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山东省淄博市2013届高三数学第二次模拟考试试题文理均有且有答案

高三复习阶段性检测试题 文 科 数 学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 5 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,考试结束 后,将试卷和答题卡一并上交. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂 改液、 胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 锥体的体积公式: V ?
1 3 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.

如 果 事 件 A,B 互 斥, 那么 P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? ; 如 果 事件 A,B 独 立, 那 么
P ? AB ? ? P ? A ? ? P ? B ? .

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? ??1, 0,1? , B ? ? y y ? e x , x ? A? ,则 A ? B = A. ?0? 2.复数 A. ?1
1? i 1? i

B. ?1?

C. ?0,1?

D. ??1, 0,1?

(i 是虚数单位)的共轭复数的虚部为 B.0 C.1 D.2

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3.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 a13 ? S13 ? 13,则a1 ? A. ?14 B. ?13 C. ?12 D. ?11 4.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是 A.1 B.2 C.3 D.4 5.函数 f ? x ? ? 2 x ? tan x在 ? ?
? ?

? ? ?
2

, ? 上的图象大致为 2?

6.在 ?ABC 中, sin A ? “

3 2

”是“ ?A ?

?
3

”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,
AB ? 2, AD ? 1, ? A ? 60 , 点 M 在 AB 边 上 , 且
AM ? 1 3 ???? ??? ? ? AB,则 DM ? DB 等于
?

A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?1

D.1

2 8.设 p在 ? 0, 5? 上随机地取值,则关于 x 的方程 x ? px ? 1 ? 0 有实数根的概率为

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

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?x ? 0 ? 9.已知 x,y 满足条件 ? y ? x (k 为常数) ,若目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k= ?2 x ? y ? k ? 0 ?

A. ?16

B. ?6

C. ?

8 3

D.6

10.已知 ?ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 若 ?ABC 的面积为 S,且
2 S ? ? a ? b ? ? c , 则 tan C 等于
2 2

A.

3 4

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4
2 2

11.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少 存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 A. ?
4 3

B. ?

5 4

C. ?

3 5

D. ?

5 3

12.定义域为 ? a, b ? 的函数 y ? f ? x ? 的图象的两个端点为 A,B,M ? x, y ? 是f ? x ? 图象上任意一 点,其中 x ? ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? ? R ? ,向量ON ? ? OA ? ?1 ? ? ? OB ,若不等式 MN ? k 恒成 立,则称函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 则实数 k 的取值范围为
? A. ? 0, ? ? ? B. ?1, ? ?
1 x

????

??? ?

??? ?

???? ?

, 在 ?1 2? 上“k 阶线性近似” ,

C. ? ? 2, ? ? ?
?2 ?

?3

?

D. ? ? 2, ? ? ?
?2 ?

?3

?

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是 ______. 14.若双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1,F2,

线段 F1F2 被抛物线 y ? 2bx 的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线
2

的离心率为______. 15.已知函数 f ? x ? 在实数集 R 上具有下列性质:①直线 x ? 1 是 函 数 f ? x ? 的 一 条 对 称 轴 ; ② f ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? ; ③ 当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时 ,

? f ? x ? ? f ? x ?? ? ? x
2 1

2

? x1 ? ? 0, 则

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f ? 2012 ? 、 f ? 2013? 从大到小的顺序为_______.

16.在如图所示的数阵中,第 9 行的第 2 个数为___________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x? ? x ? cos 2 ? x ? cos 周期为
?
2 . 1 2

?? ? 0 ? ,其最小正

(I)求 f ? x ? 的表达式; (II) 将函数 f ? x ? 的图象向右平移
?
8

个单位, 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵
? ?

坐标不变) ,得到函数 y ? g ? x ? 的图象,若关于 x 的方程 g ? x ? ? k ? 0 ,在区间 ? 0, 且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 50 名学生, 将他们的期中考试数 学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: 得到如图所示的频率分布直方图. ? 40, 50 ? , ?50, 60 ? , ? ? ?, ?90,100? , (I)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计成绩不低于 60 分 的人数; (II)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的 50 名 学生中成立“二帮一”小组,即从成绩 ?90,100? 中选两位同学, 共同帮助 ? 40, 50 ? 中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分, 乙 同学的成绩为 95 分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率. 19.(本小题满分 12 分)

??
2? ?

上有

在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形, AE ? 1, AE ? 平面 ABC,平面
BCD ? 平面 ABC,BD=CD,且 BD ? CD.

(I)AE//平面 BCD; (II)平面 BDE ? 平面 CDE. 20.(本小题满分 12 分) 等比数列 ?cn ? 满足 cn ?1 ? cn ? 10 ? 4n ?1 ? n ? N * ? , 数列?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 an ? log 2 cn . ....

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第 19 题图

(I)求 an , S n ; (II)数列 ?bn ? 满足bn ?
1 4Sn ? 1 , Tn为数列?bn ? 的前 n 项和,是否存在正整数 m, ? m ? 1? ,

使得 T1 , Tm , T6 m 成等比数列?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 13 分) 已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? . (I)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围;
? 3? ? 1?

