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2.2圆锥曲线的参数方程


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修4-4

2.2.1《椭圆的参数方程》

教学目标
? 掌握椭圆的参数方程及其解法;理解方程

? x ? a cos ? ? ? y ? b sin ?
参数是椭圆的离心角,不是旋转角。

x y 由例4我们得到了椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的 a b x ? a cos? 一个参数方程为 { (?为参数) y ? b sin ? 这是中心在原点 ,焦点在x轴上的椭圆的 O 参数方程。

2

2

思考: 类比圆的参数方程中参 数的意义,椭圆的参数 方程中参数?的意义是什么?

如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径 作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作 AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求 当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
A
B O N

M

设∠XOA=φ

x

y A M

B

?
x

o

设以ox为始边,OA为终边的角?,点M的坐标 是( x, y ),那么点A的横坐标为x, 点B的纵坐标为 y,由点A, B均在角?的终边上,由三角函数 的 定义有 x ? OA cos? ? a cos? y ? OB sin ? ? b sin ?

当半径OA绕点O旋转一周时,就得到了 M 点 的轨迹,它的参数方程 是 x ? a cos? { (?为参数) y ? b sin ? 这是中心在原点 ,焦点在x轴上的椭圆。 O

在椭圆的参数方程中, 通常规定参数 的 ? 范围是? ?[0,2? )

思考: 椭圆的参数方程中参数 的意义与圆的参数方 ? x ? r cos? 程{ (?为参数)中参数?的意义类似吗? y ? r sin ?

由图可以看出,参数 是点M所对应的圆的半 ? 径OA(或OB)的旋转角 称为点M的离心角,不 ( ) 是OM的旋转角,参数 是半径OM的旋转角。 ?

椭圆参数方程的推导 从几何变换的角度看, 通过伸缩变换 1 x? ? x 2 2 a 则椭圆的方程 x ? y ? 1可以变成 { 1 a 2 b2 y? ? y b 2 2 x? +y? ? 1.利用圆的参数方程 x? ? cos? { (?为参数)可以得到椭圆的参数 y? ? sin ? 方程为 { x ? a cos? y ? b sin ?

1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b

x ? a cos ? y ? b sin ? 是椭圆的参

另外, ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 ? ? [0, 2? )
? x ? a cos ? , ? x ? b cos ? , 焦点在X 轴 ? 焦点在Y 轴 ? ? y ? b sin ?. ? y ? a sin ?.

知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1

y A
B O M N

φ
x

a b ? x ? a cos ? (?为参数) 椭圆的参数方程:? ?y ? b sin?
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2

y

P θ

? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? (?为参数) ?y ? r sin? θ的几何意义是 ∠AOP=θ

O

A x

【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 ? ? 1 (2) x ? ?1 (1) 4 9 16 x ? 2 cos ? x ? cos ? (1) (2) y ? 3sin ? y ? 4sin ?

2

2

?

?

把下列参数方程化为普通方程 ? x ? 3cos ? ? x ? 8cos ? (3) ? (4) ? y ? 10sin ? ? ? y ? 5sin ?

(3)

x 9

2

? ? 1 (4)
y 25

2

x 64

2

?

y 100

2

?1

? x ? 2cos? 练习2:已知椭圆的参数方程为 ? ( ? 是 ? y ? sin ?
参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为

( 2 ),焦点坐标是((? 3 , 0)),离心率是 (

3 2

)。

练习3: 已知圆的方程为x ? y ? 4 x cos ? ? 2 y sin ? ?
2 2

3cos ? ? 0, (? 为参数),那么圆心的轨迹的普通
2

方程为 ____________________

解:方程x 2 ? y 2 ? 4 x cos? ? 2 y sin ? ? 3 cos2 ? ? 0 可以化为( x ? 2 cos? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1
2 2

所以圆心的参数方程为 {

x ? 2 cos? y ? sin ?

(?为参数)

x2 2 化为普通方程是 ? y ? 1 4

x y ? ? 1 上求一点M, 例1 在椭圆 9 4
使点M到直线x+2y-10=0的距离最小, 并求出最小距离.

