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用数学归纳法证明一类不等式的技巧_图文


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2 0 0 2年 第 1 0期 

数 学 教 学 研 究 

29  

证 明 单 调 性 必 须 构 造 成 出 自 变 量 和 函 数 值 的 不 等 关  系, 也 即 构 造 出  <  : , 判断 , (   )和 / (  : )的 大 小 

也是 增 幽效 , 确 

) c 刚) = 一 (   1+   2一? +   ) = 一   .  
B 4 【 g ( 训 … :一   , 故 n >一   ,  

关 系. 因 此 该 题 应 从   > 0时 . f (  ) > 0上 寻 找 突 破 
口 .  

证 明 
再 令 

令 

=   : : 0, 则f ( 0 ):0 .  

:   ,  ,: 一  , 贝 0  

所 以n 的 取 值 范 围 是 ( 一   , +  )  
4   数 列 单 调 性 的 证 明 

f (  )+ , ( 一   ) =f ( 0 ) :0 ,   即  一X ) =一   ) , 所 以 函数 为奇 函数,  

设  l<  2 , 则 2一   l> 0 ,   f (  : )一f (   ) :f (   : )+ f ( 一   )  


例 4  已 知 数 列 s   : 1 + ÷+ ÷+ … + ÷ ( n  
N) , 设f ( n ): S :   一S   试求 / ( n )的 最 小 值 .  
分 析  由 于 数 列 可 看 成 是 自 然 数 集 上 的 特 殊 

f (  2一  1 )>0 ,  

函数 , 因此 数 列也 可像 函数一 样 研 究其 单 调性 . 由 其  特殊 性 , 只 需 研 究 第 n和 第 n+ 1两 项 间 的 大 小 关 系  即可 , 这正 体现 在 知 识 的交 汇 点 上 命 题 的 高考 命 题 
思想 .  

即/ (   : )> , (  。 ) , 故 函数/ (  ) 在 R上是增 函数.  

3   复 合 函 数 单 调 性 的 证 明 
例 3设 f (  ) :  

l g  

, 其中 。  

R,  

解 

由 已 知 条 件 得 

是 任 意 的 自然 数 , 且 n≥ 2 , 如果f (  )在 

( ~   ,  

s :  :  + ÷+ ÷  ? +   ,   s  :  + ÷+ ÷一? +   ,  
/ ( n ):S 2   + l—S  
1   1  
‘ ‘ 

1   上有 意 义 , 求 n的 取 值 范 围,  
分 析  对 数 恒 有 意 义 是 指 对 数 的 真 数 恒 大 于 

零, 进 而 转化 成 求 函数 的最 大 值 问题 , 借 助 于 单 调 性 
易得本 题 的解法 , 因 此 证 明 并 利 用 函 数 的 单 调 性 是 

1  
,  

本 题 的关键 , 是 函数性 质 的主 动应 用,  
解  由f (  ) 有意义 , 得 
川 =   +   一 ?+  

,  

1+ 2   +3   +… + ( n一 1 )   +n   n >0 ,  

把 上 式 看 成 关 于 n的 不 等 式 , 解 得 
n  一

+   )  

n) :  

+  

一  

[ ( ÷ )   + ( ÷ )   + . . ‘ + (   )   】 .  



(  
B 口  

一  
)=  

) + (  
+   :  9

一  

) > o .  

令   = 一 [ ( ÷ )   + (  )   一‘ + (   )   】 ,  
因为Y: 一 (   1( m:1 , 2 , 3 , …, n 一 1 ) 在  ∈  
(一   , 1  上是 增 函数 , 所 以g ( X ) 在  ∈ ( 一   , 1 ] 上 

n+1 ) >f ( n ) , 故/ ( n ) >f ( n一1 )>? ? ?  

>f ( 3 ) >f ( 2 ) , 其 中 n≥ 2 , n∈ N, 所 以  n )的 最 小  值 为 
. 

用数学 归 纳法 证 明一 类不 等 式 的技巧 
赵 忠彦 
( 甘 肃 省 民勤县 第一 中学 7 3 3 3 0 0 )  

对 于~ 边是 常数 的数 列 不 等式 , 在 用 数 学 归 纳 
法直 接证 明 时 , 归纳 过 渡 往往有 一定 的 困难, 若 能 利 

说 明.  