(II)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ?

t x ?1

恒成立,求实数 t 的取值范围.

22.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂足为
2

T) ,与抛物线交于不同的两点 P、Q 且 F1 P ? F2Q ? ?5 . (I)求点 T 的横坐标 x0 ; (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1,
? ? ? 2? ?. 2 ? ?

???? ???? ?

①求椭圆 C 的标准方程; ②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 F2 A ? ? F2 B ,若 ? ? ? ?2, ?1? , 求 TA ? TB 的 取值范围.
???? ? ???? ?
?? ? ???

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高三复习阶段性检测试题

文科数学参考答案及评分标准
一、 选择题 1-5 B A D B C 6-10 A D C B C 11-12 A C 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)
2,? 2 2

(14)

2 3 3

(15) f (2013) , f (2012) , f (2011) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)(本小题满分 12 分) 解: (I) f ( x ) ?
?
2

(16)66

3 sin ? x ? cos ? x ? cos ? x ?

1 2

3 2

sin 2? x ?

cos 2? x ? 1 2

?

1 2

? sin(2? x ?
2? 2? ?

?
6

)

?????3 分

由题意知 f (x) 的最小正周期 T ? 所以 ? ? 2

?
2

,T ?

? ?

?

?
2

??????????????????????????5 分
? ?

所以 f ? x ? ? sin ? 4 x ?

??
? 6?

??????????????????6 分
?
8

(Ⅱ)将 f ( x) 的图象向右平移个

个单位后,得到 y ? sin( 4 x ?

?
3

) 的图象,再将所得图

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象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin( 2 x ? 所以 g ( x) ? sin( 2 x ? 因为 0 ? x ?
?
2

?
3

) 的图象.

?
3

)

??????????9 分
? 2x ?

,所以 ?

?
3

?
3

?

2? 3

? ?? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x ) 与 y ? ? k 在区间 g ( x ) ? k ? 0 在区间 0, ? 2? ? ?

? ?? 上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知 ? 3 ? ? k ? 3 或 ? k ? 1 0, ? 2? ? ? 2 2

所以 ?

3 2

?k ?

3 2

或 k ? ?1 .

??????????12 分

(18)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)根据频率分布直方图, 成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.004 ? 0.010) ? 0.86 . ????2 分 由于该校高一年级共有学生 1000 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数 学成绩不低于 60 分的人数为 1000 ? 0.86 ? 860 人. ???????????????????5 分 (Ⅱ)成绩在 ? 40, 50 ? 分数段内的人数为 50 ? 0.04 ? 2 人 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 50 ? 0.1 ? 5 人,??????????7 分 [40,50)内有 2 人,记为甲、A.[90,100)内有 5 人,记为乙、B、C、D、 E . 则“二帮一”小组有以下 20 种分组办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E , 甲 BC, 甲 BD,甲 B E ,甲 CD, 甲 C E , 甲 DE, A 乙 B,A 乙 C,A 乙 D,A 乙 E,ABC,ABD, ABE , ACD, ACE, ADE ????????10 分 其中甲、乙两同学被分在同一小组有 4 种办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E 所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P ?
4 20 ? 1 5

. ????12 分

(19)(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM ,由已知可得 DM ? 1 , DM ? BC , AM ? BC . 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC ????2 分 因为 AE ? 平面 ABC , 所以 AE ∥ DM ????4 分 又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD 所以 AE ∥平面 BCD . ????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AE ∥ DM ,又 AE ? 1 , DM ? 1 , 所以四边形 DMAE 是平行四边形, 则有 DE ∥ AM . 因为 AM ? 平面 BCD , 所以 DE ? 平面 BCD . ????8 分 又 CD ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD 由已知 BD ? CD ,

E

D A C M B

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则 CD ? 平面 BDE ????????????????????10 分 因为 CD ? 平面 CDE , 所以平面 BDE ⊥平面 CDE . ????????????????????12 分 (也可利用勾股定理证明题中的垂直关系.) (20)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) c1 ? c 2 ? 10, c 2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4 ????????2 分
c1 ? 4c1 ? 10
cn ? 2 ? 4
n ?1

得 c1 ? 2
2 n ?1

?2

????????4 分 ????????5 分
?n
2

所以 an ? log 2 2 2 n ?1 ? 2n ? 1
Sn ? n( a 1 ? an ) 2 ? n[1 ? (2n ? 1)] 2

????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 于是 Tn ?

1 4n ? 1
2

?

1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 ?? 1? ?1 1? 1 ?? n ? 1 ?????8 分 ? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3? ?3 5? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2n ? 1

假设存在正整数 m ? m ? 1? ,使得 T1 , Tm , T6 m 成等比数列,则
1 6m ? m ? , ? ? ? ? 3 12m ? 1 ? 2m ? 1 ?
2

????????10 分

整理得 4m 2 ? 7 m ? 2 ? 0 , 解得 m ? ?
?

