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2011年高考全国卷文科数学试题解析


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 必修 文科数学(必修 选修 II) 数学 必修+选修
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3 至 4 页.考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚, 并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效. ......... 3.第Ⅰ卷共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.

一、选择题
1.设集合 U = {1, 2,3, 4} , M = {1, 2,3} , N = {2,3, 4} , 则 ? (M I N ) = ( U )

, A. {1 2}
【答案】D

3} B. {2,

C. {2,4}

,4 D. {1 }

【解析 1】直接法.因为 M I N = {1, 2,3} I {2,3, 4} = {2,3} ,所以 ? (M I N ) = {1, 4} . U 【解析 2】反演律. 痧(M I N ) = U 【解析 3】韦恩图法. U M 1 2,3 4 N
U

M U  N = {4} U{1} = {1, 4} . U

2.函数 y = 2 x ( x≥0) 的反函数为( A. y = 【答案】B

) C. y = 4 x2 ( x ∈ R ) D. y = 4 x 2 ( x≥0)

x2 ( x ∈ R) 4

B. y =

x2 ( x≥0) 4

【解析 1】直接法.由 y = 2 x ( x≥0) 解得, x =

y2 ( y ≥ 0) ,所以 y = 2 x ( x≥0) 的反函数为 4

y=

x2 ( x ≥ 0) . 4

【解析 2】特值法.在原函数 y = 2 x ( x≥0) 的图像上取一点 A(1, 2) ,则点 B(2,1) 必在反函数上,排除选 项 C、D.在函数 y = 排除选项 A. 【解析 3】图像法.先画出函数 y = 2 x ( x≥0) 的图像,再根据对称性画 出 y = 2 x ( x≥0) 的反函数的图像,函数 y = 2 x ( x≥0) 的图像及其反 函数图像如右图. 观察图像可排除选项 A、C,因为原函数与反函数的图像都经过点

x2 ( x ∈ R ) 的图像上取一点 C (?2,1) ,但 D(1, ?2) 不在函数 y = 2 x ( x≥0) 的图形上, 4

(4, 4) ,故选 B.
3.设向量 a , b 满足 | a |=| b |= 1 , a ? b = ? A. 2 【答案】B 【解析 1】解析法. 因为 | a |=| b |= 1 , a ? b = ? 【解析 2】数形结合法. 如右图所示, a = OA , = OB , 设 由 b OC = 2b , | a |=| b |= 1 , B. 3

r

r

r

r

r r

r r 1 ,则 a + 2b = ( 2
D. 7



C. 5

r

r

r r

r r r r r2 r r r2 1 ,所以 a + 2b = (a + 2b) 2 = a + 4a b + 4b = 3 . 2
uuu uuur r r
r r
D

r

uuu r r

A

r r r r 1 a ? b = ? ,知 < a, b >= 120o ,则 2

O

B

C

r r uuur uuur 2 uuu 2 r uuur uuu r a + 2b = OD = OC + CD ? 2 OC ? CD cos 60o = 3 ? x + y ≤ 6, ? 4.若变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 3 y ≤ ?2, 则 z = 2 x + 3 y 的最小值为( ? x ≥ 1, ?
A.17 【答案】C 【解析 1】顶点法 B.14 C.5 D.3



直线 x + y = 6, x ? 3 y = ?2, x = 1 的交点分别为 (1,1), (1,5), (4, 2) ,代入目标函数得:

z (1,1) = 2 × 1 + 3 × 1 = 5 , z (1, 5) = 2 × 1 + 3 × 5 = 17 , z (4, 2) = 2 × 4 + 3 × 2 = 14 ,所以 z 的最小值为 5 .
【解析 2】

注:线性规划问题的简易解法(网址 http://www.docin.com/p-84234607.html) 5.下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要的条件是( ) A. a > b + 1 【答案】A 【解析 1】 a > b + 1 ? a > b ,且 a > b ? a > b + 1 . 6.设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 = 1 ,公差 d = 2 , Sk +2 ? Sk = 24 ,则 k = ( A.8 【答案】D B.7 C.6 D.5 ) B. a > b ? 1 C. a 2 > b 2 D. a 3 > b 3

【解析 1】由 Sk +2 ? Sk = 24 ,得 [(k + 2)a1 +

(k + 2)(k + 1) k (k ? 1) d ] ? [ka1 + d ] = 24 ,解得 k = 5 . 2 2

【解析 2】 Sk +2 ? Sk = ak +2 + ak +1 = 2a1 + (2k + 1)d = 24 ,又因为 a1 = 1 ,公差 d = 2 ,所以 k = 5 . 7.设函数 f ( x ) = cos ω x (ω>0) , y = f ( x ) 的图像向右平移 将 则 ω 的最小值等于( A. ) C. 6 D. 9

π
3

个单位长度后, 所得的图像与原图像重合,

1 3

B. 3

【答案】C 【解析 1】由题意得 cos ω x = cos ω ( x ?

