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扬州市2017~2018学年度第一学期期末调研测试高三数学试题(图片版)含答案


扬州市 2017—2018 学年度第一学期期末调研测试试题

高三数学 参 考 答 案 2018.2
1. ?2? 2. ?6 3. 2 4. 240 5. 94 6.

第一部分

2 2 2? 144 13 , 25] 9. 7. 8. [ 25 27 3 3
1 7 13 ? 1 13. ( , 2] 14. 2 3 2

10. (1, )

3 2

11. (2,3) 12.

15 证 明 : ⑴ 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 四 边 形 B1BCC1 是 平 行 四 边 形 , 所 以

B1C1 // BC ,.………2 分
在 ?ABC 中, D, E 分别为 AB, AC 的中点,故 BC // DE ,所以 B1C1 // DE ,.………4 分

DE ? 平面 A1DE , 又 B1C1 ? 平面 A 1DE ,
所以 B1C1 // 平面 A 1DE .………7 分

A 作 AF ? A1D 于 F , ⑵在平面 ABB1 A 1 内,过

AF ? 平面 因为平面 A1DE ? 平面 A 1 ABB 1 ,平面 A 1 ABB 1 ? A 1 D, 1 DE ? 平面 A

A1 ABB1 ,所以 AF ? 平面 A1DE ,
AF ? DE , 又 DE ? 平面 A 1DE ,所以

.………11 分

在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1 A ? 平面 ABC , DE ? 平面 ABC ,所以 A1 A ? DE ,

A1 A ? 平面 A1 ABB1 , 因为 AF ? A1 A ? A ,AF ? 平面 A 所以 DE ? 平面 A 1 ABB 1, 1 ABB 1,
因为 AB ? 平面 A 1 ABB 1 ,所以 DE ? AB 。 分 注:作 AF ? A1D 时要交代在平面内作或要交代垂足点,否则扣 1 分 16 解:⑴因为 S△ABC= .………14

3 1 AB 创 BC sin B = 9 ,又 AB=6,BC=5,所以 sin B ? ,………2 分 5 2
4 , 5
………3 分

2 又 B ? (0, ? ) ,所以 cos B ? ? 1 ? sin B ? ?

当 cosB=

4 时, 5

AC ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos B ? 36 ? 25 ? 2 ? 6 ? 5 ?

4 ? 13 ………5 分 5

当 cosB= ?

4 4 2 2 时, AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos B ? 36 ? 25 ? 2 ? 6 ? 5 ? ? 109 5 5

所以 AC ? 13 或 109 .………7 分 注:少一解的扣 3 分 ⑵ 由 ?ABC 为锐角三角形得 B 为锐角,所以 AB=6,AC= 13 ,BC=5, 所以 cos A ?

36 ? 13 ? 25 2 , ? 2 ? 6 ? 13 13
2

又 A ? (0, ? ) , 所以 sin A ? 1 ? cos A ? 分 所以 sin 2 A = 2 创

3 , 13

………9

3 13

2 12 = , 13 13
………12 分

cos 2 A = (

2 2 3 2 5 , ) -( ) =13 13 13
p 6

所以 cos(2 A + ) = cos 2 A cos

p p - 5 3 - 12 .………14 分 - sin 2 A sin = 6 6 26

17. 解:⑴因为 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 S,所以 OS⊥MN. 在 RT ? OSM 中,因为 OS=1,∠MOS= ? ,所以 SM= tan ? , 在 RT ? OSN 中,∠NOS= 所

2? 2? ? ? ,所以 SN= tan( ??) , 3 3


MN ? t


??

2? ?? ? 3

2

3

?? ??



.………4 分 a 中

?
6


?? ?

?
2

..………6

⑵因为

?
6

?? ?

?
2

,所以 3 tan ? ? 1 ? 0 ,

令 t ? 3 tan ? ?1 ? 0 ,则 tan ? ? 所

3 (t ? 1) , 3


MN ?

3 4 (t ? ? 2) , 3 t

..………8

分 由 基 本 不 等 式 ………10 分 得

MN ?
当 “=” 此

3 4 ? (2 t ? ? 2) ? 2 3 , 3 t
且 仅 当

t?

