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黑龙江省大庆实验中学2016届高三数学考前得分训练试题(二)理(新)

大庆市实验中学 2016 年高三得分训练(二) 数学试题(理科)
说明:本试卷分第Ⅰ卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分,考生作答时,将答案写在答题卡上,在本试卷 上答题无效。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在题目给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知集合 A ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x y ? ln(2 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. (1,3) B. (1,3] C. [ ?1, 2) ) D. (?1, 2) )

4 3 ? 2.若复数 z ? (cos? ? ) ? (sin ? ? )i 是纯虚数( i 为虚数单位) ,则 tan(? ? ) 的值为( 5 5 4
A. ?7 B. ?
1 7

C. 7

D. ? 7 或 ?

1 7

3.在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 2, 且 a2 , a4 ? 2, a5 成等差数列,记 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,则 S5 ? ( A.32 ) B.62 C.27 D.81

4 . 已 知 函 数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 且 其 图 像 向 左 平 移 个 单 位 后 得 到 函 数 3 2 g ( x) ? cos ? x 的图像,则函数 f ( x) 的图像( ) A.关于直线 x ?

?

?

?
12

对称

B.关于直线 x ? D.关于点 (

5? 对称 12

? C.关于点 ( ,0) 对称 12
1 10

5? ,0) 对称 12

5.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的概率为( A. B.
2 3

)[来源:学*科网]

C.

1 3

D.

1 4

) 6.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ) , f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则
f (31) = (

) B. 1 C. ?1
否 开始

A. 0 A. i ? 6 ? B. i ≤ 6? C. i ? 5 ? D. i ? 5 ? [来源:Z-xk.Com]

D. 2 )
结束

7.若如下框图所给的程序运行结果为 S=41,则图中的判断框(1)中应填入的是(
i=10,S=1 (1 )
是 输出S

S=S+i

i = i -1

8.过点 A(11, 2) 作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ?164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有(
2 2

)

A.16 条

B. 17 条

C. 32 条

D. 34 条

1

9.设 F1 , F2 为椭圆
5 14

x2 9

?

y2 5

? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则
5 13

PF2 PF1

的值为

A.

B.

C.

4 9

D.

5 9

?4 x ? y ? 8 ≥ 0 ? 10.已知变量 x, y 满足 ? x ? y ? 5 ≤ 0 , 若目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 取到最大值 6 ,则 a 的值为( ? y ? 1≥ 0 ?

)

A. 2

B.

5 4

5 C. 或 2 4
)

D. ?2

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某 多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为( A. 8? C. 12? B. D.
25 2 41 4

?

?

?2x ,x ? 0 12. 设 函 数 f ( x) ? ? , 若 对 任 意 给 定 的 m ? (1, ??) , 都 存 在 唯 一 的 x ? R , 满 足 ?log2 x, x ? 0
f ( f ( x)) ? 2a2m2 ? am ,则正实数 a 的取值范围是(
A. ? , ?? ? ) D. ? 2, ?? ?

?1 ?2

? ?

B. ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

C. ? 2, ?? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 m ? 3? sin xdx ,则二项式 (a ? 2b ? 3c)m 的展开式中 ab2 c m ? 3 的系数为
0

?

. .

??? ??? ??? 1 ??? 14.在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=AC=2,点 D 为 AC 中点,点 E 满足 BE ? BC ,则 AE ? BD =
3

15 .已知双曲线 为

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的渐近线被圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 ,则该双曲线 的离心率 a 2 b2



n 16.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N ? , Sn ? (?1) an ?

1 ? n ? 3且 2n

(t ? an ?1 )(t ? an ) ? 0 恒成立,则实数 t 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 2b sin(C ? (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若点 M 为 BC 中点,且 AM ? AC ,求 sin ?BAC .

?
6

)?a ?c.

18.(本小题满分 12 分)
2

为调查某社区年轻人的周末生活状况,研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系,随机调查了该社区年 轻人 80 人,得到下面的数据表:

(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查 3 名在该社区的年轻男性,设调查的 3 人在这一时间段以上网 为休闲方式的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和数学期望; (2)根据以上数据,能否有 99% 的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”? 参考公式: k ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635

参考数据:

P(K 2 ? k0 )

k0

[来源:Z-xk.Com]

19.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形,

P

AD / / BC , ?BCD ? 90 , PA ? 底面ABCD , ?ABM 是边长为 2 的
?