1 4

或 m?2

由 m ? N , m ? 1 ,得 m ? 2 , 因此,存在正整数 m ? 2 ,使得 T1 , Tm , T6 m 成等比数列 (21)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意 k ? f ? x ? ?
1 ? ln x x

????????12 分 ……………………1 分

,x?0

所以 f ? ? x ? ? ?

? ln x ? 1 ? ln x ? ? ?? 2 x x ? ?

……………………2 分

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减. 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. 因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ?
? ?

……………………4 分
1? ? ( m ? 0 )上存在极值, 3?

?0 ? m ? 1 2 ? 所以 ? 得 ? m ?1, 1 3 ?m ? ? 1 3 ?
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即实数 m 的取值范围是 ? , . 1?
?3 ?

?2

?

……………………6 分

(Ⅱ)由 f ? x ? ?

t x ?1

得t ?

? x ? 1? ?1 ? ln x ?
x

……………………7 分

令 g ? x? ? 则 g? ? x ? ?

? x ? 1? ?1 ? ln x ?
x
x ? ln x x
2

.
1 x

……………………9 分 则 h? ? x ? ? 1 ?
x ?1 x

令 h ? x ? ? x ? ln x

=

+? 因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增,

所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g ? ? x ? ? 0 ,
g ? x ? 在 ?1 +? ? 上单调递增, , g ? x ? ? g ?1? ? 2

……………………11 分

所以实数 t 的取值范围是 ? ??, 2? . (22)(本小题满分 13 分)

……………………13 分

解: (Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 P( x0 , y0 ) , Q ( x0 ,? y0 ) 则 F1P ? ( x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) . 由 F1P ? F2Q ? ?5 , 得 x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,① 又 P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4x0 ,② 联立①、②易得 x0 ? 2 (Ⅱ) (ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 , 设椭圆 C 的标准方程为
1
2
2 2 2 2

???????2 分

????????4 分
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) ,



1 a
2
2

? 2 ?1 2 b
2

③ ④
1 2

a ? b ?1

???????5 分 (舍去) ????????6 分
x
2

将④代入③,解得 b 2 ? 1 或 b 2 ? ? 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ? 2 故椭圆 C 的标准方程为

? y ?1
2

????????7 分

2
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(ⅱ)方法一: 容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1 将直线 l 的方程代入
x
2

? y ? 1 中得: ( k ? 2) y ? 2ky ? 1 ? 0 .??????8 分
2

2

2

2

设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 可得: y1 ? y2 ? ?
y1 y2 ? ?

2k k ?2
2

⑤ ⑥
y1 y2 ? ? ,且 ? ? 0 .

1 k ?2
2

???????9 分

因为 F2 A ? ? F2 B ,所以

将⑤式平方除以⑥式,得:
y1 y2 ? y2 y1 ?2?? 4k
2 2

k ?2
5 2

???
1

1

?

?2??

4k
2

2

k ?2
1 2 ??? 1 ?2?0 ??

由 ? ? ? ?2, ?1? ? ? 所以
0?k ?
2

? ?+

?

? ?2 ? ?

1 2

?

??

4k
2

2

k ?2

?0

2 7

???????????????????????11 分
??? ??? ???

因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 又 y1 ? y2 ? ?
2k k ?2
2

???

,所以 x1 ? x2 ? 4 ? k ( y1 ? y2 ) ? 2 ? ?

4( k ? 1)
2

k ?2
2



2 2 2 ??? ??? 16( k ? 1) 4k 2 2 2 ? 故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? 2 2 2 2 ( k ? 2) ( k ? 2)

?

16( k ? 2) ? 28( k ? 2) ? 8
2 2 2

( k ? 2)
2

2

? 16 ?

28 k ?2
2

?

8 ( k ? 2)
2 2

, ,即 t ? [
7 , 1 ],

令t ?

1
2

k ?2 7 16 k ?2 2 ?? ? ??? 7 17 所以 | TA ? TB |2 ? f (t ) ? 8t 2 ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) 2 ? . 4 2
2

,因为 0 ? k 2 ?

2

所以

7

?

1

?

1

16 2

而 t ?[

7

,

1

] ,所以 f (t ) ? [4,
13 2 8

169 32

].

16 2

所以 | TA ? TB |? [2, 方法二:

?? ?

???

] .????????????????????13 分

1)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时, A(1, 又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1,
?? ? ??? 2 2

2 2

) , B (1,?

2 2

),

) ? ( ?1, ?

2 2

) ?2

????8 分

2)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

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? y ? kx ? k ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 2

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 可得: x1 ? x2 ?
4k
2 2

1 ? 2k

, x1 ? x2 ?
? 2k 1 ? 2k
2

2k ? 2
2

1 ? 2k

2

????????9 分 ⑤

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ?
2

y1 ? y2 ? k ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ?

?k

2 2

1 ? 2k



因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 将⑤式平方除以⑥式得:
??
1

y1 y2

? ? ,且 ? ? 0 .

