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湖北省沙市中学2014届高三上学期第四次周练 数学理试题 Word版含答案


沙市中学 2013—2014 学年上学期高三年级 第四次周练理科数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 4 分,共 48 分) 1.已知集合 M ? { y y ? x 2 } , N ? { y x 2 ? y 2 ? 2} ,则 M ? N =( ) ) A. {(1, 1), (?1, 1)} B. {1} C. [0, 1] D. [0, 2 ] 2.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy , f (1) ? 2 , 则 f (?3) ? ( A.2 B.3 C.6 D.9 3.下列函数 f ( x)与g ( x) 表示同一函数的是( ) A. f ( x) ? x 0与g ( x) ? 1 C. f ( x) ? B.

f ( x) ? x与g ( x) ? ( 3 x 3)

x ? x ? 1, g ( x) ? x 2 ? x D. f ( x) ?

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 x ?1
) D.(1,+∞)

4.若 log a (a 2 ? 1) ? log a (2a) ? 0 ,那么 a 的取值范围是( A.(0,1) 5.下列函数中,在 (0, B.(0,

?
2

1 ) 2

C. (

1 ,1) 2

) 上有零点的函数是(



A. f ( x) ? sin x ? x B. f ( x) ? sin x ?
2

2

?

x

C. f ( x) ? sin x ? x D. f ( x) ? sin x ?
2

2

?

x
x ?0

6.设 f (x) 为可导函数,且满足 lim 斜率为( A.2 ) B.-1

f (1) ? f (1 ? x) ? ?1,则过曲线 y ? f (x) 上点(1, f (1) )处的切线 2x
C.1 D.-2

7. 若函数 y ? f ( x) 的导函数在区间 [a, b] 上的图象关于直线 x ? 上的图象可能是( )

a?b 对称, 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 2

A.①②

B.③④
x 2

C.①③

D.②④ )

8.已知 a 是函数 f ( x) ? 2 ? log 1 x 的零点,若 0 ? x 0 ? a ,则 f ( x0 ) 的值满足(

A. f ( x0 ) ? 0 B. f ( x0 ) ? 0 C. f ( x0 ) ? 0 D. f ( x0 ) 的符号不能确定 2 x 9.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,则 f (3 ) 与 f (4 x ) 的大小关系是( ) A. f (3x ) ? f (4 x ) B. f (3x ) ? f (4 x ) C. f (3x ) ? f (4 x ) D. f (3x ) ? f (4x )
-1-

10.已知 f (a) ? ?1 (2ax 2 ? a 2 x)dx ,则 f (a ) 的最大值是( 0 A.

)

2 4 4 C. D. 9 3 9 11.设直线 x ? k 与函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当 MN 达到最小时 k 的值
B. 为( ) A.1 B.

2 3

1 2

C.

5 2

D.

2 2

? 1 ,x ? 3 ? 12.设定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? x ? 3 ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? af ( x) ? b ? 0 有 5 个不同实数解,则实 ?1, x ? 3 ?
数 a 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (??, ?1) C. (1, ??) D. (??, ?2) ? (?2, ?1) 二、填空题 (本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分) 13.命题“ ?x ? R ,使 ax2 ? 2ax ? 3 ? 0 成立”是假命题,则实数 a 的取值范围为 。 14.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) 对任意 x ? R 成立,当 x ? (?1,0) 时 f ( x) ? 2 x ,则 f (log 2 5) ? _______. 15.已知 a ? 2, ? (2 x ? b)dx ? 2 则 4a ? 2a ?b 的最小值是
0 1

。 .

16.已知函数 f ? x ? ? log a ? 2 x ? 1?? a ? 0, a ? 1? 的图象恒过定点 P ,则 P 点的坐标是 17.设 a ? 0, a ? 1, 函数f ( x) ? a 18.已知函数 y ?
x 2 ? x ?1

有最大值,则不等式 log a ( x ? 1) ? 0 的解集为__________.

x2 ? 1 x ?1

的图象与函数 y ? kx 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是__ ___.

19.若 f ?x ? ? log a ? x ? log a x 对任意 x ? ? 0, ? 恒意义,则实数 a 的范围___
2

?

?

? ?

1? 2?

_____ .

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 74 分) 20.(12 分)(1)解不等式 2 x
2

?2 x?4

?

1 2

(2)计算 log 2

48 1 ? log 2 12 ? log 2 42 ? 1 7 2

1 21.(12 分)设函数 f ( x) ? lg[(2 x ? 3)( x ? )] 的定义域为集合 A ,函数 2

g ( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ( a ? 0 )的定义域为集合 B .
(1)当 a ? 1 时,求集合 A ? B ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

-2-

22. (12 分)定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 3 f ( x) ,当 x ?[0,2] 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x (1)若 x ?[?4, ?2] 时,求 f ( x) 的解析式; (2)若 x ?[?4, ?2] 时, f ( x) ?