4 t



t?2





. .………12 分 时

t

?? a

n ,

由3



?
6

?? ?

?
2





??

?
3

.

. .………13 分

答:⑴ MN ? tan ? ? tan(

? ? 2? 3(tan 2 ? ? 1) ,其中 ? ? ? ??) ? 6 2 3 3 tan ? ? 1


⑵ 米



??

?
3



MN















2 3



.. .………14 分

注:第⑵问中最小值对但定义域不对的扣 2 分

x2 y 2 ? ? 1 ,代入点 ( 2,1) 得 m ? 2 , 18 解:⑴设椭圆 E2 的方程为 2m m x2 y 2 ? ? 1 ………3 分 所以椭圆 E2 的方程为 4 2
⑵因为椭圆 E1 的离心率为

2 2 2 ,故 a ? 2b ,所以椭圆 E1 : x2 ? 2 y 2 ? 2b2 2

又椭圆 E2 与椭圆 E1 “相似” ,且 m ? 4 ,所以椭圆 E1 : x2 ? 2 y2 ? 8b2 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) , ①方法一:由题意得 b ? 2 ,所以椭圆 E1 : x2 ? 2 y 2 ? 8 ,将直线 l : y ? kx ? 2 , 代入椭圆 E1 : x2 ? 2 y 2 ? 8 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 0 , 解得 x1 ? 所以 A(

2 ? 4k 2 ?8k , x ? 0 y ? , y2 ? 2 , ,故 2 1 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?8k 2 ? 4k 2 , ) ………5 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
??? ?

又 AP ? 2 AB , 即 B 为 AP 中点, 所以 P( 分

??? ?

8k 2 ? 12k 2 , ), 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

………6

8k 2 2 ? 12k 2 2 ) ? 2( ) ? 32 , 代入椭圆 E2 : x ? 2 y ? 32 得 ( 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

即 20k 4 ? 4k 2 ? 3 ? 0 ,即 (10k 2 ? 3)(2k 2 ? 1) ? 0 ,所以 k ? ? 所以直线 l 的方程为 y ? ?

30 10

30 x ? 2 ………8 分 10

方法二:由题意得 b ? 2 ,所以椭圆 E1 : x2 ? 2 y 2 ? 8 , E2 : x2 ? 2 y 2 ? 32 设 A( x, y), B(0, 2) ,则 P(? x, 4 ? y ) , 代入椭圆得 ?
2 2 ? 1 30 ?x ? 2 y ? 8 ,解得 y ? ,故 x ? ? ………6 分 2 2 2 2 x ? 2(4 ? y ) ? 32 ? ?

所以 k ? ?

30 , 10
30 x ? 2 ………8 分 10

所以直线 l 的方程为 y ? ?

2 2 2 2 ②方法一: 由题意得 x0 ? 2 y0 ? 8b2 , x12 ? 2 y12 ? 2b2 , x2 ? 2 y2 ? 2b2 ,

y0 y1 1 ? ? ? ,即 x0 x1 ? 2 y0 y1 ? 0 , x0 x1 2

x ? (? ? 1) x1 ? x2 ? 0 ? ??? ? ??? ? ? ? AP ? ? AB ,则 ( x0 ?x1 , y0 ?y1 ) ? ? ………12 (x2 ?x1 ,y2 ? y1 ) ,解得 ? y ? ( ? ? 1) y 0 1 ?y ? 2 ? ? ?
分 所以 (

x0 ? (? ? 1) x1

?

) 2 ? 2(

y0 ? (? ? 1) y1

?

) 2 ? 2b 2

2 2 则 x0 ? 2(? ?1) x0 x1 ? (? ?1)2 x12 ? 2 y0 ? 4(? ?1) y0 y1 ? 2(? ?1)2 y12 ? 2? 2b2 2 2 ( x0 ? 2 y0 ) ? 2(? ?1)( x0 x1 ? 2 y0 y1 ) ? (? ?1)2 ( x12 ? 2 y12 ) ? 2? 2b2

2 2 2 2 2 2 2 所以 8b ? (? ?1) ? 2b ? 2? b ,即 4 ? (? ? 1) ? ? ,所以 ? ?