?

?2?

?4 1 ? 2k
2

由 ? ? ?? 2,?1? 得 ? ? 故?
1 ? ?4
2

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ? ,?2 ? 即 ? ? ? 2 ? ? ,0 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 1
2

2 1 ? 2k 2 ??? ??? ??? ??? 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,

? 0 ,解得 k ?

7

???????????????10 分

又 x1 ? x2 ? 4 ?
2

? 4(1 ? k )
2

1 ? 2k

2


2 2

故 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ?
? 4(1 ? 2k ) ? 10(1 ? 2k ) ? 2
2 2 2

16(1 ? k )
2

2

(1 ? 2k )
2

2

?

4k

2 2 2

(1 ? 2k )

(1 ? 2k )
2

2

? 4?

10 1 ? 2k
1 1 ? 2k
2

?

2 (1 ? 2k )
2 2

???????11 分
? ? 1? ?

令t ?

1 1 ? 2k
2

,因为 k 2 ?

7 2

所以 0 ?

2

?

1

,即 t ? ? 0, ? , 8 8

?? ? ??? 2 5 17 ? 169 ? 所以 TA ? TB ? 2t 2 ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) 2 ? . ? ? 4, ? 2 2 32 ? ?

所以 TA ? TB ? ? 2,
? ?
?? ?

?

13 2 ? ? 8 ?
13 2 8 ].

????????12 分

综上所述: | TA ? TB |? [2,

???

????????13 分

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高三复习阶段性检测试题 理 科 数 学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 5 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,考试结束 后,将试卷和答题卡一并上交. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂 改液、 胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 锥体的体积公式: V ?
1 3 S h ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.

如 果 事 件 A,B 互 斥, 那么 P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? ; 如 果 事件 A,B 独 立, 那 么
P ? AB ? ? P ? A ? ? P ? B ? .

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? ? ? 1, 0 ,1? , B ? ? y y ? e x , x ? A ? ,则 A ? B = A. ? 0 ? 2.复数 A. ? 1
1? i 1? i

B. ?1?

C. ? 0 ,1?

D. ? ? 1, 0 ,1?

(i 是虚数单位)的共轭复数的虚部为 B.0 C.1 D.2

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3.已知等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,满足 a 1 3 ? S 1 3 ? 1 3, 则 a 1 ? A. ? 1 4 B. ? 1 3 C. ? 1 2 D. ? 1 1 4.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的 体积是 A.1 B.2 C.3 D.4 5.函数 f ? x ? ? 2 x ? ta n x 在 ? ?
? ?

?

? ? , ? 上的图象大致为 2 2 ?

6.在 ? A B C 中, s in A ? “

3 2

”是“ ? A ?

?
3

”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,
A B 2 ? , A ?D 1 ? ,
?

A ? 6 0 , 点 M 在 AB 边 上 , 且

AM ?

1 3

AB 则 ,

????? ???? D M D 等于 ? B

A. ?

3 2

B.

3 2

C. ? 1

D.1

8.市内某公共汽车站 6 个候车位(成一排) ,现有 3 名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好 有 2 个连续空座位的候车方式的种数是 A.48 B.54 C.72 D.84
?x ? 0 ? 9.已知 x,y 满足条件 ? y ? x (k 为常数) ,若目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k= ?2x ? y ? k ? 0 ?

A. ? 1 6

B. ? 6

C. ?

8 3

D.6

10.已知 ? A B C 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 若 ? A B C 的面积为 S,且
2S ?

? a ? b?

2

? c , 则 t a n C 等于
2

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A.

3 4

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4
2 2

11.在平面直角坐标系 xo y 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8 x ? 1 5 ? 0 ,若直线 y ? k x ? 2 上至少 存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 A. ?
4 3

B. ?

5 4

C. ?

3 5

D. ?

5 3

12.定义域为 ? a , b ? 的函数 y ? f ? x ? 的图象的两个端点为 A,B,M ? x , y ? 是 f ? x ? 图象上任意一 点,其中 x ? ? a ? ? 1 ? ? ? b ? ? ? R ? ,向 量 O N ? ? O A ? ? 1 ? ? ? O B ,若不等式 M N ? k 恒成 立,则称函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 则实数 k 的取值范围为 A. ? 0, ? ? ? B. ?1, ? ? ? C. ?
?3 ?2 ? ? 2, ? ? ? ?

????

??? ?

??? ?

???? ?

1 x

, 在 ?1, ? 上“k 阶线性近似” 2

D. ?

?3 ?2

?

? 2, ? ? ? ?

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是 ______. 14.若双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1,F2,

线段 F1F2 被抛物线 y ? 2 b x 的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线
2

的离心率为______. 15.已知函数 f ? x ? 在实数集 R 上具有下列性质:①直线 x ? 1 是 函 数 f ? x ? 的 一 条 对 称 轴 ; ② f ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? ; ③ 当 1 ? x1 ? x 2 ? 3 时 ,

? f ? x ? ? f ? x ?? ? ? x
2 1

2

? x1 ? ? 0 , 则

f

? 2 0 1 2 ? 、 f ? 2 0 1 3 ? 从大到小的顺序为_______.

