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高等数学 第二章 导数与微分

第二章

一元函数微分学

数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学,研究不定积分、定积分 及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分,是现代数学许多分支的基 础,是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.

第一节 导数概念
教学目的: 1、理解导数的概念; 2、掌握用定义求导数方法; 3、理解导数的几何意义,会求切线方程; 4、熟悉导数基本公式 重点和难点: 重点:导数定义,导数的几何意义,基本导数公式; 难点:判定函数的可导性 教学方法:课堂讲授,注重问题式的启发式的教学方法的灵活运用 教学内容: 一、 导数的定义 1、引例: 引例 1、速度问题(自由落体运动 s ? 引例 2、切线问题(曲线 y ? x 2 ) 。 定义:设函数 y ? f ( x) 在点 x0 某个领域内有定义,如果极限
1 2 gt ) ; 2

lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x ) x?x
0 0

存在,则称该极限值为

f ( x) 在点 x0 处的导数,记为 f ' ( x ) ,即
0

f ' ( x ) ? lim
0 x ? x0

f ( x) ? f ( x ) x?x
0 0

1

此时也称函数 f ( x) 在点 x0 可导。 当 x 在 x0 点取得增量 ?x 时,相应函数取得增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,若 当 ?x ? 0 时,比值
f ?( x 0 )或
?y 的极限存在,则称此极限值为 f ( x) 在 x0 处的导数。记 ?x

dy x ? x 0 ,即 dx

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? x ? 0 ?x ?x

说明:(1)比值

?y 是函数 f ( x) 在 [ x0 , x0 ? ?x] 上的平均变化率;而 f ?( x0 ) 是 f ( x) ?x

在 x0 处的变化率,它反映函数在点 x0 随自变量变化的快慢程度;
lim (2)若 ? x ?0 ?y 不存在(包括 ? ) ,则称 f ( x) 在 x0 点不可导; ?x

(3)若 f ( x) 在(a,b)内每点可导,则称函数在(a,b)内可导,记 f ?( x) ,称 为导函数,简称导数。 左导数:

f ' ( x ) ? lim
? 0 x ? x0 ?

f ( x) ? f ( x ) x?x
0 0

右导数:

f ' ( x ) ? lim
? 0 x ? x0
?

f ( x) ? f ( x ) x?x
0 0

根据导数的定义求导,一般包含以下三个步骤: 1、求函数的增量: 2、求两增量的比值:
?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; ?x ?x ?y 3、求极限: y? ? lim . ?x ?0 ?x

定理 1 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导的充要条件是:函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的 左、右导数均存在且相等。即 f ' ? x ? ? a ? f ' ? x ? ? f ' ? x ? ? a.
0 ? 0 ? 0

例 1、讨论函数 f ?x ? ? x 在点 x ? 0 处是否可导? 例2 试讨论函数 f (x ) ? ?
x ?0 ? x, 在点 x ? 0 处的可导性。 ?ln(1 ? x ), x ? 0

2

例 3、由定义求函数 y ? C 的导数? 例 4、设 y ? sin x ,求 y '. 例 5、设 y

? ax ,x ? (??,? ?),a ? 0 ,求 y '.
0 0

定理 2 如果函数 y ? f ( x) 在点 x 处可导,则它在 x 处连续。 二、 导数的几何意义 结论: f ?( x0 ) 表示曲线 y ? f ( x) 在点 ( x , f ( x )) 的切线斜率。
0 0

1 在点(1,0)处的切线方程? x2 f (1) ? f (1 ? x) ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 例 7、设 f ( x) 为可导函数,且 lim x ?0 2x 处的切线斜率?

例 6、求曲线 y ? x ?

三、 函数四则运算的求导法 定理 3 设函数 u ? u( x), v ? v( x) 在点 x 处可导,k k 为常数,则下列各等式
1
2

成立: (1) (k u ( x) ? k v( x))' ? k u ' ( x) ? k v' ( x);
1 1 1 2

(2) (u( x)v( x))' ? u' ( x)v( x) ? u( x)v' ( x); (3) (

u ( x ) u ' ( x )v ( x ) ? u ( x )v ' ( x ) )' ? (v( x) ? 0). v( x) v ( x)
2

例 8、求下列函数的导数 (1) y ? 2 x 2 ? 3x ? 1;(2) y ? x 2 ? 例题选讲: 例 1 求函数 y ? x3 在 x ? 1 处的导数 f ?(1) . 例 2 试按导数定义求下列各极限(假设各极限均存在). (1) lim
x ?a

1 ;(3) y ? 3 sin x ? 1 ;(4) y ? x 2 x . x

f (2 x) ? f (2a) ; x?a f ( x) , 其中 f (0) ? 0. x

(2) lim
x ?0

例 3 求函数 y ? loga x?a ? 0, a ? 1?的导数

3

例 4 求函数 f ( x) ? ?

