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2013-2014学年高中数学 1.1.2-3 四种命题 四种命题间的相互关系课件 新人教A版选修1-1_图文

1.1.2 1.1.3

四种命题

四种命题间的相互关系

教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题 的概念,掌握四种命题的形式;初步理解四种命题间的相互关 系并能判断命题的真假.

2.过程与方法 培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解 决问题的能力;培养学生抽象概括能力和思维能力. 3.情感、态度与价值观 激发学生学习数学的兴趣和积极性,优化学生的思维品 质,培养学生勤于思考,勇于探索的创新意识,感受探索的乐 趣.

●重点、难点 重点:四种命题之间相互的关系. 难点:正确区分命题的否定形式及否命题. 通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要 地位,从而引发学生学习四种命题的兴趣,然后主要通过对概 念的讲解和分析,并配以适量的课堂练习,让学生掌握四种命 题的概念,会写四种命题,并掌握四种命题之间的关系以及通 过逆否命题来判断命题的真假;最后运用所学命题知识解决实 际生活中的问题,让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问 题,从而突破重难点.

●教学建议 这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的,因此采用 以讲解和练习强化为主要方法,并在讲解过程中引导和启发学 生的思维,让学生充分地思考和动手演练.宜采取的教学方 法:(1)启发式教学.这能充分调动学生的主动性和积极性,有 利于学生对知识进行主动建构,从而发现数学规律;(2)讲练结 合法.这样更能突出重点、解决难点,让学生的分析问题和解 决问题的能力得到进一步的提高.

学习方法:(1)由特殊到一般的化归方法:学习中学生在教 师的引导下,通过具体的实例,让学生去观察、讨论、探索、 分析、发现、归纳、概括;(2)讲练结合法:让学生知道数学重 生在运用,从而检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其 差距并及时加以补救. 通过本节的学习,了解命题的四种形式及其关系,利用原 命题与逆否命题,逆命题与否命题之间的等价性解决有关问 题,渗透由特殊到一般的化归数学思想.

●教学流程

演示结束

课标解读

1.了解四种命题的概念,会写 出某命题的逆命题、否命题和 逆否命题.(重点) 2.认识四种命题之间的关系以 及真假性之间的关系.(难点) 3.利用命题真假的等价性解决 简单问题.(难点,易错点)

四种命题的概念

【问题导思】 给出以下四个命题: (1)对顶角相等; (2)相等的两个角是对顶角; (3)不是对顶角的两个角不相等; (4)不相等的两个角不是对顶角;

1.你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗? 【提示】 它们的条件和结论恰好互换了.

2.命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系?命题(1)与(4) 呢?
【提示】 命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否

定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的 否定和条件的否定.

一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别 是另一个命题的结论和条件,那么把这两个命题叫做 互逆命

题 ,如果是另一个命题条件的否定和结论的否定,那么把两
个命题叫做 互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的 否定,那么把这样的两个命题叫做 互为逆否命题 .把第一个 叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、 逆否命题.

四种命题的关系
【问题导思】 1.为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈 q”,如果原命题是“若p,则q”,那么它的逆命题,否命 题,逆否命题该如何表示?

【提示】 逆命题:若q,则p. 否命题:若綈p,则綈q. 逆否命题:若綈q,则綈p.

2.原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关 系?原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系?原命题的 逆命题与其否命题呢?
【提示】 互逆、互否、互为逆否.

四种命题的相互关系

四种命题的真假关系

【问题导思】 1.知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的? 【提示】 (1)真命题,(2)假命题,(3)假命题,(4)真命 题. 2.如果原命题是真命题,它的逆命题是真命题吗?它的 逆否命题呢? 【提示】 原命题为真,其逆命题不一定为真,但其逆否 命题一定为真.

1.在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中,一定与原 命题真假性相同的是 逆否命题 .

2.两个命题互为逆命题或互为否命题时,它们的真假性

没有关系 .

四种命题的概念
把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出 它们的逆命题、否命题与逆否命题. (1)全等三角形的对应边相等; (2)当x=2时,x2-3x+2=0.
【思路探究】 (1)原命题的条件与结论分别是什么?

(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命 题、否命题和逆否命题?

【自主解答】

(1)原命题:若两个三角形全等,则这两个

三角形三边对应相等. 逆命题:若两个三角形三边对应相等,则两个三角形全 等. 否命题:若两个三角形不全等,则两个三角形三边对应不 相等. 逆否命题:若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角 形不全等.

