)时,常可用配方法或公式法加以求解.
如由公式可得 r ? 1 (?2)2 ? (?4)2 ? (?4)2 ? 4(?95) ? 10 . 2
举一反三:
【变式 1】圆与 y 轴相切,圆心 P 在直线 x ? 3y ? 0 上,且直线 y ? x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆
的方程。
【答案】:设圆方程为: (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2

∵且圆心 (a, b) 在直线 x ? 3y ? 0 上,∴ a ? 3b

∵圆与 y 轴相切,∴ r ?| a |? 3 | b |

故圆方程为 (x ? 3b)2 ? ( y ? b)2 ? 9b2 ,又因为直线 y ? x 截圆得弦长为 2 7 ,

则有 (| 3b ? b |)2 ? ( 7)2 ? 9b2 ,解得 b ? ?1 2

故所求圆方程为: (x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 或 (x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 。

【变式 2】求经过点 M (1, 2) 、 N (3, 4) 且在 x 轴上截得的弦长为 6 的圆 C 的方程。

【答案】:方法一:设圆心 (a , b) ,半径长 r ,

由垂径定理可以得到圆 C 与 x 轴两交点为 P(a ? 3, 0) 、 Q(a ? 3, 0) ,

由 M (1, 2) 、 N (3, 4) 得 kMN ? 1 且 MN 的中点坐标 (2, 3) , 则 MN 的垂直平分线方程为 y ? 3 ? ?(x ? 2) ,PQ 的垂直平分线方程为 x ? a 。

解方程组:

?x

? ?

y

? ?

a 3

?

?(

x

?

2)

得圆心 C(a,5 ? a) .

由| CP |?| CM | 得 32 ? (5 ? a)2 = (a ?1)2 ? (3 ? a)? ,解出 a1? ?6 , a 2? 4 . 当 a1? ?6 时,圆心 C1(?6,11) , r12 ? 130 , 圆 C 的方程为: (x ? 6)2 ? ( y ?11)2 ? 130 当 a 2? 4 时,圆心 C2 (4,1) , r22 ? 10 ,圆 C 的方程为 (x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 10 故所求圆的方程为: (x ? 6)2 ? ( y ?11)2 ? 130 或 (x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 10 .

方法二:设所求圆为 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

令 y ? 0得 x2 ? Dx ? F ? 0 , 在 x 轴上截得弦长为:

| x1 ? x2 |? (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? D2 ? 4F ? 6 . 将 M (1, 2) 、 N (3, 4) 代入圆方程可得方程组:

?D ? 2E ? F ? 5 ? 0

?D1 ? ?8 ?D2 ? 12

??3D ? 4E ? F ? 25 ? 0 ,解出 ??E1 ? ?2



? ?

E2

?

?22

??D 2 ? 4F ? 36 ? 0

??F1 ? 7

??F2 ? 27

所求圆方程为 x2 ? y2 ? 8x ? 2 y ? 7 ? 0 或 x2 ? y2 ?12x ? 22 y ? 27 ? 0 .

【变式 3】根据下列条件分别写出圆的方程:

(1)圆过三个点(2,2),(5,3),(6,0);

(2)圆过三个点 O(0,0),M (1,1), N(4,2) .

思路点拨:已知圆过三个点,且圆心、半径不明确,故可用一般方程来求解.

?D ? ?8

解析:(1)设圆的方程为:

x2

?

y2

?

Dx

?

Ey

?

F

?

0

,解得:

? ?

E

?

?2

??F ? 12

∴ 所求圆方程为: x2 ? y2 ? 8x ? 2 y ? 12 ? 0 ;

(2)设所求的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

∵ O(0,0),M (1,1), N(4,2) 在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得

到关于 D, E, F 的三元一次方程组,

?F ? 0 即 ??D ? E ? F ? 2 ? 0
??4D ? 2E ? F ? 20 ? 0
解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0 .

∴所求圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 .

r ? 1 D2 ? E 2 ? 4F ? 5 ; ? D ? 4,? F ? ?3 .

2

2

2

得圆心坐标为(4,-3).

总结升华:

(1)圆的一般方程的形式要熟悉,并且能和圆的标准方程的形式区分开;

(2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.