?sin x, ? x,

x?0 ,在 x ? 0 处的导数. x?0

例 5 求等边双曲线 y ? 程和法线方程.

1 ?1 ? 在点 ? ,2 ? 处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方 x ?2 ?

例 6 讨论函数 f ?x? ? x 在 x ? 0 处的连续性与可导性. 例 7 讨论 f ( x) ? ?
1 ? ? x sin , x ? 0 x 在 x ? 0 处的连续性与可导性. ?0, x?0 ?

x?0 ? a, 例 8 设函数 f ?x ? ? ? 2 问 a 取何值时, f ?x ? 为可导函数. ? x ? 1, 0 ? x ? 1,

小结: 1、导数的实质:增量比的极限; 2、 f ' ? x ? ? a ? f ' ? x ? ? f ' ? x ? ? a;
0 ? 0 ? 0

3、导数的几何意义:切线的斜率; 4、函数可导一定连续,但连续不一定可导; 5、求导数最基本的方法:由定义求导数; 6、判断可导性; 7、函数的求导法则

作业:习题 2-1 2(1) (2) (3) ;3(2) ;5、6; 7(1) (3) (5) (7) (9)

4

第二节 求导法则
教学目的: 1、理解复合函数求导法; 2、掌握反函数求导法; 3、掌握由参数方程确定的函数求导法; 4、掌握隐函数求导法; 5、掌握取对数求导法 重点和难点: 重点:复合函数求导法; 反函数求导法;参数方程确定的函数求导法;隐 函数求导法 难点:参数方程确定的函数求导法,隐函数求导法 教学方法:课堂讲授,注重问题式的启发式的教学方法的灵活运用 教学内容:
一、复合函数求导法

定理 1 (链导法) 若 u ? ? ( x) 在点 x 处可导, 而 y ? f (u) 在相应点 u ? ? ( x) 处可导,则复合函数 y ? f (? ( x))在点 x 处可导,且

dy dy du ? ? ,或记为 dx du dx

( f (? ( x)))' ? f ' (? ( x)) ? ? ' ( x).
μ 例1、设 f ?x ? ? x ,μ ? R ,x ? 0 ,求 f ' ( x).

例2、设 y

?e

-x

,求 y '.

例3、设 y ? sin

1 ,求 y '. 1?x

二、反函数求导法

? ( y) 定理 2 设函数 y ? f ( x) 与 x ? ? ( y) 互为反函数, f ( x) 在点 x 处可导,
在相应点 y 处可导,且

dx ? ? ( y ) ? 0 ,则 dy

dy 1 1 ? 或f ' ( x) ? . dx dx ? ' ( y) dy
简单的说:反函数的导数是其直接函数导数的倒数。
5

例 4、设 y ? arcsin x ,求 y '. 三、由参数方程确定的函数求导法 函数由参数方程 ?

? x ? ? (t ) 所确定, 则由参数方程所确定的函数 y ? y( x) 的 ? y ? ? (t ),

dy dy dt ? ' (t) ? ? (? ' (t ) ? 0). 导数为 dx dx ? ' (t ) dt

? x ? a cos t dy 例 5、设 ? 求 . ? y ? a sin t , dx
3 3

?x ? 3at , ? ? 1 ? t2 例 6、设 ? 2 ? y ? 3at , ? ? 1 ? t2
四、隐函数求导法

?? ? t ? ?? ,求

dy . dx

1、定义:由二元方程 F(x,y)=0 所确定的 y 与 x 的函数关系称为隐函数,其中因 变量不一定能用自变量 x 直接表示出来. 2、 求导法则: 将 F(x,y)=0 两端对 x 求导, 在求导过程中视 y 为 x 的函数, 求出 y? ? x ? . 例 7、求方程 y ? cos 例 8、求 e
y

?x ? y ? 所确定的隐函数 y ? y ?x ? 的导数。

? xy ? e ? 0 所确定隐函数 y 的导数 y '.