2

2

9 8 M( , ) 5 5
最小值为 5

y

M
O x

例2、如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线

l:x-y+4=0的距离最小.

y

分析1: P(? 8 ? 8y 2 , y), 设
则d ? | ? 8 ? 8y 2 ? y ? 4 | 2
O x

分析2:设P(2 2 cos?, sin ?),
则d ? | 2 2 cos ? ? sin ? ? 4 | 2

P

分析3:平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求. 小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一
点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。

x2 y2 ? ? 1有一内接矩形ABCD, 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D

解 : 设A ?10cos ? ,8sin ? ?
AD ? 20cos ? , AB ? 16sin ? S ? 20 ?16sin ? cos ? ? 160sin 2?
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
A1

B2

A

F1
C

O B1
B

F2

X A2 X

练习3:已知A,B两点是椭圆 x ? ?1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2

y2 4

解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos? ,2sin? ) S?ABO 面积一定, 需求 S?ABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
x 线AB的方程为 3 ? y 2

? 1 ? 2x ? 3y ? 6 ? 0 ?
6 13

d?

| 6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 | 22 ? 32

2 sin( ? ? ? ) 4

所以当? =

?

4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)

时, d 有最大值, 面积最大

x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 ? ? 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值

练习4

最大值6 2 , 最小值 ? 6 2 .
2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .

A. 圆

B. 椭圆

设中点M (x, y)

C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ

x y ? ?1 8 18

2

2

小结:
? x ? r cos ? 圆的参数方程: ( ? 为参数) ? ? y ? r sin ?

(以原点为圆心,r为半径, 为旋 ? 转角)

小结:

? x ? a cos ? ? 椭圆的参数方程:y ? b sin ? ?

( ? 为参数) a ? b ? 0

表明

2a, 2b

分别是椭圆的长轴长与短轴长, 且焦点在 轴上,参数是椭圆 的离心角,不是旋转角,由例1 可以可看出,利用椭圆的参数方 程解最值问题会比较简单.

x

二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程

双曲线的参数方程
设M ( x, y)
a

y
A o B

?
B'

?M
A' x

在?OAA '中,x ?
| OA | b | OA ' |? ? ? cos ? cos ?

b ? sec ? ,

b

在?OBB '中,y ? | BB ' |?| OB | ? tan ? ? b ? tan ?.

? x ? a sec ? 所以M的轨迹方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ?
x2 y2 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b
2 2

y a

?
A B' o B

?M
A' x

说明:

? 3? 通常规定? ? [o,2? )且? ? ,? ? 。 2 2

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

b

⑴ 这里参数

? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.

x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 ? 2 ? 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.

sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到,所以双曲线的参数方程

? x ? 3sec ? (?为参数)的渐近线方程 1.双曲线 ? ? y ? tan ? 为_____.

x2 y 2 如图,设M 为双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0)任意一点,O为原点, 例2、 a b 过点M 作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点。 探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论? 解:双曲线的渐近线方程为:y ? ? b x. a y 不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为(asec? ,btan?), b A 则直线MA的方程为:y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ). ① M x a b 将y= x代入①,解得点A的横坐标为 O a a B xA = (sec? ? tan?). 2 a 同理可得,点B的横坐标为xB = (sec? ? tan?). 2 b 设?AOx=? ,则tan? ? . a xA x ? B sin2? ? 所以MAOB的面积为 S?MAOB =|OA||OB|sin2? = cos? cos? 2 2 a2(sec2? -tan2? ) = ? sin2? = a ? tan ? ? a ? b ? ab . 4cos2? 2 2 a 2
由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值,与点M在双曲线上的位置无关。

3、抛物线的参数方程

y

M(x,y)

?
o x

? 抛物线的参数方程
设M (x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点, 以射线OM为终边的角记作?。

y

M(x,y)

?

o y H 因为点M (x,y)在?的终边上,根据三角函数定义可得 ? tan ? . x x 又设抛物线普通方程为y2 =2px. 2p ? x= ? tan 2? , ? 解出x,y得到抛物线(不包括顶点)的参数方程: (? 为参数) ? ? y ? 2p . 1 ? tan? ? 如果设t= ,t ?(-?,0)?(0,+?),则有 tan? ?x=2pt2 , (t为参数) ? 思考:参数t的几何意义是什么? y ? 2pt. ? 当t ? 0时,参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0)。
?x=2pt2 , 所以, (t为参数,t ? R)表示整条抛物线。 ? ? y ? 2pt.