类型三:点与圆的位置关系

例 3.写出以点 A(2,-3)为圆心,5 为半径的圆的标准方程,并判断点 M(5,-7),N(2,-1)与该圆的位

置关系.

【思路点拨】求点与圆之间的距离是关键.

解析:圆的标准方程为 ? x ? 2?2 ? ? y ? 3?2 ? 25

| MA |? ?2 ? 5?2 ? ??3 ? 7?2 ? 5 ? r ,∴点 M 在圆上;

| NA |? ?2 ? 2?2 ? ??3 ? 1?2 ? 2 ? r ,∴点 N 在圆内.

总结升华:判断点与圆的位置关系就是判断点到圆心的距离与半径的大小关系. 举一反三:
【变式 1】已知圆的方程为 ? x ? 5?2 ? ? y ? 6?2 ? 10 ,试判断点 M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上、
圆内还是圆外? 解析:分别计算点到圆心的距离:
| CM |? ?6 ? 5?2 ? ?9 ? 6?2 ? 10; | CN |? ?3 ? 5?2 ? ?3 ? 6?2 ? 13 ? 10; | CQ |? ?5 ? 5?2 ? ?3 ? 6?2 ? 3 ? 10;
所以,点 M 在圆上,点 N 在圆外,点 Q 在圆内. 类型四:与圆有关的轨迹问题
【高清课堂:圆的方程 405440 典型例题六】

例 4.已知点 Q(10, 0) ,点 P 是圆 x2 ? y2 ? 16 上的动点,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

【思路点拨】本题关键是找出点 M 与点 P 之间的联系(实际是坐标间的关系).

解析:设

P(

x1,

y1

)



M

(x,

y)

,则

? ?

x1

?

?10 y1 ?

? 2x 2y

,所以

? ? ?

x1 y1

? ?

2x 2y

?10

又因为点 P(x1, y1) 在圆上,所以 x12 ? y12 ? 16

即 (2x ?10)2 ? (2 y)2 ? 16 ,整理得 (x ? 5)2 ? y2 ? 4

所以线段 PQ 中点 M 的轨迹方程为 (x ? 5)2 ? y2 ? 4 .

y

5

4

P

3 2

M

1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1O–1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Q11 x

–2

–3

–4

.

–5

–6
例 5【2015 –广7 东高考】. 已知过原点的动直线 错误!未找到引用源。 与圆 错误!未找到引用源。 相

交于不同的两点 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。.

(1) 求圆 错误!未找到引用源。 的圆心坐标;

(2) (2)求线段 错误!未找到引用源。 的中点 错误!未找到引用源。 的轨迹 错误!未找到引用源。 的 方程;

(3) (3)是否存在实数 错误!未找到引用源。,使得直线 错误!未找到引用源。 与曲线 错误!未找到 引用源。 只有一个交点?若存在,求出 错误!未找到引用源。 的取值范围;若不存在,说明理由.

【解析】(1) 把圆 错误!未找到引用源。 的方程化为标准方程得 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。 圆 错误!未找到引用源。 的圆心坐标为 错误!未找到引用源。.