有时求幂指函数、带根号、带连乘积的函数的导数。这时可两端取对数,再 利用隐函数的求导思想和方法来求导,称为取对数求导法。

( x ? 1) x ? 2 , 求 y '. 例 9、设 y ? ( x ? 4) e
3 2 x

例 10、设

y ? u( x)v( x) , u ? x ? ? 0, 其中 u ?x ? ,v ?x ? 可导,求 y '.

例题选讲: 例 1 求函数 y ? arcsin x 的导数. 例 2 求函数 y ? loga x 的导数.
6

例 3 求函数 y ? ( x 2 ? 1)10 的导数. 例 4 求函数 y ? ( x ? sin2 x)3 的导数. 例 5 求函数 y ? esin 例 6 求函数 y ? ln 3 例 7 求函数 y ?
2

?1? x ? 的导数.

x2 ? 1 x?2

( x ? 2) 的导数.

x a2 x 2 2 a ?x ? arcsin ?a ? 0? 的导数. 2 2 a

例 8 求函数 y ? x ? x ? x 的导数. 例 10 求方程 xy ? e x ? e y ? 0 所确定的隐函数 y 的导数 例 11 设 y ?
( x ? 1)3 x ? 1 , 求 y? . ( x ? 4)2 e x
x

dy dy , dx dx

x ?0

.

例 12 求函数 y ? x ? x x ? x x 的导数. 例 13 求由参数方程 ?
? x ? arctan t
2 ? y ? ln(1 ? t )

所表示的函数 y ? y( x) 的导数.

小结: 1、搞清复合函数结构,由外向内逐层求导; 2、参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则; 3、隐函数求导法则:直接对方程两边求导; 4、对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导

作业:习题 2-2 1(2) (4) (6) (8) ;2、3、5(1) 、6; 7(1) (3) (5) ;8(1) (3)

7

第三节 高阶导数
教学目的: 1、理解高阶导数的概念; 2、掌握高阶导数的求法; 3、掌握莱布尼茨公式 重点和难点: 重点:高阶导数的求法; 莱布尼茨公式 难点:莱布尼茨公式 教学方法:课堂讲授,注重问题式的启发式的教学方法的灵活运用 教学内容: 物体作变速直线运动,其瞬时速度 v (t ) 就是路程函数 s ? s(t ) 对时间 t 的导数, 即
v(t ) ? s?(t ) .

根据物理学知识,速度函数 v (t ) 对于时间 t 的变化率就是加速度 ? (t ) ,即 ? (t ) 是 v (t ) 对于时间 t 的导数,
? (t ) ? v?(t ) ? [ s?(t )]?.

于是,加速度 ? (t ) 就是路程函数 s (t ) 对时间 t 的导数的导数,称为 s (t ) 对 t 的二 阶导数,记为 s??(t ) 。因此,变速直线运动的加速度就是路程函数 s (t ) 对 t 的二阶导 数,即 ? (t ) ? s??(t ). 一、高阶导数的概念 定义:如果函数 f ( x) 的导数 f ?( x) 在点 x 处可导,即
( f ?( x))? ? lim
?x ?0

f ?( x ? ?x) ? f ?( x) ?x

存在, 则称 ( f ?( x))? 为函数 f ( x) 在点 x 处的二阶导,记为
f ??( x), y??, d2y dx2 或 d 2 f ( x) . dx2 d 3 f ( x) d3y . 3 ,或 dx dx3

类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,记为 f ???( x), y???, 一般地,
f ( n ) ( x), y ( n ) , dny dxn

f ( x) 的 n ? 1 阶 导 数 的 导 数 称 为 f ( x) 的 n 阶 导 数 , 记 为
或 d n f ( x) . dxn

注:二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。相应地, f ( x) 称为零阶导数;
f ?( x) 称为一阶导数。
8

二、求高阶导数的方法 求函数的高阶导数时, 除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外(直接法) , 还常常利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接 求出指定的高阶导数(间接法) 。 三、莱布尼茨公式 例题选讲: 例 1 求指数函数 y ? e x 的 n 阶导数. 例 2 设 y ? arctan x , 求 f ???(0) . 例 3 求幂函数 y ? x? (? ? R) 的 n 阶求导公式. 例 4 求对数函数 y ? ln(1 ? x) 的 n 阶导数. 例 5 设 y ? sin kx 的 n 阶导数. 例 6 设 y ? e ax sin bx(a, b 为常数), 求 y ?n ? . 例 7 设 y ? x2e2 x , 求 y (20) . 例 8 设函数 y ?
1 , 求 y (100) . x ?1
2

(u ? v) ? ? C ? u
(n) n i i ?0 n

( n ?i )

?v

(i)

例 9 设 y ? ln(1 ? 2x ? 3x2 ), 求 y(n) .

