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2012高一数学 1.2.1 函数的概念 1课件 新人教A版必修1_图文

§1.2 1.2.1

函数及其表示 函数的概念

学习目标
1. 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系 的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应 的语言来刻画函数. 2.了解构成函数的要素.

课前自主学案

1.2.1

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基
1.初中学习的函数的定义 一般地,在某个变化过程中,有两个变量x、y, 如果给定一个x值,相应的就确定了一个y值,那 y x 么我们称___是_____的函数,其中x是自变量,y 是因变量. 2.初中学习的正比例函数表达式为y=kx(k≠0), 反比例函数表达式为y= k (k≠0). x

知新益能 1.函数的概念 数集 (1)设A,B是非空的_____,如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合 唯一确定 B中都有__________的数f(x)和它对应,那么就称f: A→B 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一 个 函 数 , 记 作 y=f(x),x∈A _____________________. 自变量 (2)在函数y=f(x)中,x叫做________,x的取值范 定义域 围A叫做函数的________,与x值相对应的y值叫做 函数值 _________,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ______,显然值域是集合B的子集.

2.函数的构成要素及函数相等 定义域 对应关系 (1)________、___________和______是一个函 值域 数的构成要素. 对应关系 (2)由于值域是由_______和__________决定的, 定义域 定义域 所以,如果两个函数的_________相同,并且 对应关系 ________完全一致,就称这两个函数相等. 3.区间的分类 (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区 间,表示为_________; [a,b]

(2) 满 足 不 等 式 a < x < b 的 实 数 x 的 集 合 叫 做

开区间 (a,b) _________,表示为_________;
(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合 叫 做 半 开 半 闭 区 间 , 分 别 表 示 为

[a,b),(a,b] _______________.
其中实数a、b表示区间的两端点.

问题探究
1.A={三角形},B={x|x>0},对应法则f:对A 中元素求面积与B中元素对应.这个对应是A到B 的函数吗? 提示:不是函数,集合A不是数集. 2.数集都能用区间表示吗? 提示:不能.区间是数集的又一种表示方法,但 并不是所有数集都能用区间表示,如{1,2,3,4}, 就不能用区间表示.

课堂互动讲练

考点突破 判断对应关系是否为函数 f(x)是一个整体,表示一个函数,f是对自变量x进 行操作的程序或方法,是连接x与y的纽带,按照 这一“程序”,从定义域集合A中任取一个x,可 得到值域{y|y=f(x)且x∈A}中唯一的y值与之对 应.

例1 下列对应是否是从A到B的函数?

①A=R,B={x|x>0},f:A→B,求绝对值;
②A=Z,B=N,f:A→B,求平方;

③A=Z,B=Z,f:A→B,求算术平方根;
④A=N,B=R,f:A→B,求平方根;

⑤A={x|-2≤x≤2,x∈R},B={x|-3≤x≤3,
x∈R},f:A→B,求立方.

【思路点拨】

函数是一种特殊的对应,要检

验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要 检验: (1)定义域和对应关系是否给出; (2)根据给出的对应关系,自变量x在其定义域 中的每一个值,是否都有唯一确定的函数值y与

之对应.

【解】 只有②是从A到B的函数,①,③,④, ⑤都不是. 对于①,A中的元素0在B中无元素和它对应,故 不是函数. 对于③,A中的负数没有算术平方根,故B中无 元素和它们对应. 对于④,A中的每一个元素(除0外)都有2个平方 根,所以B中有2个元素和它对应,故不是函数.

对于⑤,集合A中的一些元素,如2,立方后不在

集合B中,所以在B中无元素和它对应.
【名师点拨】 函数的定义中“任一x”与“有唯

一确定的y”说明函数中两变量x,y的对应关系是
“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对

多”.

相等函数的判定 由两个函数相等的定义可知: (1)定义域不同,两个函数也就不同; (2)对应关系不同,两个函数也是不同的; (3)只有定义域,对应关系都相同,才是相等函 数.

