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江苏省扬州中学、泰州中学2016届高三上学期12月联考试题 数学 Word版含答案


江苏省扬州中学、泰州中学 2015-2016 学年度第一学期质量检测

高三数学试卷
答题线上. ) 1.已知集合 A ? {1,3}, B ? {0,1, a}, A ? B ? {0,1,3}, 则a ? 2.如果复数 z ? ▲

2015.12.18

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应
a ?1 b ?1 .i ? 2

2 ? ai ? a ? R ? 为纯虚数,则 z = ▲ . 1? i
▲ .

While i ? 4
a ?a?b b ? ab i ? i ?1

3.如右图程序运行的结果是

4.小明有 4 枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面. 他把 4 枚硬币叠成一摞(如右图) ,则所有相邻两枚硬币中 至少有一组同一面不相对的概率是 ▲ . 5.甲?乙两个样本数据的茎叶图(如右图) ,则甲?乙两样 本方差中较小的一个方差是 ▲ .

End While Print b
(第 3 题图) (第 4 题图 )

6.已知三个球的半径 R1 、 R2 、 R3 满足 R1 ? R3 ? 2R2 , 记它们的表面积分别为 S1 、 S 2 、 S 3 ,若 S1 ? 1 ,S3 ? 9 , 则 S2 ? ▲ .
(第 5 题图)

7.经过函数 y ?

1 上一点 M 引切线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和 x

点 B , O 为坐标原点,记 ?OAB 的面积为 S ,则 S = ▲ . 8.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)的图象如右

?? ? 2? ? ?? ? 图所示,若 f ? ? ?? f ? ? ? ? f ? ? ,则 ? = ▲ . ?2? ? 3 ? ?6?

(第 8 题图 )

9.在△ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对边的长分别为 a,b,c.已知 a+ 2c=2b,sinB= 2sinC, 则 sin

C = ▲ . 2

y B C

10.如右图,线段 AB 的长度为 2 ,点 A, B 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴上滑动,以线段 AB 为一边,在第一象限内作等边三角形

uuu r uur ABC , O 为坐标原点,则 OC ? OB 的取值范围是 ▲ .

O

A
(第 10 题图 )

x

第 - 1 - 页 共 14 页

11.已知动圆 C 与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切于点 A? 0, ? 2? ,圆 C 被 x 轴所截得的弦长为 2 ,则 满足条件的所有圆 C 的半径之积是 ▲ . 12.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,则不等式 f

?

2 ? x ? f ?1? 的解集为 ▲ .
1007

?

13.集合 A ? (m, n ) ( m ? 1) ? ( m ? 2) ? L ? ( m ? n) ? 6 元素个数为 ▲ .

?

, m ? Z , n ? N * ? ,则集合 A 中的

14.实数 x1, x2 , x3 , L x1008 L x2015 ,满足 0 ? x1 ? x2 ? x3 ? L ? x1008 ? L ? x2015 ? 13 如果它 们的平方组成公差 d ?

72 的等差数列,当 x1 ? x2 ? x2 ? x3 ? L ? | x2014 ? x2015 | 取最小值时, 1007

x1008 = ▲ .
二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 的坐标为

? 3,1? ,点 N 的坐标为 ?cos ?x,sin ?x? ,

其中 ? ? 0 ,设 f ?x ? ? OM ? ON ( O 为坐标原点). (Ⅰ)若 ? ? 2 , ? A 为 ?ABC 的内角,当 f ? A? ? 1时,求 ? A 的大小; (Ⅱ)记函数 y ? f ? x ?? x ? R ? 的值域为集合 G ,不等式 x ? m x ? 0 的解集为集合 P .
2

当 P ? G 时,求实数 m 的最大值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,D,E 分别为 A1C1, BB1 的中点,B1C⊥AB,侧面 BCC1B1 为菱形.求证: (Ⅰ)DE∥平面 ABC1; (Ⅱ)B1C⊥DE.
A B E C A1 B1 D C1