16.如图,一个类似杨辉三角的数阵,请写出第 n ? n ? 2 ? 行的第 2 个数为______. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?
3 s in ? x ?c o s ? x ? c o s ? x ?
2

1 2

??

? 0? , 其最小

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正周期为

?
2

.

(I)求 f ? x ? 的表达式; (II) 将函数 f ? x ? 的图象向右平移
?
8
? ?

个单位, 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵
? ?
2 ? ?

坐标不变) ,得到函数 y ? g ? x ? 的图象,若关于 x 的方程 g ? x ? ? k ? 0 ,在区间 ? 0 , 且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围.

上有

18.(本小题满分 12 分) 袋中有 8 个大小相同的小球,其中 1 个黑球,3 个白球,4 个红球. (I)若从袋中一次摸出 2 个小球,求恰为异色球的概率; (II)若从袋中一次摸出 3 个小球,且 3 个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数, 记此时红球的个数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

19.(本小题满分 12 分) 等比数列 ? c n ? 满足 c n ? 1 ? c n ? 1 0 ? 4 n ? 1 ? n ? N * ? , 数 列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 a n ? lo g 2 c n . .... (I)求 a n , S n ; ( II ) 数 列 ? b n ? 满 足 b n ?
1 4Sn ?1 , Tn为 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 , 是 否 存 在 正 整 数 m ,

k ? 1 ? m ? k ? ,使得 T1 , T m , T k 成等比数列?若存在,求出所有 m , k 的值;若不存在,请说明

理由. 20.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中, ? A B C 是边长为 2 的正三角形,
A E ? 1, A E ? 平面 ABC,平面 B C D ? 平面 ABC,BD=CD,且

BD ? CD .

(I)若 AE=2,求证:AC、 、平面 BDE; (II)若二面角 A—DE—B 为 60°,求 AE 的长. 21.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂足为
2

T) ,与抛物线交于不同的两点 P,Q 且 F1 P ? F 2 Q ? ? 5 .
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???? ???? ?

(I)求点 T 的横坐标 x 0 ; (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1,
? ? ? 2 ? ?. 2 ? ?

①求椭圆 C 的标准方程; ②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 F 2 A ? ? F 2 B ,若 ? ? ? ? 2 , ? 1 ? , 求 T A ? T B 的 取值范围. 22.(本小题满分 13 分) 已知 P ? x , y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? . (I)若函数 f ? x ? 在区间 ? m , m ?
? ? 1? ? 3?

???? ?

???? ?

???

???

?m
t

? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围;

(II)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ? (III)求证 ? ? n ? 1 ? !? ? ? n ? 1 ? ?e ? ?
2

x ?1

恒成立,求实数 t 的取值范围;
*

n?2

?n ? N ? .

高三复习阶段性检测试题

理科数学参考答案及评分标准
二、 选择题 1-5 B A D B C 6-10 A D C B C 11-12 A C 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)
2 ,? 2
2

(14)

2 3

3

(15) f ( 2013 ) , f ( 2012 ) , f ( 2011 ) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)(本小题满分 12 分) 解: (I) f ( x ) ?
?
2

(16) n ? 2 n ? 3
2

3 s in ? x ? c o s ? x ? c o s ? x ?
3 2 s in 2 ? x ? cos 2? x ? 1 2 1 2

1 2

?

? s in ( 2 ? x ?

?
6

) ?????3 分

由题意知 f ( x ) 的最小正周期 T ?

?
2

,T ?

2? 2?

?

? ?

?

?
2

所以 ? ? 2 ??????????????????????????5 分
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所以 f ? x ? ? s in ? 4 x ?
?

?

? ?

? ???????????????????6 分 6 ?

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移个

?
8

个单位后,得到 y ? sin( 4 x ?

?
3

) 的图象,再将所得图象

所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin( 2 x ? 所以 g ( x ) ? sin( 2 x ? 因为 0 ? x ?
?
2

?
3

) 的图象.

?
3

)

??????????9 分
? 2x ?

,所以 ?

?
3

?
3

?

2? 3

.

? ? ? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x ) 与 y ? ? k 在区间 g ( x ) ? k ? 0 在区间 0 , ? ? 2 ? ?

? ? ? 0, 上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知 ? 3 ? ? k ? ? ? 2 ? ? 2

3 2

或?k ? 1

所以 ?

3 2

? k ?

3 2

或 k ? ?1 .