等边三角形, PA ? DM ? 2 3 . (Ⅰ)求证:平面 PAM ? 平面PDM ; (Ⅱ)若点 E 为 PC 中点, 求二面角 P ? MD ? E 的余弦值.[来源:学科网]

D

E A

C

M

B

20. (本题满分 12 分) 已知抛物线 x 2 ? 2 py 上点 P 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 为抛物线上的两个动点,其中 y1 ? y2 且 y1 ? y2 ? 4 ,线段 AB 的垂直平分线 l 与 y 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值. 21. (本题满分 12 分)
3

x ln x ? a(a ? 0) . x ?1 (Ⅰ)当 x ? (0,1) 时,判断 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 h( x) ? x( x ? 1) ? f ( x) ,且方程 h( x) ? m 有两个不相等的实数根 x1 , x2 .求证: x1 ? x2 ? 1 .
已知函数 f ( x) ? 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时请用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1 :几何证明选讲 如图,在锐角三角形 ABC 中, AB ? AC ,以 AB 为直径的圆 O 与边 BC , AC 另外的交点分别为 D, E ,且 DF ? AC 于 F . (Ⅰ)求证: DF 是 ⊙O 的切线;

7 (Ⅱ)若 CD ? 3 , EA= ,求 AB 的长. 5
23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4 :坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P 的直角坐标为 (1, 2) ,点 M 的极
? ? 坐标为 (3, ) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心, 3 为半径.
2 6

(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB .

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?
x ? 2 ? x ? 4 ? m 的定义域为 R .

(Ⅰ)求实数 m 的范围; (Ⅱ)若 m 的最大值为 n ,当正数 a , b 满足

4 1 ? ? n 时,求 4 a ? 7b 的最小值. a ? 5b 3a ? 2b

[来源:学+科网ZXK]

4

得分训练(二)答案 一、选择题 1.C 7.C 二、填空题 13. ?6480 三、解答题 17.解答: (Ⅰ) 2 sin B(sin C ?
3 1 ? cos C ? ) ? sin A ? sin C , 2 2

2.A 8.C

3.B 9.B

4.C 10.B

5.D 11.D
6 2

6.C 12.A
3 11 ? 16. ? ?? , ? ? 4 4?

14. ?2

15.

即 3 sin B sin C ? sin B cos C ? sin A ? sin C ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin C ,

? 3 sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ,
? 3 sin B ? cos B ? 1 ,所以 2 sin( B ? ? ) ? 1 ,得 B ? ? . 6 3

???6 分

(Ⅱ)解法一:取 CM 中点 D ,连 AD ,则 AD ? CM ,则 CD ? x ,则 BD ? 3x , 由(Ⅰ)知 B ?

?
3

,? AD ? 3 3x,? AC ? 2 7 x , ???12 分

由正弦定理知,

4x 2 7x 21 ? ,得 sin ?BAC ? . sin ?BAC sin 60o 7

解法二:由(Ⅰ)知 B ?

?

3 在 ?ABM 与?ABC 中,由余弦定理分别得:

,又 M 为 BC 中点,? BM ? MC ?

a , 2

a a a2 ac AM 2 ? ( )2 ? c2 ? 2 ? ? c ? cos B ? ? c2 ? , AC 2 ? a 2 ? c2 ? 2ac ? cos B ? a 2 ? c2 ? ac, 2 2 4 2
又 AM ? AC ,?

a2 ac 3a 7 ? c2 ? ? a 2 ? c2 ? ac, ? c ? ,? b ? a, 4 2 2 2

由正弦定理知,

7a a 2 ,得 sin ?BAC ? 21 . ? 7 sin ?BAC sin 60o

5 18 .解: (1)由已知,每个男性周末上网的概率为 6 , 5 1 5 B (3, ) P ( x ? k ) ? C3k ( )3? k ( ) k 6 , 6 6 , k ? 0,1, 2,3 , 故X ~ EX ? np ? 5 2. 80 ? 8.9 ? 6.635 9 ,故有 99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系.
5

k2 ?
(2)因为

19.解答: (Ⅰ)??ABM 是边长为 2 的等边三角形, 底面 ABCD 是直角梯形,
?CD ? 3, 又 DM ? 2 3,?CM ? 3, ? AD ? 3 ? 1 ? 4,
? AD2 ? DM 2 ? AM 2 ,? DM ? AM .