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17. (本小题满分 14 分) 某油库的设计容量为 30 万吨,年初储量为 10 万吨,从年初起计划每月购进石油 m 万吨, 以满足区域内和区域外的需求, 若区域内每月用石油 1 万吨, 区域外前 x 个月的需求总量 y(万 吨)与 x 的函数关系为 y ? 2 px ( p ? 0,1 ? x ? 16, x ? N* ) ,若区域外前 4 个月的需求总量 为 20 万吨. (Ⅰ)试求出当第 x 个月的石油调出后,油库内储油量 M (万吨)与 x 的函数关系式; (Ⅱ)要使 16 个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且 每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定 m 的取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 2 a b 2

且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 6 3 . (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) (1)设椭圆 C 上的任一点 R( x0 , y0 ) ,从原点 O 向圆

R : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? m 2 ? m ? 0 ? 引两条切线,设两条切线的斜
2 2

率分别为 k1, k2 ? k1k2 ? 0? ,当 k1k2 为定值时求 m 的值; (2)在(1)的条件下,当两条切线分别交椭圆于 P, Q 时,试探究 OP2 ? OQ2 是 否为定值,若是,求出其值;若不是,请说明理由.

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19. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ?

a 3 x ? cx(a, c ? R, a ? 0) . 3

(Ⅰ)若 a ? ?3 ,函数 y ? f ( x ) 在 [?2, 2] 的值域为 [?2, 2] ,求函数 y ? f ( x ) 的零点; (Ⅱ)若 a ? 2 , f ?(1) ? 3 , g ( x ) ? (1)对任意的 x ? ?? 1,1? , (2)令 ? ? x ? ? 数 m 的取值范围.

?

3 ?1 x ? m .

?

f ? ? x ? ? g ? x ? 恒成立, 求实数 m 的最小值;
f ? ?1 ? x ? ,若存在 x1 , x 2 ? ?0,1? 使得 ? ?x1 ? ? ? ?x2 ? ? g ?m?,求实

f ?? x? ?

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? 2 , ?an ? 的前 n 和为 Sn ,数列 ?bn ? 为等比数列,且

a1b1 ? a 2b2 ? a 3b 3 ???? ? anbn ? (n ? 1)? 2n?2 ? 4对任意的 n ? N? 恒成立.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)是否存在非零整数 ? ,使不等式 ? (1 ?

a ? 1 1 1 1 对一 )(1 ? ) ??????(1 ? ) cos n ?1 ? a1 a2 an 2 an ? 1

切 n ? N? 都成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由. (Ⅲ)各项均为正整数的无穷等差数列 ?cn ? ,满足 c39 ? a1007 ,且存在正整数 k,使 c1 , c 3 9 , ck 成等比数列,若数列 ?cn ? 的公差为 d,求 d 的所有可能取值之和.

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高三数学附加题
21. (选修 4-2 矩阵与变换) (本小题满分 10 分)

2015.12.18

?1? ?,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?,属于特征值 ?1? d? ? 3 ? 1 的一个特征向量为 α2=? ?.求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ?-2?
已知矩阵 A=?

? 3 ? c

3?

22. (选修 4-4 坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ?

?
3

? ? ? R ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正

半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 ? 线 C 的交点 P 的直角坐标.

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) ,求直线 l 与曲 ? y ? 1 ? cos 2?

23. (本小题满分 10 分)抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体, 其底面落于桌面,记底面上所得的数字分别为 x,y.记 ? x ? 表示 x 的整数部分,如: ? 3 ? ? 1 , ? ? y ?2? ? ? y? ? 设 ? 为随机变量, ? ? ? x ? . ? ? y? ? (Ⅰ)求概率 P(? ? 1) ; (Ⅱ)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

24. (本小题满分 10 分) 数学运算中,常用符号来表示算式,如 ? ai = a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? L ? an ,其中 i ? N , n ? N ? .
i ?0 i (Ⅰ)若 a 0 , a1 , a 2 ,…, a n 成等差数列,且 a0 ? 0 ,公差 d ? 1 ,求证:? ? ai Cn ? ? n ? 2n?1 ; i ?0 i 1) i bi Cn ] (Ⅱ)若 ? (1 ? x )k ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? L ? a2 n x 2 n , bn ? ? a2i ,记 d n ? 1 ? ?[( ? ,且不 k ?1 i ?0 i ?1 2n n n n n

等式 t ? (dn ? 1) ? bn 对于 ?n ? N * 恒成立,求实数 t 的取值范围.