5 .………16 分 2

方法二: 不妨设点 P 在第一象限, 设直线 OP : y ? kx(k ? 0) , 代入椭圆 E2 : x2 ? 2 y 2 ? 8b2 , 解得 x0 ?

2 2b 1 ? 2k
2

,则 y0 ?

2 2bk 1 ? 2k 2



直线 OP, OA 的斜率之积为 ?

1 1 x ,代入椭圆 E1 : x2 ? 2 y 2 ? 2b2 , ,则直线 OA : y ? ? 2k 2

解得 x1 ? ?

2bk 1 ? 2k 2

,则 y1 ?

b 1 ? 2k 2

x ? (? ? 1) x1 ? x2 ? 0 ??? ? ??? ? ? ? ? , AP ? ? AB ,则 ( x0 ? x1 , y0 ? y1 ) ? ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,解得 ? ? y ? y0 ? (? ? 1) y1 2 ? ? ?
所以 (

x0 ? (? ? 1) x1

?

) 2 ? 2(

y0 ? (? ? 1) y1

?

) 2 ? 2b 2

2 2 则 x0 ? 2(? ?1) x0 x1 ? (? ?1)2 x12 ? 2 y0 ? 4(? ?1) y0 y1 ? 2(? ?1)2 y12 ? 2? 2b2 2 2 ( x0 ? 2 y0 ) ? 2(? ?1)( x0 x1 ? 2 y0 y1 ) ? (? ?1)2 ( x12 ? 2 y12 ) ? 2? 2b2





8b2 ?

?

2

b
2

1? k

, 2

?

2 2

即 8b2 ? (? ?1)2 ? 2b2 ? 2? 2b2 ,即 4 ? (? ? 1)2 ? ? 2 ,所以 ? ? 19 解:(1)由 g (?1) ? 0 知, g ( x) 的图象直线过点 (?1,0) ,

5 2

设切点坐标为 T ( x0 , y0 ) ,由 f '( x) ? e x 得切线方程是 y ? ex0 ? ex0 ( x ? x0 ) 此直线过点 (?1,0) ,故 0 ? ex0 ? ex0 (?1 ? x0 ) ,解得 x0 ? 0 , 所以 a ? f '(0) ? 1 .………3 分 (2)由题意得 m ? e ? x , x ? (0, ??) 恒成立,
x 2

令 m( x) ? e x ? x2 , x ? (0, ??) , 则 m('x ) ? e x2? x

, 再令 n( x) ? m '( x) ? e x ? 2 x , 则 n('x ) ? e x2 ? ,

故当 x ? (0,ln 2) 时,n '( x) ? 0 ,n( x) 单调递减; 当 x ? (ln 2, ??) 时,n '( x) ? 0 ,n( x) 单调递增, 从而 n( x) 在 (0, ??) 上有最小值 n(ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以 m( x) 在 (0, ??) 上单调递增,.………6 分 所以 m ? m(0) ,即 m ? 1 .………8 分 注:漏掉等号的扣 2 分 (3)若 a ? 0 , F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? ax ? b 在 (0, ??) 上单调递增, 故 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上总有零点的必要条件是 F (0) ? 0 ,即 b ? 1 , 以下证明当 b ? 1 时, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上总有零点。 ①若 a ? 0 ,
b b ? ? b b 由于 F (0) ? 1 ? b ? 0 , F (? ) ? e a ? a(? ) ? b ? e a ? 0 ,且 F ( x) 在 (0, ??) 上连续 a a

………10 分

b 故 F ( x) 在 (0, ? ) 上必有零点; a

………12 分

②若 a ? 0 , F (0) ? 1 ? b ? 0 , 由(2)知 e x ? x 2 ? 1 ? x 2 在 x ? (0, ??) 上恒成立, 取
x0 ? a ? b





F ( x0 ? F a ? ) b ? ea ?b ? a a(? b ? b

)