1   通 过 分 析 归 纳 过 渡 所 需 要 的 条 件 强 化 命 题 

用不 等式 的传 递性 、 可加性等性质 , 通过强化命题 .  
放 缩 常数等 技 巧 , 常可顺 利 完 成归 纳 过 渡 , 下 面 举 例 

由于 更 强的命 题 提 供 更 强 的 归 纳 假 设 , 因 而 一 
个更 强 的命题 , 用数 学 归纳法 反 而容 易证 明.  

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3 0  











究 

2 0 0 2年 第 l O蝴 

<l , 定义 Ⅱ ,= l+。, 。  

=  1 +。


呵 司 . ? 而   丽 { T   c ‘  ’ —   ,   丽 {  。 c ‘   ÷  , ’ 一 …于 ?   于 是   可 。  
求证 : 对一 切 自  
选 择 (  ): 一 1
. 

然 数 n, 有 0  >1 .   分 析  假设 n =   时 . Ⅱ t+0 < 1+Ⅱ . 则 0 ㈧ =   >1 . 怎 么 办 呢? 可 寻求 

凡 

证   先 证 ÷+  , … +  ≤ z 一 ÷  
( n ∈ N) .  

+。 < 1+。 , 推不出 口  
ak  

1 。当 n = 1时 , 1≤ 2— 1 , 不等 式 成立.  

n  > l 成 立 的 充 分 条 件 : 欲 证 n  > l , 只 要 证 击 +  
n>l , 即证 n  ‘『 一   . 因此 , 只 须 将 命 题 加 强 为 l<  
。  c   即 可 完 成 归 纳 过 渡.  

2 。 假 设 n :   (  N ) 时 ,  +  + … + 古≤  
2 一下 1


那 么 当 n=   +l时 ,  

证 明  1 。当 n = 1 时, 0   = 1+0 > 1 , 又 由 1一  


古+  + + … ’   。   + 古+  


≤   z — 一   1 +   F  j   j  

:c ?可 得 ?+n  c  

, . ? .? c   n  c  

.  

等等 (   +   1一 )   等等 ( 鼻 +   1一 1 ) :   +   .  
由 l 。 、 2 。 可 知 古+   1 + … +  ≤ 2 一 了 1 对 任  
从 而 对 任 意 自然 数 n, 都 有 

+  丁  + … +  “  

2 。 假设 n =  (   ∈ N)时 , l< n  ‘ _ 广  , 那 么 

当 n =   + l 时 , n  =  + n , 由 假 设 得 l — n   c 击  
c  ‘ . - c ÷+ 0  。 c ? + 。 c   1 ~ 0   , 即 ?  。  c  
l   1 — 0‘  

意 自然 数 n成 立 .  

<2 ‘ . ’  

3   把 常 数 转 化 为 与 另 一 边 具 有 相 同 结 构 的 形 式  例3 ( 2 0 0 2年 全 国 高 考 理 科 第 ( 2 2)题 第 ( i i )   由 1 。 、 2 。可 知 对 任 意 自 然 数 n , 都 有 1< n  ‘  

小题) 设数列 ; 0   } 满足 0   =0 :一  
N) , n  ≥ 3 , 证 明 对 所 有 的 自然 数  , 有 
( i ) 0   ≥ n +2;  

十1  ( n  




从而有 。  >1 ( n ∈N) .  

2   将 常 数 n放 缩 为 n±   n)的 形 式 

例 2   求 证 古+   1 + … +   1   c   2 ( n   e   N ) .  

㈤ , 击 +   一 ’ +   ≤ ÷ .  
分 析  对于 ( i )用 数 学 归 纳 法 易 证 , 对于 ( i i )   +  
0.   l 十

分 析  假 设 n =   时 , 不 等 式 古+   1 + … + 1 :     是 否 也 能 用 数 学 归 纳 法 证 明 呢 ?若 假 设 。   c   z 成 立 测 有 古+   1 + - ” + 古+  ÷  c   z +   “   ≤丁 ’ 则  { T   , 无 法 推 出 小 于 2 . 这 是 由 于 不 等 式 右 边 是  
+ … +  

1 ≤ 下



1  

1  

1  

1  

… 

i —  
=   ≤ 

n ) . 即 证 古 +   1 + . - ? +   1 ≤ 2 一   n由 n = l 时 ,  ≤ ÷+  

L   2 + (  + —   2   )×   2   +   2=  2 +2   。 — k   + 一   6, ’   推不 。 ’   出 上 J   结儿 论   . ’ 若 佃     ? ≤ z 一   1 ) ,   =   + 一 时 , 有 古+  + … + 古+  _   n)的 解 析 式 也 不 易 确 定 {  ≤ 2 一  ) +   {  . 可 知 要 使 原 命 题 成   把  1 缩 小 为 了1 一  n)
. 