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高三数学质量检测参考答案
一、填空题: 1. 3 9. 2 4 2. 2 10. ? 0,3? 3. 96 11. 10 4.

2015.12.18

7 8

5.23

6. 4

7. 2 13. 2016

8. 2 14.

12. ?1, 2 ? 1 ? 2 ? 1, ??

?

? ?

?

97

二、解答题: 15.解:(Ⅰ)由题意 f ?x ? ? OM ? ON ? sin ?x ? 3 cos?x ? sin 2 x ? 3 cos2 x ? 2 sin? ? 2x ?

?

?? 3分 ? 3?



f ? A? ? 1





?? 1 ? s ? 2 A ? i? ? 3? 2 ?

n



3 ? 11? ? A ? 或A ? . 4 12

Q 0 ? A ? ? ,?

?

? 2A ?

?
3

?

7? ? 5? 13? ,? 2 A ? ? 或 , 3 3 6 6
……7 分

(Ⅱ)由 f ? x ? ? sin ?x ?

?? ? 3 cos?x ? 2 sin? ?x ? ? 得, 3? ?
……10 分

f ( x) 的值域 G ? ?? 2,2?,

2 又 x ? m x ? 0 的解为 x1 ? 0, x2 ? m ,故要使 P ? G 恒成立,

只需 m ? ?? 2,2?,所以 m 的最大值为 2. 16.解: (Ⅰ)如图,取 AA1 的中点 F,连 DF,FE. 又因为 D,E 分别为 A1C1,BB1 的中点, 所以 DF∥AC1,EF∥AB. 因为 DF ? 平面 ABC1,AC1 ? 平面 ABC1, 故 DF∥平面 ABC1. 同理,EF∥平面 ABC1. 因为 DF,EF 为平面 DEF 内的两条相交直线, 所以平面 DEF∥平面 ABC1. 因为 DE ? 平面 DEF,所以 DE∥平面 ABC1. ……3 分

……14 分
A1 B1 D C1

E A B A1 B1 F E A B C D C1 C

……5 分 ……7 分

(Ⅱ)因为三棱柱 ABC?A1B1C1 的侧面 BCC1B1 为菱形, 故 B1C⊥BC1. ……9 分

又 B1C⊥AB,且 AB,BC1 为平面 ABC1 内的两条相交直线,

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所以 B1C⊥平面 ABC1. 而平面 DEF∥平面 ABC1,所以 B1C⊥平面 DEF, 因为 DE ? 平面 DEF,所以 B1C⊥DE. 17.解: (Ⅰ)由条件得 20 ? 分 (1 ? x ? M ? mx ? x ? 10 x ? 10 , 1 6 , (Ⅱ)因为 0 ? M ? 30 , 所以 ? . x ? N* )

……12 分

……14 分

2 p ? 4 ? 2 p ? 100 ,所以 y ? 10 x (1 ? x ? 16, x ? N* ) 2

……4 分

? ? 10 ? mx ? x ? 10 x ? 0 ? ?10 ? mx ? x ? 10 x ? 30

?1 ? x ? 16, x ? N ? 恒成立,
*

……6 分

10 10 ? m?? ? ?1 ? x x ? ?? 1 ? x ? 16, x ? N* ? 恒成立, ? ? m ? 20 ? 10 ? 1 ? x x ?


……8 分

1 x

? t ,则:

1 ? t ? 1, 4
……10 分

?m ? ?10t 2 ? 10t ? 1? 1 ? ?? ? ? t ? 1? 恒成立, 2 ? ? m ? 20t ? 10t ? 1 ? 4

7 1 ? 由 m ? ?10t 2 ? 10t ? 1 ? ?10(t ? 1 )2 ? 7 ? , ? ? t ? 1? 恒成立得 m ? 2 ( x ? 4 时取等号) 2 2?4 ?
19 ?1 ? . ……13 分 m ? 20t 2 ? 10t ? 1? ? t ? 1? 恒成立得 m ? ( x ? 16 时取等号) 4 ?4 ?
答: m 的取值范围是