? (a ? b)2 ? a2 ? ab ? b ? ab ? b(b ? 1) ? 0

由于 F (0) ? 1 ? b ? 0 , F (a ? b) ? 0 ,且 F ( x) 在 (0, ??) 上连续 故 F ( x) 在 (0, a ? b) 上必有零点, 综上得:实数 b 的取值范围是 (1, ??) 。 20.解: (1) 2Sn ? an 2 ? an ①, 2Sn?1 ? an?12 ? an?1 ②, ②-①得: 2an?1 ? an?12 ? an 2 ? an?1 ? an ,即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 因为 {an } 是正数数列,所以 an?1 ? an ?1 ? 0 ,即 an?1 ? an ? 1 , 所以 {an } 是等差数列,其中公差为 1, 在 2Sn ? an 2 ? an 中,令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 所以 an ? n ……………2 分 由 2bn ?1 ? bn ? 所以数列 { 所以 .………16 分

b 1 b bn 得 n ?1 ? ? n , an n ? 1 2 n

bn 1 1 } 是等比数列,其中首项为 ,公比为 , n 2 2
……………………5 分

bn 1 n ? ( ) n , 即bn ? n . n 2 2

注:也可累乘求 ?bn ? 的通项 (2) cn ?

1 1 bn? 2 n?2 ? ,裂项得 cn ? ……………………7 分 ? 2 n n ?1 n ? 2 (n ? 1)2n ?1 Sn (n ? n)2 1 1 ? ……………………9 分 2 (n ? 1)2n ?1

所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ?

(3)假设存在正整数 p, q, r ( p ? q ? r ) ,使得 bp , bq , br 成等差数列,则 bp ? br ? 2bq ,即

p r 2q ? r ? q , p 2 2 2
因为 bn ?1 ? bn ?

n ?1 n 1? n ? ? ,所以数列 {bn } 从第二项起单调递减, 2n ?1 2n 2n ?1

当 p ? 1 时, 若 q ? 2 ,则

1 r 2q ? ? , 2 2r 2q

r 1 ? ,此时无解; 2r 2 r 1 ? ,因为 {bn } 从第二项起递减,故 r ? 4 ,所以 p ? 1, q ? 3, r ? 4 符 2r 4

若 q ? 3 ,则

合要求………11 分 若 q ? 4 ,则

b1 b1 ? ? 2 ,即 b1 ? 2bq ,不符合要求,此时无解; bq b4
bp bq ? bp bP ? 2 ? 4p 4 ? ? 2 ,即 p ? 2 1? 2 p

当 p ? 2 时,一定有 q ? p ? 1 ,否则若 q ? p ? 2 ,则

bp ? 2bq ,矛盾,
所以 q ? p ? 1 ,此时

r 1 ? p ,令 r ? p ? m ? 1 ,则 r ? 2m?1 ,所以 p ? 2m?1 ? m ? 1 , r 2 2

q ? 2m?1 ? m ,
综 上 得 : 存 在 p ? 1, q ? 3,r ? 4 或 p ? 2m?1 ? m ? 1 , q ? 2m?1 ? m , r ? 2 求………………16 分
m ?1

满足要

第二部分(加试部分)答案
21.A.解:因为 A ? ? ? ? ? ,即 ? 所以 A ? ?

?1? ?3? ?1? ?5?

?2 x ? ?1? ?3? ?x ? 1 ?2 ? x ? 3 ,解得 ? , ? ? ? ,即 ? ? ? ? ?3 y ? ?1? ?5? ?y ? 2 ?3 ? y ? 5

?2 1? ? ,……5 分 ? 3 2?

? 2a ? c ? 1 ?3a ? 2c ? 0 ?a b ? ?2 1 ? ?a b ? ?1 0 ? ? ?1 法 1:设 A?1 ? ? ,则 ,即 ,……7 分 AA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 b ? d ? 0 ?c d ? ?3 2 ? ? c d ? ?0 1 ? ? ? ?3b ? 2d ? 1 ?a ? 2 ?b ? ?1 ? 2 ?1? ? 解得 ? ,所以 A?1 ? ? ? .……10 分 ? ?3 2 ? ?c ? ?3 ? ?d ? 2
? d ? ad ? bc ?a b ? ? 法 2:因为 ? ? ? ?c d ? ? ?c ? ad ? bc ?
?1
?1 ?1

?b ? 2 1 ad ? bc ? ? 2 ? 2 ? 1? 3 ? 1 , ? ,且 det( A) ? a ? 3 2 ? ad ? bc ?