π
3

) ,显然 ω 为 6 的整数倍.

【解析 2】由题

π
3

=



ω

? k (k ∈ Z ) ,解得 ω = 6k ,令 k = 1 ,即得 ωmin = 6 .

8.已知直二面角 α ? l ? β ,点 A ∈ α , AC ⊥ l , C 为垂足,点 B ∈ β , BD ⊥ l , D 为垂足,若 AB = 2 ,

AC = BD = 1 ,则 CD = (
A.2 【答案】C 【解析 1】向量法 B. 3

) C. 2 D.1

由 AB = ( AC + CD + DB ) 2 = AC + CD + DB ,得 CD = AB ? AC ? DB ,所以 CD = 【解析 2】公式法. CD =

uuu 2 r

uuur uuu uuu r r

uuur 2

uuu 2 r

uuu 2 r

uuu 2 r

uuu 2 r

uuur 2

uuu 2 r

2.

AB 2 ? AC 2 ? BD 2 m 2 AC BD cos 90o = 2 .


9.4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有( A.12 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种 【答案】B 【解析 1】分步计数原理. 第一步,先从 4 位同学中选 2 位同学选修课程甲,方法数为 C4 = 6 种;
2

第二步,剩下的两位同学选修课程乙或丙,方法数为 2 2 = 4 种; 总的方法数为 2 C4 = 24 种.
2 2

10.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) = 2 x (1 ? x ) ,则 f ( ? ) = ( A. ?

5 2



1 2 5 2

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2

【答案】A 【解析 1】 f ( ? ) = f ( ?

1 1 1 1 1 1 ? 2) = f ( ? ) = ? f ( ) = ?2 × (1 ? ) = ? . 2 2 2 2 2 2


11.设两圆 C1 、 C2 都和两坐标轴相切,且都过点 4, ,则两圆心的距离 C1C2 =( ( 1) A.4 【答案】C B. 4 2 C.8 D. 8 2

【解析 1】设 C1 (a, a) , C2 (b, b) ,则 a 2 = (a ? 4) 2 + (a ? 1) 2 , b2 = (b ? 4)2 + (b ? 1) 2 ,不妨设 a < b ,则

a = 5 ? 2 2 , b = 5 + 2 2 .所以 C1C2 = 8 .
12.已知平面 α 截一球面得圆 M ,过圆心 M 且与 α 成 60 0 二面角的平面 β 截该球面得圆 N ,若该球的半 径为 4,圆 M 的面积为 4π ,则圆 N 的面积为( ) A. 7π B. 9π C. 11π D. 13π 【答案】D 【解析 1】因为圆 M 的面积为 4π ,所以圆 M 的半径 r = 2 .设球心为 O,则 OM = 2 3 ,

ON = OM sin 30o = 3 ,圆 N 的半径 R = 42 ? 3 = 13 ,所以圆 N 的面积为13π .

第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后 贴好条形码.请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目. 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各 题的答题区域内作答,在试题卷上作答 无效. 3.第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上(注意:在试卷上作答无效) 13. (1 ? x) 的二项展开式中, x 的系数与 x 9 的系数之差为
10

.

【答案】 0 【解析 1】因为 T1 = C10 ( ? x) = ?C10 x , T9 = C10 ( ? x ) = ?C10 x ,所以 x 的系数与 x 9 的系数之差为 0 .
1 1 9 9 9 9

14.已知 α ∈ (π ,

3π ) , tan α = 2 ,则 cos α = 2

.

【答案】 ?

5 5

【解析 1】公式法.由 tan α = tan(2 ×

α
2

)=

α 1+ 5 2 = 2 ,解得 ,所以 tan = ? 2 α 2 2 1 ? tan 2

2 tan

α

cos α =

2 =? 5. α 5 1 + tan 2 2
y x A O B

1 ? tan 2

α

【解析 2】图示法 如右图所示,设 α 的终边为 OA ,过点 A 做 AB ⊥ y轴 于点 B .因为

OB 5 . tan α = 2 ,所以可设 AB = 2 , OB = 1 ,显然 cos α = ? =? OA 5

15.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 为 C1 D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值 为 【答案】 .