? 抛物线的参数方程
y M(x,y)

抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
?x=2pt2 , (t为参数,t ? R) ? ? y ? 2pt.
o

?
H x

1 其中参数t= (? ? 0),当? =0时,t=0. tan? 几何意义为: 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y

? x ? 2 pt 2 1、若曲线? (t为参数)上异于原点的不同 ? y ? 2 pt 两点M 1,M 2所对应的参数分别是1 , t 2 , 则弦 t M 1M 2所在直线的斜率是 ( A、t1 ? t2 , 1 C、 , t1 ? t2
c
)

B、t1 ? t 2 1 D、 t1 ? t 2

解:由于M 1 , M 2两点对应的参数方程分 别是t1和t 2,则可得点M 1和M 2的坐标分别为 M 1 (2 pt ,2 pt1 ), M 2 (2 pt ,2 pt2 ) ? k M 1M 2 2 pt1 ? 2 pt2 1 ? ? 2 2 2 pt1 ? 2 pt2 t1 ? t 2
2 1 2 2

例3、如图O是直角坐标原点, , B是抛物线 A y ? 2 px( p ? 0)上异于顶点的两动点, 且
2

OA ? OB, OM ? AB并于AB相交于点M,求点 M的轨迹方程。

y

A
M o x B

解:根据条件,设点 , A, B的坐标分别为 x, y ) M ( (2 pt ,2 pt1 ), (2 pt ,2 pt2 )(t1 ? t 2 , 且t1 ? t 2 ? 0)则
2 1 2 2 ? ? ?

OM ? ( x, y ), OA ? (2 pt ,2 pt1 ), OB ? (2 pt ,2 pt2 )
2 1 2 2

AB ? (2 p (t ? t ),2 p (t 2 ? t1 ))
2 2 2 1

?

因为OA ? OB, 所以OA? OB ? 0, 即 (2 pt1t 2 ) ? (2 p ) t1t 2 ? 0, 所以t1t 2 ? ?1.......... 8) .(
2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

因为 OM ? AB , 所以 OM ? AB ? 0, 即 2 px (t 2 ? t1 ) ? 2 py (t 2 ? t1 ) ? 0
2 2

所以x (t1 ? t 2 ) ? y ? 0, 即t1 ? t 2 ? ?
?

y x

( x ? 0)................................(9)
2

因为 AM ? ( x ? 2 pt1 , y ? 2 pt1 ),
?

MB ? (2 pt 2 ? x , 2 pt 2 ? y )且A, M , B三点共线,
2

所以( x ? 2 pt )(2 pt2 ? y ) ? (2 pt ? x)( y ? 2 pt1 )
2 1 2 2

化简,得y (t1 ? t 2 ) ? 2 pt1t 2 ? x ? 0.......... 10) .....( 将(8), (9)代入(10), 得到 y y (? ) ? 2 p ? x ? 0 x 2 2 即x ? y ? 2 px ? 0( x ? 0) 这就是点M的轨迹方程

探究: 在例3中,点A, B在什么位置时, AOB的面积 ? 最小?最小值是多少 ?

由例3可得 OA= (2 pt12 ) 2 ? (2 pt1 ) 2 ? 2 p t1 t12 ? 1 OB ? (2 pt ) ? (2 pt2 ) ? 2 p t 2 t ? 1
2 2 2 2 2 2

所以,?AOB的面积为 S ?AOB ? 2 p t1t 2 (t ? 1) ? (t ? 1)
2 2 1 2 2

? 2p

2

t ?t ?2 ? 2p
2 1 2 2

2

(t1 ? t 2 ) ? 4 ? 4 p
2 2

2

当且仅当t1 ? ?t 2,即当点A, B关于x轴对称时, ?AOB的面积最小,最小值为 p . 4

小节:
1、抛物线的参数方程的形式

2、抛物线参数的意义


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