又 PA ? 底面ABCD, ? DM ? PA, ? DM ? 平面PAM ,
? DM ? 平面PDM , ? 平面 PAM ? 平面PDM .

???6 分

(Ⅱ)以 D 为原点, DC 所在直线为 x 轴, DA 所在直线为 y 轴, 过 D 且与 PA 平行的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz , 则 C( 3, 0, 0), M ( 3, 3, 0), P(0, 4, 2 3),

?? ? 设平面 PMD 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,
? ? 3x1 ? 3 y1 ? 0 , 则 ? 4 y ? 2 3 z ? 0 ? ? 1 1

?? ? 取 x1 ? 3,?n1 ? (3, ? 3, 2).
( ? E 为 PC 中点,则 E

???8 分

3 , 2, 3 ) , 2 ?? ? 设平面 MDE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

? 3 x2 ? 3 y 2 ? 0 ?? ? 1 ? , 取 x2 ? 3,?n2 ? (3, ? 3, ). 则? 3 2 x2 +2 y2 ? 3z2 ? 0 ? ? 2
ur uu r n1 ? n2 13 13 由 cos ? ? ur uu r ? .? 二面角 P ? MD ? E 的余弦值为 . 14 14 n1 n2

???10 分

???12 分

20.解答: (Ⅰ)设点 P( x0 ,

2 x0 x x2 ) ,由 x 2 ? 2 py 得 y ? ,求导 y ' ? , p 2p 2p

因为直线 PQ 的斜率为 1,所以 所以抛物线的方程为 x2 ? 4 y .

x0 x2 ? 1 且 x0 ? 0 ? 1 ? 0 ,解得 p ? 2 , 2p p
???4 分[来源:Z-xk.Com]

(Ⅱ)设线段 AB 中点 M ? x0 , y0 ? ,则 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 , 2 2

k AB

x2 2 x12 ? y2 ? y1 4 4 ? 1 ? x ? x ? ? x0 , ? ? 1 2 x2 ? x1 x2 ? x1 4 2
2 ( x ? x0 ) , x0

∴直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

即 2 x ? x0 ( ?4 ? y ) ? 0 ,? l 过定点 (0, 4) .

???6 分
6

x0 ? ? AB : y ? 2 ? ( x ? x0 ) 2 ? x 2 ? 2 xx0 ? 2 x0 ?8?0 联立 ? 2 2 ?x ? 4 y ?
2 2 得 ? ? 4 x0 ? 4(2 x0 ? 8)>0 ? ?2 2<x0<2 2 ,

AB ? 1 ?

x0 2 x2 x1 ? x2 ? ( 1? 0 ) ? 32 ? 4 x02 ? ? (4 ? x02) ?8 ? x02 ? , 4 4

???8 分

2 设 C ?0,4? 到 AB 的距离 d ? CM ? x0 ?4,

? S?ABC ?
?

1 1 2 AB ? d ? (4 ? x02) ?8 ? x02 ? 2 2
???10 分 ??12 分

1 1 2 1 1 24 3 2 2 ( x0 ? 4) ? x0 ? 4 ? (16 ? 2 x0 )? ( ) ? 8, 2 2 2 2 3

2 2 当且仅当 x0 ,即 x0 ? ?2 时取等号,? S?ABC 的最大值为 8. ? 4 ? 16 ? 2 x0

21.解答: (Ⅰ) f '( x ) ?

x ? 1 ? ln x 1 , 设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x, 则 g '( x ) ? 1 ? , x ( x ? 1)2