7 19 ?m? . 2 4

……14 分

? c 2 ? ? ? a 2 18.解: (Ⅰ)依题意, ? ,解得 a ? 2 6, c ? 2 3, 则 b ? 2 3 , 2 ?c ? a ? 6 3 ? c ?
所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 24 12

……4 分

(Ⅱ) (1)依题意,两条切线方程分别为 y ? k1 x, y ? k2 x ,

第 - 7 - 页 共 14 页



k1 x0 ? y0 1? k
2 1

2 2 ? m 2 ? k12 ? 2 x0 y0k1 ? y0 ? m2 ? 0 , ? m ,化简得 ? x0

2 2 2 2 2 同理 x0 ? m k2 ? 2 x0 y0k2 ? y0 ? m ? 0 . 2 2 2 2 2 所以 k1 , k2 是方程 x0 ? m k ? 2 x0 y0k ? y0 ? m ? 0 的两个不相等的实数根,

?

?

?

?

? k1k2 ?

2 y0 ? m2 . 2 x0 ? m2

……7 分

因为

x y 1 2 2 ? 12 ? x0 ? ? 1 ,所以 y0 ,所以 k1k 2 ? 2 24 12
1 2 x0 ? m 2 2 ? t , t 为定值得: m ? 2 2 . 2 x0 ? m2

2 0

2 0

12 ?

1 2 x0 ? m 2 2 . 2 x0 ? m2

12 ?


……10 分

(2)由(1)得, k1k 2 ? ?

y y 1 1 1 2 2 ,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 1 ? 2 ? ? ,所以 y12 y2 , ? x12 x2 2 4 x1 x2 2

? x12 y12 1 ? 2 y1 ? 12 ? x12 ? ?1 ? ? ? ? 24 12 2 因为 ? ,所以 ? , 2 2 ? y 2 ? 12 ? 1 x 2 ? x2 ? y2 ? 1 2 2 ? ? ? 2 ? 24 12
所以 (12 ?
2

……13 分

1 2 1 2 1 2 2 2 2 x1 )(12 ? x2 ) ? x12 x2 ,所以 x1 ? x2 ? 24 , y12 ? y2 ? 12 , 2 2 4
2

所以 OP ? OQ ? 36 .

……16 分

19.解: (Ⅰ)当 a ? ?3 时, f ( x) ? ? x3 ? cx, f ?( x) ? ?3x 2 ? c ① 若 c ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 恒成立,函数 y ? f ( x ) 单调递减,

? f (?2) ? 2 又函数 y ? f ( x ) 在 [?2, 2] 的值域为 [?2, 2] ,? ? ,此方程无解.……2 分 ? f (2) ? ?2
② 若 c ? 0 ,则 f ?( x) ? 0,? x ? ?

c . 3

(i)若

? f (2) ? 2 c ? 2 ,即 c ? 12 时, ? ,此方程组无解; 3 ? f ( ?2) ? ?2

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? ? f( c c ? ?2?2 (ii) ,即 3 ? c ? 12 时, ? 3 3 ? f (? ? ?
(iii) 2

c )?2 3 c ) ? ?2 3

,所以 c=3;

? f ( ?2) ? 2 c ? 2 ,即 c ? 3 时, ? ,此方程无解. 3 ? f (2) ? ?2
由①、②可得,c=3.

? f ( x) ? ? x3 ? 3x 的零点为: x1 ? 0, x2 ? ? 3, x3 ? 3 .
(Ⅱ) 由 a ? 2 , f ?(1) ? 3 得: f ? x ? ? 又 g ( x) ?

……6 分 ……7 分

2 3 x ? x , f ? ? x ? ? 2 x2 ? 1 , 3

?

3 ?1 x ? m ,
f ? ? x ? ? g ? x ? 恒成立 ? 2 x 2 ? 1 ? ( 3 ? 1) x ? m .
……8 分

?

对任意的 x ? ?? 1,1? , 当 x ? 0 时, m ? 1 ,

又 m ? 1 时,对任意的 x ? ?? 1,1? ,

?

? 2 x2 ? 1 ? ? ?( 3 ? 1) x ? 1? ? 2
2

?

2

2

?

3 ? 1 x2 ? 2

?

?

3 ?1 x ? 2

?