2 3

【解析 1】欧几里得法 因为 BC∥AD ,所以 ∠DAE 为异面直线 AE 与 BC 所成角,

cos ∠DAE =

AD = AE

AD AD + DD + D1E
2 2 1 2

=

AD AD 2 + AD 2 + ( AD 2 ) 2

=

2 3.

【解析 2】坐标法 以点 D 为坐标原点,以射线 DA 为 x 轴的正半轴,以射线 DC 为 y 轴的正半轴,以射线 DD1 为 z 轴的 正半轴,设 DA = 1 建立空间直角坐标系 D ? xyz .则 A(1, 0, 0) , E (0, ,1) , B (1,1, 0) , C (0,1, 0) ,所以

1 2

uuu r uuu r 1 AE = (?1, ,1) , BC = (?1, 0, 0) . 2

uuu uuu r r uuu uuu r r AE ? BC 1 2 r r cos < AE, BC >= uuu uuu = = | AE | ? | BC | 3 ×1 3 . 2
2 2 F1 、 F2 分别为双曲线 C: x ? y = 1 的左、右焦点,点 A ∈ C ,点 M 的坐标为 (2, 0) , AM 为 16.已知 9 27

∠F1 AF2 的平分线.则 | AF2 |=
【答案】6 【解析 1】根据角平分线定理,有

.

F1 A F1 M 8 = = = 2 ,又因为 F1 A ? F2 A = 2 × 3 = 6 ,所以 | AF2 |= 6 . F2 A F2 M 4

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 = 6 , 6a1 + a2 = 30 ,求 an 和 Sn . 【解析 1】基本量法. 设 {an } 的公比为 q ,由题设得

?a1q = 6, ? 2 ?6a1 + a1q = 30.
解得 ?

?a1 = 3, ?a1 = 2, 或? ?q = 2, ?q = 3,

n ?1 n 当 a1 = 3 , q = 2 时, an = 3 × 2 , Sn = 3 × (2 ? 1) ; n ?1 n 当 a1 = 2 , q = 3 时, an = 2 × 3 , Sn = 3 ? 1 .

18.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........

△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c .己知 a sin A + c sin C ? 2 a sin C = b sin B , (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 A = 75o , b = 2 ,求 a 和 c . 【解析 1】 (Ⅰ)设 R 为△ABC 的外接圆的半径. a sin A + c sin C ? 2 a sin C = b sin B ,利用正弦定理得

a2 c2 2ac b 2 a 2 + c 2 ? b2 2 2 ,整理得 ,即 cos B = ,所以 B = 45o . + ? = = 2R 2R 2R 2R 2ac 2 2
(Ⅱ) sin 75o = sin(45o + 30o ) = sin 45o cos 30o + cos 45o sin 30o =

1+ 3 , 2 2

a=

b 2 4 1+ 3 ? sin A = ? sin 75o = ? = 1+ 3 , sin B 2 2 2 2 2 b 2 4 3 ? sin C = ? sin(180o ? 75o ? 45o ) = ? = 6 . sin B 2 2 2 2

c=

19.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 【解析 1】 (Ⅰ)设事件 A={购买甲种保险},B={购买乙种保险},C={至少购买甲、乙两种保险中的 1 种}. 因为 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) = 0.3 , P ( A) = 0.5 ,所以 P ( B) =

0.3 = 0.6 . 0.5

P (C ) = P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) ? P ( AB ) = 0.5 + 0.6 ? 0.5 × 0.6 = 0.8 .
另解: P (C ) = 1 ? P ( AB ) = 1 ? (1 ? 0.5)(1 ? 0.6) = 0.8 .
1 (Ⅱ) P = C3 P ( AB ) P (C ) 2 = 3P ( A) P ( B ) P (C ) 2 = 3 × 0.5 × 0.4 × 0.82 = 0.384 .