1 3 ( ? t ) 恒成立,求实数 t 的取值范围. 18 t

23. (12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1, m?R . 3

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f (x) 在区间 (?2,3) 上是减函数,求 m 的取值范围.

24.(12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)求 f ( x) 的单调区间;

a ( a ? 0 ). x 1 恒成立,求实 2

(2)如果 P( x0 , y0 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的任意一点,若以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 数 a 的最小值;

-3-

25.(14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 2a ln x(a, b ? R)
2

(I)若函数 y ? f ( x) 存在极大值和极小值,求

b 的取值范围; a
e ?1 2 e a, e2 ? 1 使得 m ? n ? 1 求 a 的取值 a) , 2e

(II)设 m, n 分别为 f ( x) 的极大值和极小值,若存在实数 b ? ( 范围.( e 为自然对数的底)

参考答案: DCBCD DBCCB 13.[0, 3] 14. ? 15.8 16. ?1, 0 ? 17. (1,2) 18. (0,1) ? (1, 2) 19. a ? [

DD

4 5

1 ,1) 16
2

20.(1) 不等式 2 x
x

?2 x?4

?

1 x 2 ? 2 x ?4 ? 2 ?1 , 即为 2 2

由函数 y ? 2 的单调性得 x 2 ? 2 x ? 4 ? ?1 ,
-4-

解得 ? 3 ? x ? 1 (2)原式 ? log 2

48 ? log 2 12 ? log 2 42 ? 1 7 48 ? 42 ? 12) ? 1 7

? log 2 (

? log 2 2 ? 1

? log 2 2 ? 1 ? ?

1 2

1 2
1 2 1 2

21.解:(1)由函数 f ( x) ? lg(2 x ? 3)( x ? ) 有意义,得: (2 x ? 3)( x ? ) ? 0 , 即x?

1 3 1 3 或 x ? ,所以 A ? (??, ) ? ( ,??) , 2 2 2 2

当 a ? 1 时,函数 g ( x) ?

? x 2 ? 4 x ? 3 有意义,得: ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,

即 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,?1 ? x ? 3 ,? B ? x 1 ? x ? 3 ,? A ? B ? ? ,3? 2 (2)由函数 g ( x) ?

?

?

?3 ? ? ?

? x 2 ? 4 x ? 3a 2 ( a ? 0 )有意义得 ? x 2 ? 4 x ? 3a 2 ? 0 ,

即 ( x ? a )( x ? 3a ) ? 0 ,? a ? 0 ,? a ? x ? 3a ,? B ? ?a,3a ?, 若 A ? B ? B ,则 B ? A ,

?a ? 0 3 1 3 1 3 ? ?? 1 或 a ? ,得 0 ? a ? 或 a ? ,即 a ? (0, ) ? ( ,??) 2 6 2 6 2 ?3a ? 2 ?
1 2 (2) ? 1 ? t ? 0或t ? 3 ( x ? 6 x ? 8) ; 9 1 23.(Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x) ? x3 ? x 2 ? 3x ? 1 , 3
22.(1) f ( x) ? 又 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 ,所以 f '(2) ? 5 .
2

又 f (2) ?

5 , 3 5 ? 5( x ? 2) ,即 15x ? 3 y ? 25 ? 0 . 3

所以所求切线方程为 y ?

所以曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 15 x ? 3 y ? 25 ? 0 .

? (Ⅱ)因为 f ' ( x) x ? 2mx ? 3m ,
2 2

令 f '( x) 0 ,得 x ? ?3m 或 x ? m . ?
-5-

当 m ? 0 时, f '( x) x2 ? 0 恒成立,不符合题意. ? 当 m ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (?3m, m) ,若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上是减函数, 则?

? ?3m ? ?2, 解得 m ? 3 . ? m ? 3.

当 m ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (m, ?3m) ,若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上是减函数, 则?

?m ? ?2, ,解得 m ? ?2 . ??3m ? 3.

综上所述,实数 m 的取值范围是 m ? 3 或 m ? ?2 . 24.解: (Ⅰ)函数 f(x)=lnx+ (a>0)的定义域为(0,+∞) ,





因为 a>0,由 f (x)>0 得 x∈(a,+∞) ,由 f (x)<0 得 x∈(0,a) , 所以 f(x)的单调递增区间为(a,+∞) ,单调递减区间为(0,a) . (Ⅱ)由题意,以 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k 满足 (x0>0) ,





所以 又当 x0>0 时,

对 x0>0 恒成立. ,

所以 a 的最小值为 . 25.

-6-

-7-


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