(2) 设 错误!未找到引用源。,

错误!未找到引用源。 为过原点的直线 错误!未找到引用源。 与圆 错误!未找到引用源。 的交点,

且 错误!未找到引用源。 为 错误!未找到引用源。 的中点,

错误!未找到引用源。 由圆的性质知 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 又 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。 由向量的数量积公式得 错误!未找到引用源。. 易知直线 错误!未找到引用源。 的斜率存在,错误!未找到引用源。 设直线 错误!未找到引用源。 的 方程为 错误!未找到引用源。, 当直线 错误!未找到引用源。 与圆 错误!未找到引用源。 相切时,错误!未找到引用源。,解得 错 误!未找到引用源。. 把相切时直线 错误!未找到引用源。 的方程代入圆 错误!未找到引用源。 的方程化简得 错误!未找 到引用源。,解得 错误!未找到引用源。. 当直线 错误!未找到引用源。 经过圆 错误!未找到引用源。 的圆心时,错误!未找到引用源。 的坐 标为 错误!未找到引用源。. 又直线 错误!未找到引用源。 与圆 错误!未找到引用源。 交于 错误!未找到引用源。 两点,错误! 未找到引用源。 为 错误!未找到引用源。 的中点,
错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。 点 错误!未找到引用源。 的轨迹 错误!未找到引用源。 的方程为 错误!未 找到引用源。,其中 错误!未找到引用源。,其轨迹为一段圆弧. (3) 法一:由题可知,直线 错误!未找到引用源。 恒过定点 错误!未找到引用源。,结合(2)可作出 图象如下图,
由(2)知,点 错误!未找到引用源。 、 错误!未找到引用源。 的横坐标为 错误!未找到引用源。, 因此,代入曲线 错误!未找到引用源。 的方程得 错误!未找到引用源。 、 错误!未找到引用源。, 结合图象,可知当 错误!未找到引用源。 介于直线 错误!未找到引用源。 和 错误!未找到引用源。 的 斜率之间时,直线 错误!未找到引用源。 与曲线 错误!未找到引用源。 只有一个交点,又 错误!未 找到引用源。,错误!未找到引用源。,所以 错误!未找到引用源。; 另外,当直线 错误!未找到引用源。 与曲线 错误!未找到引用源。 相切时,只有一个交点,又曲线 错 误!未找到引用源。 的圆心为 错误!未找到引用源。,直线方程为 错误!未找到引用源。,所以 错误! 未找到引用源。,解得 错误!未找到引用源。; 综上所述,错误!未找到引用源。 的取值范围是 错误!未找到引用源。 或 错误!未找到引用源。. 方法二:由题意知直线 错误!未找到引用源。 表示过定点 错误!未找到引用源。,斜率为 错误!未找 到引用源。 的直线, 把直线 错误!未找到引用源。 的方程代入轨迹 错误!未找到引用源。 的方程 错误!未找到引用源。, 其中 错误!未找到引用源。, 化简得 错误!未找到引用源。,其中 错误!未找到引用源。, 记 错误!未找到引用源。,其中 错误!未找到引用源。. 若直线 错误!未找到引用源。 与曲线 错误!未找到引用源。 只有一个交点,令 错误!未找到引用源。. 当 错误!未找到引用源。 时,解得 错误!未找到引用源。,即 错误!未找到引用源。,此时方程可化 为 错误!未找到引用源。,即 错误!未找到引用源。, 解得 错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。 满足条件. 当 错误!未找到引用源。 时, ① 若 错误!未找到引用源。 是方程的解,则 错误!未找到引用源。,故在区间 错误!未找到引用源。 上有且仅有一个根,满足题意. ②若 错误!未找到引用源。 是方程的解,则 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,故在区 间 错误!未找到引用源。 上有且仅有一个根,满足题意.

③若 错误!未找到引用源。 和 错误!未找到引用源。 均不是方程的解,则方程在区间 错误!未找到 引用源。 上有且仅有一个根, 只需 错误!未找到引用源。. 故在区间 错误!未找到引用源。 上有且仅有一个根,满足题意. 综上所述,错误!未找到引用源。 的取值范围是 错误!未找到引用源。 或 错误!未找到引用源。.
举一反三:
【变式】【2015 唐山一模】已知圆 O: x2 ? y2 ? 4 ,点 A?3,0 ? ,以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O,记
点 B 的轨迹为 ? . (1) 求曲线 ? 的方程;
(2) 直线 AB 交圆 O 于 C,D 两点,当 B 为 CD 中点时,求直线 AB 的方程.

【解析】(1)设 AB 的中点为 M,切点为 N,连接 OM,MN,
? ? 则 OM ? MN ? 2 ,取 A 关于 y 轴的对称点 A' ? 3, 0 ,连接 A'B
? A'B ? AB ? 2? OM ? MN ? ? 4
?点 B 的轨迹是以 A', A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 其中 a ? 2, c ? 3, b ? 1则曲线 ? 的方程为 x2 ? y2 ? 1
4

(2) B 为 CD 的中点,?OB ? CD
? ? ?OB ? AB 设 B? x0, y0 ? ,则 OB ? ? x0, y0 ?, AB ? x0 ? 3, y0

? ? 即 x0 x0 ?

3

? y02 ? 0



x02 4

?

y02

?1

解得 x0 ?

2 3

,

y0

?

?

2 3

?kAB

?

?

2

? ? ?直线 AB 的方程为 y ? ? 2 x ? 3

即 2x ? y ? 6 ? 0 或 2x ? y ? 6 ? 0


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