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学案:高考题选:解三角形

高考题选: 高考题选:解三角形
2007 年:
17、 △ ABC 中, ,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边. 在 a 若

a = 2, C =

π B 2 5 , cos = ,求 △ ABC 的面积 S . 4 2 5

4 3 【解】 由题意,得 cos B = , B 为锐角, sin B = , : 5 5

? 3π ? 7 2 sin A = sin( π ? B ? C ) = sin ? ? B? = , ? 4 ? 10
由正弦定理得 c = 1 2

10 , 7
1 2 10 4 8 × = . 7 5 7

∴ S = ac sin B = × 2 ×

2007 年春季考:
20. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分。 通常用 a、b、c 分别表示△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对 边的边长, R 表示△ ABC 的外接圆半径。 (1) 如图,在以 O 为圆心、半径为 2 的⊙ O 中, BC 和

BA 是⊙ O 的弦,其中 BC = 2 , ∠ABC = 45 o ,求弦 AB 的长;
(2) 在△ ABC 中,若 ∠C 是钝角,求证: a 2 + b 2 < 4R 2 ; (3) 给定三个正实数 a、b、R ,其中 b ≤ a . 问: a、b、R 满足怎样的关系时,以 a、b 为边长, R 为外接圆半径的△

O

A
C

B

ABC 不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一 个)?在△ ABC 存在的情况下,用 a、b、R 表示 c 。 20. [ 解 ] (1) △ ABC 的 外 接 圆 半 径 为 2 , 在 △ ABC 中 ,

AC = 2 R sin B = 2 2 ,

sin A =


BC 1 = ,A = 30 o , 2R 2

…… 3

AB 2 = BC 2 + AC 2 ? 2 BC ? AC ? cos C

O

= 4 + 8 + 8 2 cos( A + B ) = 4 3 + 2 = 2 3 + 1 ∴ AB = 6 + 2 .
6分 [ 证 明 ] (2) sin A =

(

) (

)

2

B ……

C

a b , sin B = , 由 于 ∠C 是 钝 角 , 2R 2R ∠A、∠B 都是锐角,得 1 1 4R 2 ? b 2 , cos A = 4 R 2 ? a 2 , cos B = 2R 2R cos C = ? cos( A + B )
= 1 ? ? ab ? 4 R 2 ? a 2 4 R 2 ? b 2 ? < 0 , ? 2 ? ? 4R

Q a 2b 2 < 4R 2 ? a 2 4R 2 ? b 2 , ∴ 16 R 4 ? 4 R 2 a 2 + b 2 > 0
a 2 + b 2 < 4R 2 .

(

)(

)

(

)

, …… 10 分



[解] (3) ⅰ)当 a > 2 R 或 a = b = 2 R 时,所求的△ ABC 不存在. ⅱ)当 a = 2 R 且 b < a 时, ∠A = 90 o ,所求的△ ABC 只 存在一个,且 c = a 2 ? b 2 . ⅲ)当 a < 2 R 且 b = a 时, ∠A = ∠B ,且 A、B 都是锐角,

a b = = sin B , A、B 唯一确定. 2R 2R 因 此 , 所 求 的 △ ABC 只 存 在 一 个 , 且 a c = 2a ? cos A = 4R 2 ? a 2 . …… 14 分 R ⅳ)当 b < a < 2 R 时, ∠B 总是锐角, ∠A 可以是钝角也可 a 以是锐角,因此,所求的△ ABC 存在两个. 由 sin A = , 2R b sin B = ,得 2R 1 4R 2 ? a 2 , 当 ∠A < 90 o 时, cos A = 2R
由 sin A =

c = a 2 + b 2 + 2ab cos( A + B )

= a2 + b2 +

ab ? ? 4 R 2 ? a 2 4 R 2 ? b 2 ? ab ? . ? 2 ? ? 2R

当 ∠A > 90 o 时, cos A = ?

1 4R 2 ? a 2 , 2R

c = a2 + b2 ?

ab ? ? 4 R 2 ? a 2 4 R 2 ? b 2 + ab ? ? ? 2R 2 ?

.

…… 18 分


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