例2 判断下列各组函数是否是相等函数:

x2-4 (1)f(x)=x+2,g(x)= ; x-2 (2)f(x)=(x-1)2,g(x)=x-1; (3)f(x)=|x|,g(x)= x2; ?1 ?x≥0? |x| (4)f(x)= x ,g(x)=? . ?-1?x<0?

【思路点拨】 分别判断每对函数的定义域 及对应法则是否相同.

【解】

(1)f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为

{x|x≠2}.由于定义域不同,故 f(x)与 g(x)不是相 等函数. (2)f(x)的定义域为 R, g(x)的定义域为 R, 即定义 域相同. 由于 f(x)与 g(x)解析式不相同,则 f(x)与 g(x)不 是相等函数.

(3)g(x)= x2=|x|=f(x),是相等函数. |x| (4)由于函数 f(x)= x 的定义域为(-∞,0)∪
?1 (0,+∞),而 g(x)=? ?-1

?x≥0? 的定义域 ?x<0?

为 R,所以它们不是相等函数.
【名师点拨】 从函数的表达式中分析出对应 法则和定义域,从而判断.

互动探究1 x2-2x+1.

对于本例中的(2),g(x)改为g(x)=

(3)中的 g(x)改为 g(t)= t2. ?1 ?x>0? (4)中的 g(x)改为 g(x)=? . ?-1 ?x<0? 那么 f(x)与 g(x)是相等函数吗?

解:都是相等函数. (2)定义域都为R,解析式相同,故是相等函数.

(3)两函数自变量所用字母虽然不同,但其定义域
和对应关系一致,故是相等函数. (4)g(x)就是f(x)的化简形式,是相等函数.

求函数的定义域

求函数的定义域就是构造关于自变量x的不等式, 使f(x)的每一个组成部分都有意义.

求下列函数的定义域. (1)y=x+1- 1-x; 5-x (2)y= . |x|-3
例3

【 思 路 点 拨 】

分析所给函数解析式

→ 列不等式组 → 求x范围,得定义域

【解】 (1)1-x≥0,∴x≤1. ∴定义域为{x|x≤1}. (2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足 ?5-x≥0 ? ,解得 x≤5,且 x≠± 3, ?|x|-3≠0 即函数定义域为{x|x≤5,且 x≠± 3}.

【名师点拨】 求函数的定义域往往需要将问 题转化成解不等式或不等式组的问题,最后再 将它们正确合并,定义域的表达形式可以是集 合形式,也可以用区间表示.

?x+1?2 互动探究 2 将本例(1)中的函数变为 y= - x+1 1-x,求其定义域.

解:要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满 足
?x+1≠0 ? ,解得 x≤1 且 x≠-1, ?1-x≥0

即函数定义域为{x|x≤1 且 x≠-1}.

方法感悟

方法技巧 1.判断两个函数f(x)和g(x)是否是相等函数的步骤 是:(1)先求函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域 不同,那么它们不相等,如果定义域相同,再执行 下一步;(2)化简函数的解析式,如果化简后的函数 解析式相同,那么它们相等,否则它们不相等. (如例2) 2.函数定义域的求法(如例3) (1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;

(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分 母不为0的实数的集合; (3)如果f(x)为偶次根式,那么函数的定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合; (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的, 那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的 实数的集合; (5)如果函数有实际背景,那么除符合上述要求 外,还要符合实际情况.

失误防范

1.对于区间[a,b]或(a,b)中必须 a>b,才有 意义,不能将区间(-2,3)错写为(3,-2),(- ∞,0]不能写为[-∞,0]. 2.函数式的化简要保持“等价变形”原则,即 ?x+1?2 化简后是相同函数,如 y= ,化简为 y= x+1 x+1,则不是等价变形.

例4.求函数值 x?2 已知函数 f ( x) ? x ? 6
(1)点(3,14)在f(x)的图像上吗? (2)当x=4时,求f(x)的值。 (3)当f(x)=2时,求x的值。

作业:

p

习题1.2第1,2,3,4,5,6
24


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