?

3 ? 1 x ? x ? 1? ? 0 ,

?

即 m ? 1 时, 2 x ? 1 ? ( 3 ? 1) x ? 1 ,

? 实数 m 的最小值是 1,即 mmin ? 1 .
(Ⅲ) 法 1:由题意可知 ? ?x1 ? ? ? ?x2 ? max ?

……10 分

3m ,

Q 2 x2 ? 1 ?

2 1 2 2 ? x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 0 在 x ? ?0,1? 上恒成立, 3 3

? 2x2 ? 1 ?

6 ?x ? 1?在 x ? ?0,1?上恒成立; 3

……12 分

由(Ⅱ)得: 2 x 2 ? 1 ? ( 3 ? 1) x ? 1 在 x ? ?0,1? 上恒成立,

……13 分

?

6 ? x ? 1? ? 3
3

f ? ? x ? ? ( 3 ? 1) x ? 1 .又因为当 x ? ?0,1? 时, 1 ? x ? ?0,1?,

? 6 ?1 ? x ? 1? ? f ? ?1 ? x ? ? ( 3 ? 1)(1 ? x) ? 1 . ?
6 ?x ? 1? ? 6 ?1 ? x ? 1? ? ? ?x ? ? ( 3 ? 1) x ? 1 ? ( 3 ? 1)?1 ? x ? ? 1 , 3 3

第 - 9 - 页 共 14 页

即 6 ? ? ?x ? ? 3 ? 1 , ? ? ?

?1? ? 6 , ??0?max ? ??1?max ? 3 ? 1 ,……15 分 ? 2 ? min
3 ? 2. 3
……16 分

? ? ?x1 ? ? ? ?x2 ? max ? 3 ? 1 ? 6 ? 3m .? m ? 1 ?
法 2: ? ( x) ?

2 x 2 ? 1 ? 2(1 ? x) 2 ? 1 ? 2[ x 2 ?

1 1 ? ( x ? 1) 2 ? ] ,……12 分 2 2

设 P( x,0), A(0,

2 2 ), B(1,? ) ,则 ? ( x) ? 2 ? PA ? PB ? ,由下图得: 2 2

? PA ? PB ?

min

? AB ? 3, ? PA ? PB ?max ? OA ? OB ?

2 6 , ? 2 2
y A

∴ ?( x) min ? 6,?( x) max ? 1 ? 3 ,

? ? ?x1 ? ? ? ?x2 ? max ? 3 ? 1 ? 6 ? 3m ,
?m ? 1 ? 3 ? 2. 3
……16 分

O

P B

x

20.解: (Ⅰ)法 1:设数列 ?an ? 的公差为 d ,数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? anbn ? (n ?1) ? 2n?2 ? 4(n ? N? ) 令 n ? 1, 2,3 分别得 a1b1 ? 4 , a1b1 ? a2b2 ? 20 , a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 68 ,又 a1 ? 2
? a1 ? 2, b1 ? 2 ? (2 ? d )(2q) ? 16 2 所以 ? ? a2b2 ? 16 即 ?(2 ? 2d )(2q 2 ) ? 48 ? 3d ? 4d ? 4 ? 0 , ? ? a b ? 48 ? 3 3

2 ? d1 ? ? ? ? d ? 2 ,经检验 d ? 2, q ? 2 符合题意, d ? ? 2 , q ? 6 不合题意,舍去. 得? 3 或? 2 3 ? q2 ? 2 ? ? q1 ? 6
所以 an ? 2n, bn ? 2 .
n

……4 分
n?2

法 2:因为 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? anbn ? (n ?1) ? 2 对任意的 n ? N 恒成立 则 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? an-1bn-1 ? (n ? 2) ? 2
n?1
?