??????????12 分

(18)(本小题满分 12 分)
1 1 1 1 解: (Ⅰ)摸出的 2 个小球为异色球的种数为 C 1 C 7 ? C 3 C 4 ? 1 9 ???2 分

从 8 个球中摸出 2 个小球的种数为 C 82 故所求概率为 P ?
19 28

? 28

??????3 分 ????????????4 分

(Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有 1 个红球,1 个黑球,1 个白球,
1 1 1 共有 C 1 C 4 C 3 ? 1 2 种

????????????5 分 ????????????6 分

一种是有 2 个红球,1 个其它颜色球,
2 1 共有 C 4 C 4 ? 2 4 种,
3 一种是所摸得的 3 小球均为红球,共有 C 4 ? 4 种不同摸法,

故符合条件的不同摸法共有 4 0 种. ????????????8 分 由题意知,随机变量 ? 的取值为 1 , 2 , 3 .其分布列为:
?

1
3

2
3 5

3
1 10

?????????11 分

P
10

E? ? 1?

3 10

? 2?

3 5

? 3?

1 10

?

9 5

????????12 分

(19)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) c 1 ? c 2 ? 10 , c 2 ? c 3 ? 40 ,所以公比 q ? 4
c 1 ? 4 c 1 ? 10
cn ? 2 ? 4
n ?1

????????2 分 ????????4 分

得 c1 ? 2
? 2
2 n ?1

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2 n ?1 ? 2n ? 1 所以 a n ? lo g 2 2

????????5 分
? n
2

Sn ?

n(a 1 ? an ) 2

?

n [1 ? ( 2 n ? 1)] 2
1 4n ? 1
2

????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 b n ? 于是 T n ?

?

1 ? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 ?? 1? ?1 1? 1 1 n ? ?? ????9 分 ? ?? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3? ?3 5? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ??

假设存在正整数 m , k ? 1 ? m ? k ? ,使得 T1 , T m , T k 成等比数列,则
m 1 k ? ? , ? ? ? ? 3 2k ? 1 ? 2m ? 1 ?
2

可得

3 k

?

?2m

2

? 4m ? 1 m
2

? 0,
6 2

所以 ? 2 m ? 4 m ? 1 ? 0
2

从而有, 1 ?
?

6 2

? m ?1?

, ???????? 11 分 ????????12 分

由 m ? N , m ? 1 ,得 m ? 2 此时 k ? 1 2 . 当且仅当 m ? 2 , k ? 1 2 时, T1 , T m , T k 成等比数列.

(20)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)分别取 B C , B A, B E 的中点 M , N , P ,连接 D M , M N , N P, D P , 则 M N ∥ A C , N P ∥ A E ,且 N P =
1 2 AE ? 1

E P

因为 B D ? C D , B C ? 2 , M 为 B C 的中点, 所以 D M ? B C , D M ? 1 D 又因为平面 B C D ⊥平面 A B C , 所以 D M ? 平面 A B C ?????2 分 A 又 A E ? 平面 A B C , 所以 D M ∥ A E ????????4 分 C M 所 以 D M ∥ N P , 且 D M ? N P, 因 此 四 边 形 D M N P 为平行四边形, 所以 M N ∥ D P ,所以 A C ∥ D P ,又 A C ? 平面 B D E , D P ? 平面 B D E , 所以 A C ∥平面 B D E .????????6 分
????

N B

(或者建立空间直角坐标系,求出平面 B D E 的法向量 n 1 ,计算 n1 ? A C ? 0 即证) (Ⅱ)解法一: 过 M 作 M N ? E D 的延长线于 N ,连接 B N . 因为 B C ? A M , B C ? D M , 所以 B C ? 平面 D M A E , E D ? 平面 D M A E 则有 B C ? E D . 所以 E D ? 平面 B M N , B N ? 平面 B M N , 所以 E D ? B N . 所以 ? M N B 为二面角 A ? E D ? B 的平面角, 即? M N B = 60 .
?

E

D N C M A B

????????9 分
1 3

在 R t ? B M N 中,B M =1 , M N = 则

,BN =

2 3

.

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在 R t ? M N D 中, D N = 设 A E ? h ? 1 ,则 D E ?
2

6 3

.
2

h ? 3 ,所以 N E ?

h ? 3 ?
2

6 3

,又 B E ?
2 2

?h

? 1? ? 2
2

2

在 R t ? B N E 中, B E ? B N ? N E ,即 ? h ? 1 ?
2 2

2

? ? 2 ? ? 2 =? ? ?? ? ? 3 ? ?
2

h ?3 ?

6 ? ? 3 ? ?

2

解得 h ? 6 , 所以 A E ? 6 ? 1 ??????12 分 解法二: 由(Ⅰ)知 D M ? 平面 A B C , A M ? M B , 建立如图所示的空间直角坐标系 M ? x y z . 设 A E ? h ,则 M ? 0 , 0 , 0 ? , B ? 1, 0 , 0 ? ,
D ? 0 , 0 ,1 ? A 0 , 3 , 0 , E 0 , 3 , h , ??? ? ???? B D ? ? ? 1, 0 ,1 ? , B E ? ? 1, 3 , h .

z

E

D y A C M B x

?

?

?

?

?

?

设平面 B D E 的法向量 n 1 ? ( x , y , z )
???? ? B D ? n ? 0, ? 1 则 ? ??? ? ? B E ? n1 ? 0 . ?