? 当 x ? (0,1) 时, g '( x ) ? 0 ? g ( x) ? g (1) ? 0,? f '( x) ? 0, ? f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增.
(Ⅱ) h( x) ? x 2 ln x ? ax 2 ? ax(a ? 0), ? h '( x ) ? 2 x ln x ? x ? 2ax ? a,
? h ''( x ) ? 2 ln x ? 2a ? 3 ? h ''( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,

???4 分

当 x ? e( a ? 2) 时, h ''( x ) ? 0, h ''(1) ? 3 ? 2a ? 0,

? 必存在 ? ? (e( a ?2) ,1), 使得 h ''( x ) ? 0, 即 2 ln ? ? 2a ? 3 ? 0,
? h '( x ) 在 (0, ? ) 上单调递减,在 (? , ?? ) 上单调递增,

当 0 ? x ? ? 时, h '( x) ? x(2ln x ? 1 ? 2a) ? a ? x(2ln x ? 2ln ? ? 2) ? a ? 0 又 h '(? ) ? a ? 2? ? 0, h '(1) ? 1 ? a ? 0, 则存在 x0 ? (? ,1), 使 h '( x0 ) ? 0, ? h( x ) 在 (0, x0 ) 上单调递减, 在 ( x0 , ??) 上单 调递增, 当 x ? (0, x0 ) 时, h( x) ? x[ x ln x ? a( x ? 1)] ? 0 又 h(1) ? 0, 不妨设 x1 ? x2 , 则 0 ? x1 ? x0 , x0 ? x2 ? 1, 由(Ⅰ)知

?h( x1 ) ? f ( x0 )( x12 ? x1 ) f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? ? , ??? 2 f ( x2 ) ? f ( x0 ) ? ? ?h( x2 ) ? f ( x0 )( x2 ? x2 )

2 ? f ( x0 )( x2 ? x2 ) ? h( x2 ) ? h( x1 ) ? f ( x0 )( x12 ? x1 ) ,

2 2 ?( x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 1) ? 0,? x1 ? x2 ? 1.

???12 分

22.解答: (Ⅰ)连结 AD, OD. 则 AD ? BC, 又 AB ? AC , ∴ D 为 BC 的中点,而 O 为 AB 中点,∴ OD ∥ AC , 又 DF ? AC ,∴ OD ∥ DF ,而 OD 是半径,∴ DF 是 ⊙O 的切线.

???5 分
7

(Ⅱ)连 DE ,则 ?CED ? ?B ? ?C ,则 ?DCF ≌ ?DEF , ∴ CF ? FE ,设 CF ? FE ? x ,则 DF 2 ? 9 ? x 2 , 由切割线定理得: DF 2 ? FE ? FA , 9 5 ? 7? 即 9 ? x 2 ? x ? x + ? ,解得: x1 = ,x2 ? ? (舍) ,∴ AB ? AC ? 5. 5? 5 2 ?
? x ?1? ? ? 23.解答: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? ? ?

???10 分

3 t, 2 (t为参数) , (答案不唯一,可酌情给分) 1 t, 2

圆的极坐标方程为 ? ? 6 sin ? .
? 3 x ?1? t, ? ? 2 代入 x 2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ,得 t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 7 ? 0 , (Ⅱ)把 ? ? y ? 2 ? 1 t, ? ? 2 ?t1 t2 ? ?7 ,设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,

???5 分

则 PA ? t1 , PB ? t2 ,? PA ? PB ? 7.

???10 分

24. 解答: (Ⅰ)? 函数的定义域为 R, x ? 2 ? x ? 4 ? ( x ? 2) ? ( x ? 4) ? 6 ,? m ? 6 . ???5 分 (
4 a ? 7b ?















n?6







西











1 4 1 1 4 1 3 1 5 当且仅当 时取 ( a ?4 b 7 ? ) ( ? [ a ( ? b 5) ? ) a ( ? ( ? b3 )? 2 , ) ] a ? ,b ? 6 a? b 5 a? b3 6 2 a ? 5b 3a ? 2b 2 26 26

等号,? 4 a ? 7b 的最小值为

3 . 2

???10 分

8


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