?4



?4(n ? 2) ②

第 - 10 - 页 共 14 页

① ? ②得 anbn ? n ? 2n?1 (n ? 2) ,又 a1b1 ? 4 ,也符合上式,所以 anbn ? n ? 2n?1 (n ? N? ) 由于 ?an ? 为等差数列,令 an ? kn ? b ,则 bn ? 因为 ?bn ? 为等比数列,则

n ? 2n ?1 , kn ? b

bn 2n[k (n ? 1) ? b] , ? ? q (为常数) bn?1 (n ? 1)(kn ? b)

即 (qk ? 2k )n2 ? (bq ? kq ? 2b ? 2k )n ? qb ? 0 对于 ?n ? N * 恒成立,

qk ? 2k ? 0 ? ? ? ?bq ? kq ? 2b ? 2k ? 0 ,所以 q ? 2, b ? 0 . ? ? qb ? 0 ?
又 a1 ? 2 ,所以 k ? 2 ,故 an ? 2n, bn ? 2n . (Ⅱ)由 an ? 2n ,得 cos 设 bn ? ……4 分

an ?1? ? cos(n ? 1)? ? (?1) n ?1 , 2

1 ,则不等式等价于 (?1) n ?1 ? ? bn . 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? ) an ? 1 a1 a2 an

∵ bn ? 0 ,且

2 ? n ? 1? bn?1 ? ? 1 ,∴ bn ?1 ? bn ,数列 {bn } 单调递增. ……6 分 bn 2n ? 1 2n ? 3

假设存在这样的实数 ? ,使得不等式 (?1) n ?1 ? ? bn 对一切 n ? N? 都成立,则 ①当 n 为奇数时,得 ? ? (bn ) min ? b1 ?

2 3 ; 3

② 当 n 为偶数时,得 ?? ? (bn ) min ? b2 ? 综上, ? ? ? ?

8 5 8 5 ,即 ? ? ? . 15 15

? 8 5 2 3? ,由 ? 是非零整数,可知存在 ? ? ?1 满足条件. ……9 分 ? 15 , 3 ? ? ? ?
……10 分

(Ⅲ)易知 d=0,成立.

当 d>0 时, c39 ? c1 ? 38d ? 2014 ? c1 ? 2014 ? 38d ,

ck ? c39 ? (k ? 39)d ? 2014 ? (k ? 39)d ,
2 c39 ? c1ck ? (2014 ? 38d ) ? 2014 ? (k ? 39)d ? ? 20142 ,

? 38(53 ? d ) ? 2014 ? (k ? 39)d ? ? 2014 ? 2014,

? ? 53 ? d ? ? ? 2014 ? ? k ? 39 ? d ? ? ? 53 ? 2014 ,

第 - 11 - 页 共 14 页

? ? ? k ? 39? d 2 ? 53(k ? 77)d ? 0 ? (k ? 39)d ? 53(k ? 77) ,
? kd ? 39d ? 53k ? 53 ? 107 ? (d ? 53)k ? 39d ? 53 ? 77 ,
k?
……12 分

39d ? 53 ? 77 39(d ? 53) ? 53 ? 39 ? 53 ? 77 53 ? 38 53 ? 38 ? ? 39 ? ? 39 ? ? N* , d ? 53 d ? 53 d ? 53 53 ? d

又Q ?

?c1 ? 2014 ? 38d ? 38(53 ? d ) ? 0 ? 53 ? d ? 0 ,? 0 ? 53 ? d ? 53 , ?d ? 0

?53 ? d ? 1,2,19 ,? d ? 52,51,34 ,所以公差 d 的所有可能取值之和为 137 .……16 分

高三数学附加题试卷参考答案
?1? ? 3 21.解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?可得,? ?1? ? c 即 c+d=6;
由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α2=? 即 3c-2d=-2. 2
?c=2, ? 3 解得? 即 A=? ? 2 ?d=4.

2015.12.18

?1? ? ? ?=6? ?, d? ?1? ?1?
……3 分 3? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ?=? ?, d ? ?-2? ?-2?

3? ?1?

? 3 ? ? 3 ?,可得? ? c ?-2?
……6 分 1

? 3 -2? 3? . ?, A 的逆矩阵是? 4? 1 1? ? -3 2?
?
3

……10 分

22.解:因为直线 l 的极坐标方程为 ? ? 分 又因为曲线 C 的参数方程为 ?

? ? ? R ? ,所以直线 l 的普通方程为 y ?

3x , 3

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) , ? y ? 1 ? cos 2?
1 2 x ? x ? ? ?2, 2?? , 2
……6 分

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 联立解方程组得 ?