20.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 如图,四棱锥 S ? ABCD 中, AB∥CD , BC ⊥ CD ,侧面 SAB 为等边三角形, AB = BC = 2 , CD = SD = 1 . S (Ⅰ)证明: SD ⊥ 平面SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小. 【解析 1】 (Ⅰ)取 AB 中点 E ,连接 DE ,则四边形 BCDE 为矩形, D C

A

B

DE = CB = 2 ,连接 SE ,则 SE ⊥ AB , SE = 3 .
又 SD = 1 ,故 ED 2 = SE 2 + SD 2 ,所以 ∠DSE 为直角. 由 AB ⊥ DE , AB ⊥ SE , DE I SE = E ,得 AB ⊥ 平面SDE ,所以 AB ⊥ SD .

SD 与两条相交直线 AB 、 SE 都垂直,所以 SD ⊥ 平面SAB .
(Ⅱ) AB ⊥ 平面SDE 知,平面ABCD ⊥ 平面 SDE . SF ⊥ DE , 由 作 垂足为 F , SF ⊥ 平面ABCD , 则

SF =

SD × SE 3 = DE 2 .
S D F H G B C

作 FG ⊥ BC ,垂足为 G ,则 FG = DC = 1 .连接 SG ,则 SG ⊥ BC . 又 BC ⊥ FG , SG I FG = G ,故 BC ⊥ 平面SFG ,

平面SBC ⊥ 平面SFG .
作 FH ⊥ SG , H 为垂足,则

A

E

FH ⊥ 平面SBC . FH =

SF × FG 3 21 ,即 F 到平面 SBC 的距离为 . = SG 7 7

由于 ED∥BC ,所以 ED∥平面SBC , E 到平面 SBC 的距离 d =

21 . 7

设 AB 与平面 SBC 所成的角为 α ,则 sin α = 【解析 2】

d 21 21 , α = arc sin . = EB 7 7

以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间坐标系 C ? xyz . 设 D (1,0,0) ,则 A(2, 2, 0) , B (0, 2, 0) ,又设 S ( x , y , z ) , 则 x > 0, y > 0 , z > 0. (Ⅰ) z S D C

uuu r uuu r uuu r AS = ( x ? 2, y ? 2, z ) , BS = ( x, y ? 2, z ) , DS = ( x ? 1, y, z ) ,由 uuu uuu r r | AS |=| BS | 得
( x ? 2) + ( y ? 2) + z = x + ( y ? 2) + z ,
2 2 2 2 2 2

x A y

B

2 2 由 又由 |BS |= 2 得 x 2 + ( y ? 2) 2 + z 2 = 4 , y 2 + z 2 ? 4 y + 1 = 0 , 即 解得 x = 1 , | DS |= 1 得 y + z = 1 ,

uuu r

故y=

1 3 ,z = . 2 2

于是 S (1, ,

uuu r uuu r uuu r uuu uuu r r 1 3 3 3 3 3 1 3 ) , AS = (?1, ? , ) , BS = (1, ? , ) , DS = (0, , ) , DS ? AS = 0 , 2 2 2 2 2 2 2 2

uuu uuu r r DS ? BS = 0 .故 DS ⊥ AS , DS ⊥ BS ,又 AS I BS = S ,所以 SD ⊥ 平面 SAB .
(Ⅱ)设平面 SBC 的法向量 a = ( m, n, p ) ,则 a ⊥ BS , a ⊥ CB , a ? BS = 0 , a ? CB = 0 ,又

r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r 3 3 BS = (1, ? , ) , CB = (0, 2, 0) ,故 2 2

? 3 3 p = 0, ?m ? n + ? 2 2 ?2n = 0. ?
uuu r r uuu r r r uuu r AB ? a 21 r r = 取 p = 2 得 a = ( ? 3, 0, 2) ,又 AB = ( ?2, 0, 0) , cos < AB, a >= uuu . 7 | AB | ? | a |
故 AB 与平面 SBC 所成得角为 arcsin 【解析 3】 (Ⅰ)计算 SD = 1 , AD = 5 , SA = 2 ,于是 SA2 + SD 2 = AD 2 ,利用勾股定理,可知 SD ⊥ SA , 同理,可证 SD ⊥ SB ,又 SA I SB = S ,因此 SD ⊥ 平面SAB . (Ⅱ)过点 D 做 Dz ⊥ 平面ABCD ,如图建立空间直角坐标系 S

21 . 7

z

D ? xyz .