小结: 1、高阶导数的定义; 2、高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); 3、n 阶导数的求法

作业:习题 2-3 2、3、4、5(2) (3) 、6(2) (4) ; 7(1) (2) ;8(1)

9

第四节 函数的微分
教学目的: 1、理解微分的概念; 2、会求初等函数的微分 重点和难点: 重点:微分的定义,微分的形式不变性; 难点:微分的形式不变性 教学方法:课堂讲授,注重问题式的启发式的教学方法的灵活运用 教学内容: 一、 微分的概念 定义 1: 设函数 y ? f ( x) 在点 x 的某个领域内有定义,
0

?x 是 x 在 x 点的增量,
0
0

x ? ?x 在该领域内, 如果函数的增量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x ) 可表示为
0
0

?y ? A ? ?x ? o(?x)
其中 A 是与 ?x 无关的常数, 则称函数 y ? f ( x) 在点 x 处可微, 并且称 A ? ?x 为
0

函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的微分, 记作 dy , 即 dy ? A ? ?x . 定理 1 函数 y ? f ( x) 在点 x 可微的充要条件是:函数 y ? f ( x) 在点 x 可导。
0 0

且当 y ? f ( x) 在点 x 可微时, dy ? f ' ( x ) ? ?x .
0
0

例 1、设 y ? x ,求 dy.
π 例 2、求 y ? sin x 当 x ? 4 , dx ? 0.1 时的微分。

微分计算函数值的近似公式: f ( x) ? f ( x ) ? f ' ( x )( x ? x ) 。
0 0 0

例 3、求 3 1.02 的近似值。 例 4、求 cos29? 的近似值。 二、微分的运算公式 1、函数四则运算的微分 设 u ? u( x), v ? v( x)在点 x 处均可微,则有

d (Cu ) ? Cdu (C为常数),
10

d (u ? v) ? du ? dv, d (uv) ? udv ? vdu, u vdu ? udv d( ) ? , v ? 0. v v
2

2、复合函数的微分 若 y ? f (u) 及 u ? ? ( x) 均可导,则复合函数 y ? f (? ( x))对 x 的微分为

dy ? f ' (u)? ' ( x)dx ,
注意到 du ? ? ' ( x)dx,则函数 y ? f (u) 对 u 的微分为 dy ? f ' (u)du 。无论 u 是自变 量还是中间变量,微分形式 dy ? f ' (u)du 不变。此性质称为一阶微分的形式不变 性。 例5、设 y ? a2 ? x 2 ,利用微分形式不变性求 dy 。 例题选讲: 例 1 求函数 y ? x 2 当 x 由 1 改变到 1.01 的微分. 例 2 求函数 y ? x3 在 x ? 2 处的微分. 例 3 求函数 y ? x3e2 x 的微分. 例 4 求函数 y ?
sin x 的微分. x

例 5 设 y ? sin(2 x ? 1), 求 dy . 例 6 设 y ? ln 1 ? e x , 求 dy. 例 7 设 y ? ln(x ? x2 ? 1), 求 dy . 例 8 已知 y ?
e2x , 求 dy . x2

?

2

?

例 9 在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立. (1) d ( ) ? cos?tdt; (2) d (sin x2 ) ? ( )d ( x ). 例 10 求由方程 e xy ? 2x ? y 3 所确定的隐函数 y ? f ( x) 的微分 dy . 例 11 计算 cos 60?30? 的近似值. 例 12 计算 3 998.5 的近似值.

11

小结: 1、微分概念(可导与可微) ; 2、微分运算法则; 3、微分的应用(近似运算)

作业:习题 2-4 1(1) (3) (4) (7) 、3(2) (4) (6) 、 4(1) (3) ;5(1) (3) ;7(1)

12


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