?x ? 0 ? ?x ? 2 3 或? . ?y ? 0 ? ?y ? 6
?x ? 2 3 ? ,故 P 点的直角坐标为 (0, 0) . ……10 分 ? ?y ? 6

根据 x 的范围应舍去 ?

23.解: (Ⅰ)依题意,实数对(x,y)共有 16 种,使 ? ? ? x ? ? 1 的实数对(x,y)有以下 6 ? ? y? ?
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种:
6 ? 3; ?1,1? , ? 2,2? , ?3,2? , ?3,3? , ?4,3? , ?4,4 ? ,所以 P ?? ? 1? ? 16 8

……3 分

(Ⅱ)随机变量 ? 的所有取值为 0,1,2,3,4.

? ? 0 有以下 6 种: ?1,2 ? , ?1,3 ?, ?1,4 ?, ?2,3 ?, ?2,4 ?, ? 3,4 ? ,所以 P ?? ? 0? ? 6 ? 3 ; 16 8 ? ? 2 有以下 2 种: ? 2,1? , ?4,2 ? ,所以 P ?? ? 2 ? ? 2 ? 1 ; 16 8 ? ? 3 有以下 1 种: ? 3,1? ,所以 P ?? ? 3? ? 1 ; 16 ? ? 4 有以下 1 种: ? 4,1? ,所以 P ?? ? 4 ? ? 1 ; 16
所以 ? 的分布列为: ……7 分

?

0
3 8

1
3 8

2
1 8

3
1 16

4
1 16

P

E ?? ? ? 0 ? 3 ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ? 1 ? 17 , 8 8 8 16 16 16

……9 分 ……10 分

答: ? 的数学期望为 17 . 16 24.解: (Ⅰ)由已知得,等差数列的通项公式为 an ? n ,

i 则 ? ? ai Cn ? ? a0 ? a1Cn1 ? a2Cn2 ? L ? anCnn ? a0 (Cn0 ? Cn1 ? L ? Cnn ) ? (Cn1 ? 2Cn2 ? L ? nCnn ) i ?0

n

k k ?1 1 2 n 0 1 n ?1 因为 kCn ? nCn ?1 ,所以 Cn ? 2Cn ? L ? nCn ? n(Cn ?1 ? Cn ?1 ? L ? Cn ?1 ) ,
i 所以 ? ? ai Cn ? ? a 0 ?2n ? n ? 2n?1 = n ? 2n?1 . i ?0 n

……4 分
2(1 ? 4n ) ? 2 ? 4n ? 2 , ?1

(Ⅱ)令 x ? 1 ,则 ? ai ? 2 ? 22 ? 23 ? L ? 22 n ?
i ?0 2n

2n

n 1 令 x ? ?1 ,则 ? [( ?1) i ai] ?0 ,所以 bn ? ? a2i ? (2 ? 4n ? 2) ? 4n ? 1 , 2 i ?0 i ?0

……6 分

0 1 2 3 n 根据已知条件可知, dn ? Cn ? (4 ? 1)Cn ? (42 ? 1)Cn ? (43 ? 1)Cn ? L ? (?1)n (4n ? 1)Cn

0 1 2 3 n 0 1 2 3 4 ? [Cn ? Cn (?4) ? Cn (?4)2 ? Cn (?4)3 ? L ? Cn (?4)n ] ? [Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? L ? (?1)n Cnn ] ? 1

? (1 ? 4)n ? (1 ? 1)n ? 1 ? (?3)n ? 1 ,所以 dn ? (?3)n ? 1 ,

……8 分

将 bn ? 4n ? 1、 dn ? (?3)n ? 1 代入不等式 t ? (dn ? 1) ? bn 得, t ? (?3)n ? 4n ? 1 ,

4 1 4 1 5 当 n 为偶数时, t ? ( )n ? ( )n ,所以 t ? ( )2 ? ( )2 ? ; 3 3 3 3 3

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4 1 4 1 当 n 为奇数时, t ? ?[( )n ? ( )n ] ,所以 t ? ?[( )1 ? ( )1 ] ? ?1 ; 3 3 3 3 5 综上所述,所以实数 t 的取值范围是 [?1, ] . 3
……10 分

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