立 只 要 使 一  )  { 了  。 且 l ≤ 2 一 f ( 1 ) 即  但 若 注 意 到 r ÷   ≤ 雨 1  = ÷= ( 丁 1 )   1 ,  

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2 0 0 2年 第 l O期 

数 学 教 学 研 究 

3 l  

且 ( ÷   (   一  ( ÷  ? 一 ( ÷   ÷  


≤  




 

‘   l  

÷× ( ÷   。 = ( ÷   … + J .  
1 + n  ’ ≤(   ÷ 2    。 .  

由1 。 、 2 。 可知, 对 任意 n   N, 都 有 

故只要证得士




0.  

  (   1 ) “ 。 , 再累加就可证得  
Z 

原不 等式成 立.   证 明  ( i )略 .  

由 不 等 式 的 可 加 性 得 
1   1  + 1   l  
n 1  

1  



n2  

一  

1  

+ n 

( i i )先 证 对 任 意 自然 数 n , 不等式 
1  

≤ (  1)   成立
. 

≤ (  )   + ( ÷ ) ’ + … + ( ÷ ) , . .  
;   :

1 。当 n = 1时 .  

|   _ _ 1  ≤ ≤   r   T  = ÷≤ —   ≤ (  ‘  ) ‘   .  

1 一  

÷一  
2  

÷ .  

2 。 假 设 n =   (  N ) 时 , r  ≤ ( ÷) “ 1 . 当  
n : k + 】时 .  
1   1   l  

从 而 有 击 +   1一‘ +   ≤ ÷  



 

排列 组合 中 如何确 定研 究对 象及其 先后 排 列顺 序 
陈 星 春 
( 湖 北省 襄 樊市第 五 中学 4 4 1 0 2 1 )  

在排 列组 合 的的 学 习过 程 中 , 师 生 普 遍 感 到 有 

是 把 4个 邮 筒 作 为 研 究 对 象 . 由 于 要 完成 的是 “ 将3   封 信 投 入 4个 不 同 的 邮 筒 ”, 目的 是 投 信 , 所 以应 把 3   封信 作为研 究 对 象 , 其 中 每 封 信 投 到 邮 筒 都 有 4种  可能 性 , 由 乘 法 原 理 知 有 4 ×4×4 = 4  种 不 同 物 投 
法, 故选 ( B ) .  

时不 知把 哪个 东西 作 为研 究 对 象 , 从 而 使 问 题 得 不  到解决 . 造 成 这 种 现 象 的 主 要 原 因 是 没 有 明 确 我 们  要 解决 的问题 是什 么或要 达 到 什么 目的. 一 般 来说 ,   我 们 是 根 据 要 解 决 的 问 题 是 什 么 或 要 达 到 什 么 目 的  来 确 定研究 对 象. 同时, 有 时 确 定 了研 究 对 象 后 , 又  不 能 根 据 具 体 问 题 的 特 殊 要 求 确 定 元 素 排 列 的 先 后  顺序 , 一般地, 研 究 对 象 确 定 后 要 根 据 不 同 元 素 的 特 

说 明 

在 分析 问题 时 , 首 先 耍 弄 清 要 完 成 的 事 

是什 么 ? 然 后要 搞 清是 分类 问题还 是 分 步问 题 , 从 而  正确 运 用两个 基本 原理 .   例2   现有 高 一学生 8 人, 高 二 学 生 5人 , 高 三 学 

殊 要求 , 优 先考 虑有 特殊 要 求 的元 素排 法. 下 面 结 合 
具 体 例子 予 以说明 .   1   确定 研 究对 象问题 

生 l O人 , 组 成 数学课 外 活动 小组.   ( 1 )选 其 中 一 个 为 总 负 责 人 , 有 多 少 种 不 同 选 
法?   ) .  

例 1   有 3封 信 和 4个 邮 筒 , 则 将 信 全 部 投 入 邮 
筒 的所有 不 同 的投法 种数 为 (  

( 2 )每 一 个 年 级 选 一 名 组 长 , 有 多 少 种 不 同 选 
法?  

( A) P :  ( B) 4   ( C) 3   ( D) C : .  
析 解   首 先 要 确 定 是 把 3封 信 作 为 研 究 对 象 还 

( 3) 在一 次 活动 中 , 推 选 出 其 中 2人 作 为 中 心 发 


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