?2 1? ? 2 ?1? ?? 所以 A ? ? ? ? .……10 分 ?3 2? ? ?3 2 ?
注:法 2 中没有交待逆矩阵公式而直接写结果的扣 2 分

? 2 t ?x ? m ? ? 2 B.解: (1)因为直线 l 的参数方程是: ? ( t 是参数), ?y ? 2 t ? 2 ?
所以直线 l 的普通方程为 x ? y ? m ? 0 . -------------------2 分 因为曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 6cos? ,故 ? ? 6?cos? ,所以 x ? y ? 6 x
2 2 2

所以曲线 C 的直角坐标方程是 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 (2)设圆心到直线 l 的距离为 d ,则 d ? 3 ?1 ? 2 2 ,
2 2

-------------------5 分

又d ?

3? m 2

? 2 2 , ------------------8 分
-------------------10 分

所以 3 ? m ? 4 ,即 m ? ?1 或 m ? 7

22 . 解 : ⑴ 记 “6 名 大 学 生 中 至 少 有 1 名 被 分 配 到 甲 学 校 实 习 ” 为 事 件 A , 则

P ( A ) =1 -

1 63 ? . 6 2 64
63 ……3 分 64

答:6 名大学生中至少有 1 名被分配到甲学校实习的概率为

⑵ ? 所有可能取值是 0,2,4,6 ,记“ 6 名学生中恰有 i 名被分到甲学校实习”为事件 Ai ( i ? 0, 1,?, 6 ),则

3 3 C6 C 5 P(? ? 0) ? P( A3 ) ? 6 3 ? , 2 16 2 4 4 2 C6 C4 C6 C 15 P(? ? 2) ? P( A2 ? A4 ) ? P( A2 ) ? P( A4 ) ? 6 ? 6 2 ? , 2 2 32 1 5 5 1 C6 C5 C6 C 3 P(? ? 4) ? P( A1 ? A5 ) ? P( A1 ) ? P( A5 ) ? 6 ? 6 1 ? , 2 2 16 0 6 6 0 C6 C6 C6 C 1 P(? ? 6) ? P( A0 ? A6 ) ? P( A0 ) ? P( A6 ) ? 6 ? 6 6 ? , 2 2 32

……7 分

所以随机变量 ? 的概率分布为:

?
P

0

2

4

6

5 16

15 32

3 16

1 32

所以随机变量 ? 的数学期望 E (? ) ? 0 ? 答:随机变量 ? 的数学期望 E (? ) ?

5 15 3 1 15 ? 2 ? ? 4 ? +6 ? ? .……9 分 16 32 16 32 8

15 .……10 分 8

23.解(1)因为 M (a5 , b5 ) ? 2 ,所以 b5 为 5 位数且与 a5 有 2 项不同,
2 又因为首项为 1,故 a5 与 b5 在后四项中有两项不同,所以 b5 的个数为 C4 ? 6 .……3 分 0 (2)当 M (an , bn ) =0 时, bn 的个数为 Cn ?1 ;

1 当 M (an , bn ) =1 时, bn 的个数为 Cn ?1 , 2 当 M (an , bn ) =2 时, bn 的个数为 Cn ?1 ,

???
n?1 当 M (an , bn ) ? n?1 时, bn 的个数为 Cn ?1 ,
0 1 2 n?1 设 M (an , bn ) 的和为 S , 则 S ? 0Cn Cn ?1 ? 1 ?1 ? 2Cn?1 ? ? ? (n ? 1)Cn?1 , n?1 2 1 0 倒序得 S ? (n ?1)Cn Cn ?1 ? ? ? 2Cn?1 ? 1 ?1 ? 0Cn?1 , 0 1 n?1 n?1 倒序相加得 2S ? (n ?1)[Cn ,即 S ? (n ?1) ? 2n?2 , ?1 ? Cn?1 ? ? Cn?1 ] ? (n ? 1) ? 2

.……6 分

所以 M (an , bn ) 的和为 (n ?1) ? 2n?2 .……10 分


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