所以

? ? x ? z ? 0, ? ? ? ? x ? 3 y ? zh ? 0. ?

令 x ? 1 , 所以 n 1 ? (1,

1? h 3

, 1)

????????9 分

又平面 A D E 的法向量 n 2 ? (1, 0 , 0 ) 所以 c o s ? n 1 , n 2 ? ?
n1 ? n 2 n1 ? n 2 ?
2 2

1 1 ?1 ?

?

1 2

?1 ? h ?
3

2

解得 h ? 6 ? 1 , 即 A E ? 6 ? 1 ????????12 分 (21)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意得 F 2 (1, 0 ) , F1 ( ? 1, 0 ) ,设 P ( x 0 , y 0 ) , Q ( x 0 , ? y 0 ) , 则 F1 P ? ( x 0 ? 1, y 0 ) , F 2 Q ? ( x 0 ? 1, ? y 0 ) . 由 F1 P ? F 2 Q ? ? 5 ,得 x 0 ? 1 ? y 0 ? ? 5 即 x 0 ? y 0 ? ? 4 ,①???????2 分 又 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线上,则 y 0 ? 4 x 0 ,② 联立①、②易得 x 0 ? 2 (Ⅱ) (ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 , 设椭圆 C 的标准方程为
1
x a
2 2

2

2

2

2

2

????????4 分
y b
2 2

?

? 1( a ? b ? 0 ) ,



1 a
2

? 22 ? 1 b



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a

2

? b ?1
2


2

???????5 分
2

将④代入③,解得 b ? 1 或 b ? ? 所以 a ? b ? 1 ? 2
2 2

1 2

(舍去) ????????6 分

故椭圆 C 的标准方程为

x

2

? y

2

?1

????????7 分

2

(ⅱ)方法一: 容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? k y ? 1 将直线 l 的方程代入
x
2

? y

2

? 1 中得: ( k

2

? 2 ) y ? 2 k y ? 1 ? 0 .???????8 分
2

2

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), y 1 ? 0 且 y 2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 可得: y 1 ? y 2 ? ?
y1 y 2 ? ? 2k k 1 k
2 2

? 2

⑤ ⑥
y1 y2
2

? 2

???????9 分

因为 F 2 A ? ? F 2 B ,所以

? ? ,且 ? ? 0 .

将⑤式平方除以⑥式,得:
y1 y2 ? y2 y1 ? 2 ? ? k 4k
2 2

? 2
5 2

? ? ?
1

1

?

? 2 ? ? k

4k
2

? 2
? ? ? 1 ? 2 ? 0 ? ?
1 2 ? ? k 4k
2 2

由 ? ? ? ? 2 , ? 1? ? ? 所以
???
0 ? k
2

? ?+

?

? ?2 ? ?

1 2

?

? 2

? 0

?

2 7

???????????????????????11 分
??? ??? ???

因为 T A ? ( x1 ? 2 , y 1 ), T B ? ( x 2 ? 2 , y 2 ) ,所以 T A ? T B ? ( x1 ? x 2 ? 4 , y 1 ? y 2 ) , 又 y1 ? y 2 ? ?
??? ???
2

2k k
2

? 2

,所以 x 1 ? x 2 ? 4 ? k ( y 1 ? y 2 ) ? 2 ? ?
2 2

4(k k
2

2

? 1)

2
2

? 2
2



故 | T A ? T B | ? ( x1 ? x 2 ? 4 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ?
? 16(k
2

16(k (k
? (k
2

2

? 1)
2

2

? 2)
8
2

? (k

4k

? 2)

? 2) ? 28(k
2

2

? 2) ? 8

(k

2

? 2)

2

? 16 ? k

28
2

? 2

? 2)

2

, ,即 t ? [
7 , 1 ],

令t ?

1
2

k ? 2 7 16 k ? 2 2 ??? ??? 7 2 17 2 2 所以 | T A ? T B | ? f ( t ) ? 8 t ? 2 8 t ? 1 6 ? 8 ( t ? ) ? . 4 2
2

,所以 0 ? k ?
2

2

所以

7

?

1

?

1

16 2

而t ? [

7

,

1

] ,所以 f ( t ) ? [ 4 ,
13 8 2

169 32

].

16 2

所以 | T A ? T B |? [ 2 , 方法二:

???

???

].

??????????????????13 分

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1)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ? 1 时, A (1 , 又 T ( 2 , 0 ) ,所以 T A ? T B ? ( ? 1,
??? ??? 2 2

2 2

) , B (1 , ?

2 2

),

) ? ( ? 1, ?

2 2

) ? 2

????8 分

2)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ? ? 2 , ? 1 ? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1 )
? y ? kx ? k ? 2 2 2 2 由? x2 得 (1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 2 k ? 2 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 2

设 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,显然 y 1 ? 0 , y 2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 可得: x 1 ? x 2 ?
4k
2 2

1 ? 2k

, x1 ? x 2 ?
? 2k 1 ? 2k
2

2k

2

? 2
2

1 ? 2k

????????9 分 ⑤

y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 k ?
2

y 1 ? y 2 ? k ( x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1) ?

