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2.4.1双曲线的标准方程(第一课时)


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花瓶

探索研究
1.回顾椭圆的定义?
Y

平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点轨迹叫做椭圆。

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

思考 : 如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”,那么动点的轨迹会是怎样的曲线? 即“ 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么?

画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F1F2|=2a ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=|F1F2|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?

2.双曲线的定义 回忆椭圆的定义
平面内与两个定点 F1, F 平面内与两个定点 F F2的距离的和为一个定 2的距离的差的绝对值 1, 等于常数 (小于︱ F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线. 值(大于 ︱F1F2︱ )的点的轨迹叫做椭圆 ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意

M

(1)距离之差的绝对值

F

| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要大于0小于|F1F2|

1

o

F2

0<2a<2c

①常数等于|F1F2|时
P

Q

M M F1 F2 ||MF1|-|MF2||=|F1F2|时,M点一定在上图中的射线F1P, F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。

②常数大于|F1F2 |时 |MF1|-|MF2| >|F1F2| 是不可能的,因为三角 形两边之差小于第三边。此时无轨迹。 ③常数等于0时
∵若常数2a= |MF1|-|MF2| =0
F1 则|MF1|=|MF2| 此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平 分线。 F2 M

3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 如何求这优美的曲线的方程? 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式.|MF1|
F1

y
M

o

F2

x

- |MF2|= ? 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +



(x+c)2 + y2 -

4.化简.

(x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? ?2a
( (x ? c)2 ? y2 )2 ? ( (x ? c)2 ? y2 ? 2a)2

y
M F1

o

cx ? a2 ? ?a (x ? c)2 ? y2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

令c2-a2=b2

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

双曲线的标准方程
焦点在x轴上

y
M

焦点在y轴上

y
F2

M x

F

1

O

F

2

x

O

F1

2 2 x y y x ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 a b a b 2 2 2 (a ? 0,b ? 0)并且c =a ? b

2

2

双曲线定义及标准方程
定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
F1 o F2

x
F1

x

方程 焦点 a.b.c 的关系

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

F ( ±c, 0) F(0, ± c) c 2 ? a 2 ? b 2 (c ? a, c ? b, a与b的大小不确定)

思考:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上?
x2 y2 y2 x2 ? ? 1与 判断: ? ? 1 的焦点位置? 16 9 9 16

结论: 看

x , y 前的系数,哪一个为正,则

2

2

焦点在哪一个轴上。

例题分析
例 1. 已知双曲线的焦点为 F1(-5,0), F2(5,0) 双曲线上一点到焦点的距离差的 绝对值等于6,则

(1) a=_______ , c =_______ , b =_______

3

5

4

(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________

双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义 方程



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

小结 ----双曲线定义及标准方程
定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
F1

o

F2

x
F1

x

方程

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

焦点 a.b.c 的关 系

c ?a ?b
2


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