D

C

y

A B A(2, ?1, 0) ,B(2,1, 0) , (0,1, 0) ,S ( 1 , 0, 3 ) , C 可计算平面 SBC x 2 2 uuu r r uuu r r r uuu r | AB ? n | 2 3 21 r r = = 的一个法向量是 n = (0, 3, 2) , AB = (0, 2, 0) , | cos < AB, n >|= uuu . | AB | ? | n | 2 7 7 21.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知函数 f ( x) = x + 3ax + (3 ? 6a) x + 12a ? 4{a ∈ R} .
3 2

(Ⅰ)证明:曲线 y = f ( x ) 在 x = 0 处的切线过点 (2, 2) ;

( (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x = x0 处取得极小值, x0 ∈ 1,3) ,求 a 的取值范围.
【解析 1】 (Ⅰ) f ′( x) = 3x + 6ax + 3 ? 6a .
2

由 f (0) = 12 a ? 4 , f ′(0) = 3 ? 6 a 得曲线 y = f ( x ) 在 x = 0 处的切线方程为

y = (3 ? 6 a ) x + 12a ? 4 ,
由此知曲线 y = f ( x ) 在 x = 0 处的切线过点 (2, 2) . (Ⅱ)由 f ′( x ) = 0 得 x 2 + 2ax + 1 ? 2a = 0 . (i)当 ? = (2a) ? 4(1 ? 2a) ≤ 0 时, ? 2 ? 1 ≤ a ≤
2

2 ? 1 , f ( x) 没有极小值;

(ii)当 ? = (2a) 2 ? 4(1 ? 2a) > 0 时, a >

2 ? 1 或 a < ? 2 ? 1 ,由 f ′( x ) = 0 得

x1 = ? a ? a 2 + 2a ? 1 , x2 = ? a + a 2 + 2a ? 1 ,
故 x0 = x2 .由题设知 1 < ? a + a 2 + 2 a ? 1 < 3 . 当a >

2 ? 1 时,不等式 1 < ? a + a 2 + 2a ? 1 < 3 无解;

当 a < ? 2 ? 1 时,解不等式 1 < ? a + a 2 + 2 a ? 1 < 3 得 ?

5 < a < ? 2 ?1. 2

综合(i) (ii)得 a 的取值范围是 (?

5 , ? 2 ? 1) . 2

22.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C : x 2 +

y2 = 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 ? 2 的直线 l 与 2
uuu r r

C 交与 A 、 B 两点,点 P 满足 OA + OB + OP = 0.
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ,证明: A 、 P 、 B 、 Q 四点在同一 圆上. 【解析 1】 (Ⅰ) F (0,1) , l 的方程为 y = ? 2 x + 1 ,代入 x 2 +

uuu r

uuu r

y2 = 1 并化简得 2

4 x2 ? 2 2 x ? 1 = 0 .
设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , P ( x3 , y3 ) , 则 x1 =

2? 6 2+ 6 , x2 = , 4 4 x1 + x2 = 2 , y1 + y2 = ? 2( x1 + x2 ) + 2 = 1 , 2

由题意得 x3 = ?( x1 + x2 ) = ?

2 y = ?( y + y ) = ?1 , 3 . 1 2 2

所以点 P 的坐标为 ( ?

2 , ?1) . 2

经验证,点 P 的坐标 ( ?

y2 2 = 1 ,故点 P 在椭圆 C 上. , ?1) 满足方程 x 2 + 2 2

(Ⅱ)由 P ( ?

2 2 , ?1) 和题设知, Q( ,1) , PQ 的垂直平分线 l1 的方程为 2 2 y=? 2 x. 2
1 ○

设 AB 的中点为 M ,则 M (

2 1 , ) , AB 的垂直平分线 l2 的方程为 4 2 y= 2 1 x+ . 2 4 2 1 , ). 8 8
2 ○

由○○得 l1 、 l2 的交点为 N (? 1 2

| NP |= (?

2 2 2 1 3 11 , + ) + (?1 ? ) 2 = 2 8 8 8 3 2 , 2

| AB |= 1 + (? 2) 2 ? | x2 ? x1 |= 3 2 , 4

| AM |=

| MN |= (

2 2 2 1 1 2 3 3, + ) +( ? ) = 4 8 2 8 8

| NA |= | AM |2 + | MN |2 =
故 又 所以

3 11 , 8

| NP |=| NA | . | NP |=| NQ | , | NA |=| NB | , | NA |=| NP |=| NB |=| NQ | ,

由此知 A 、 P 、 B 、 Q 四点在以 N 为圆心, NA 为半径的圆上.


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