? k

2 2

1 ? 2k



因为 F 2 A ? ? F 2 B ,所以 将⑤式平方除以⑥式得:
? ?
1

y1 y2

? ? ,且 ? ? 0 .

?

? 2 ?

? 4 1 ? 2k
2

由 ? ? ?? 2 , ? 1 ? 得 ? ? 故?
1 ? ? 4
2

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ? ,? 2 ? 即 ? ? ? 2 ? ? ,0 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 1
2

2 1 ? 2k 2 ??? ??? 因为 T A ? ( x1 ? 2 , y 1 ), T B ? ( x 2 ? 2 , y 2 ) , ??? ??? 所以 T A ? T B ? ( x1 ? x 2 ? 4 , y 1 ? y 2 ) ,

? 0 ,解得 k

?

7

???????????????10 分

又 x1 ? x 2 ? 4 ? 故 TA ? TB
2 2

? 4 (1 ? k )
2

1 ? 2k

2


2 2

? ( x1 ? x 2 ? 4 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2 2

?

16 (1 ? k )
2

2

(1 ? 2 k )
2

2

?

4k

2 2 2

(1 ? 2 k )

?

4 (1 ? 2 k ) ? 10 (1 ? 2 k ) ? 2 (1 ? 2 k )
2 2

? 4 ?

10 1 ? 2k
2

?

2 (1 ? 2 k )
2 2

???????11 分
? 1?

令t ?

1 1 ? 2k
2

,因为 k ?
2
2 2

7 2

所以 0 ?
5 2

1 1 ? 2k ) ?
2

2

?

1

,即 t ? ? 0 , ? , 8 ? 8?

??? ??? 所以 T A ? T B

? 2t ? 10t ? 4 ? 2(t ?
? ? ? 13 2 ? ? 8 ?

17

? 169 ? ? ? 4, . ? 32 ? 2 ?

所以 TA ? TB ? ? 2 ,

????????12 分

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综上所述: | T A ? T B |? [ 2 , (22)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意 k ? f ? x ? ? 所以 f ? ? x ? ? ?

???

???

13 8

2

].

????????13 分

1 ? ln x x

, x ? 0 ……………………………………1 分 …………………………………………2 分

? ln x ? 1 ? ln x ? ? ? ? 2 x x ? ?

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 上单调递增,在 ? 1, ? ? ? 上单调递减. 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. 因为函数 f ? x ? 在区间 ? m , m ?
? ?

…………………………………………3 分
1? ? (其中 m ? 0 )上存在极值, 3?

?0 ? m ? 1 2 ? 所以 ? 得 ? m ?1. 1 ?1 3 ?m ? 3 ?

即实数 m 的取值范围是 ? (Ⅱ)由 f ? x ? ? 令g ?x? ? 则 g?? x ? ?
t x ?1

? 2

? ,? . 1 ? 3 ?

…………………………………………4 分

得t ?

?x

? 1 ? ? 1 ? ln x ? x

?x

? 1 ? ? 1 ? ln x ? x

x ? ln x x
2

.

……………………………………………………6 分 则h?? x ? ? 1 ?
1 x = 1? x x

令 h ? x ? ? x ? ln x

因为 x ? 1, 所以 h ? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ? ? 上单调递增.……………………7 分 + 所以 h ? x ? ? h ? 1 ? ? 1 ? 0 ,从而 g ? ? x ? ? 0
g ? x ? 在 ? 1, ? ? 上单调递增, g ? x ? ? g ? 1 ? ? 2 +

所以实数 t 的取值范围是 ? ? ? , 2 ? . (Ⅲ)由(Ⅱ) 知 f ? x ? ? 即
1 ? ln x x ? 2 x ?1
2 x ?1

…………………………………………9 分

恒成立,
x ?1 x ?1 ?1?
2 n ? n ? 1?

? ln x ?

2 x ?1

?1?

2 x

……………………10 分

令 x ? n ? n ? 1 ? , 则 ln n ? n ? 1 ? ? 1 ? 所以 ln ? 1 ? 2 ? ? 1 ?
2 1? 2

,

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ln ? 2 ? 3 ? ? 1 ?

2 2?3

,

??,
ln n ? n ? 1 ? ? 1 ? 2 n ? n ? 1?

.
? 1 1 1 ?

2 2 2 所以 ln ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? ? n ? 1 ? ? ? n ? 2 ? ? ? ??? ? ? ? ? 1? 2 2?3 n ? n ? 1? ? ?

1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ? ? n ? 2 n ?1? ?

………………………………12 分

所以 1 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? ? ? n 2 ? ? n ? 1 ? ? e n ? 2 所以 ? ? n ? 1 ? ! ? ? ? n ? 1 ? ? e ? ?
2 n?2

?n ? N ? .
?

………………………………13 分

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