(2)原命题:若x=2,则x2-3x+2=0, 逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2, 否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0, 逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2.

1.给出一个命题,写出该命题的其他三种命题时,首先 考虑弄清所给命题的条件与结论,若给出的命题不是“若p, 则q”的形式,应改写成“若p,则q”的形式. 2.把原命题的结论作为条件,条件作为结论就得到逆命 题;否定条件作为条件,否定结论作为结论便得到否命题;否 命题的逆命题就是原命题的逆否命题.

分别写出下列命题的逆命题 、否命题和逆否命题. (1)负数的平方是正数; (2)若a>b,则ac2>bc2.
【解】 (1)原命题可以改写成:若一个数是负数,则它的 平方是正数; 逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数; 否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数; 逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是负数.

(2)逆命题:若ac2>bc2,则a>b; 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2; 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b.

四种命题真假的判断
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,然 后判断真假. (1)菱形的对角线互相垂直; (2)等高的两个三角形是全等三角形; (3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.

【思路探究】 → 判断真假

确定条件与结论



写出三种命题

【自主解答】

(1)逆命题:若一个四边形的对角线互相垂

直,则它是菱形,是假命题. 否命题:若一个四边形不是菱形,则它的对角线不互相垂 直,是假命题. 逆否命题:若一个四边形的对角线不互相垂直,则这个四 边形不是菱形,是真命题.

(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等高,是 真命题. 否命题:若两个三角形不等高,则这两个三角形不全等, 是真命题. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等 高,是假命题.

(3)逆命题:若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦 的垂直平分线,是假命题. 否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不 平分弦所对的弧,是假命题. 逆否命题:若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不 是弦的垂直平分线,是真命题.

1.本例题目中命题的条件和结论不明显,为了不出错 误,可以先改写成“若p,则q”的形式,再写另外三种命题, 进而判断真假. 2.要判定四种命题的真假,首先,要正确理解四种命题 间的相互关系;其次,正确利用相关知识进行判断推理.若由 “p经逻辑推理得出q”,则命题“若p,则q”为真;确定“若 p,则q”为假时,则只需举一个反例说明. 3.互为逆否命题等价.当一个命题的真假不易判断时, 可通过判定其逆否命题的真假来判断.

下列命题中正确的是(

)

①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题; ②“正三角形都相似”的逆命题; ③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题. A.①②③ C.②③ B.①③ D.①

【解析】

①原命题的否命题为“若x2+y2=0,则x,y全

为零”.真命题. ②原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则这两个三角 形是正三角形.”假命题.

③原命题的逆否命题为“若x2+x-m=0无实根,则 m≤0”. ∵方程x2+x-m=0无实根, 1 ∴判别式Δ=1+4m<0,m<-4. 故m≤0,为真命题. 故正确的命题是①,③选B.
【答案】 B

等价命题的应用
若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数.
【思路探究】 况? (2)它的反面是什么?能否考虑证它的逆否命题? (1)a,b,c不可能都是奇数包含几种情

【自主解答】

若a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇

数,所以a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2.即原命题的 逆否命题为真命题,故原命题为真,所以若a2+b2=c2,则a、 b、c不可能都是奇数.

1.因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情 况,而其否定只有一种情况,即“a、b、c都是奇数,”故应 选择证明它的逆否命题为真命题,以使问题简单化. 2.当判断一个命题的真假比较困难,或者在判断真假时 涉及到分类讨论时,通常转化为判断它的逆否命题的真假,因 为互为逆否命题的真假是等价的,也就是我们讲的“正难则 反”的一种策略.

3.四种命题中,原命题与其逆否命题是等价的,有相同 的真假性,原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题,解 题时不要忽视.

“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+ 2≤0的解集是空集,则a<2”,判断其逆否命题的真假.

【解】 ∵a,x∈R,且x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是 空集. ∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)<0, 7 则4a-7<0,解得a<4. 因此a<2,原命题是真命题. 又互为逆否命题的命题等价,故逆否命题是真命题.

因否定错误致误 写出命题“若x2+y2=0,则x,y全为零”的逆命 题、否命题,并判断它们的真假.
【错解】 题; 否命题:若x2+y2≠0,则x,y全不为零,是假命题. 逆命题:若x,y全为零,则x2+y2=0,是真命

【错因分析】

本题中的错解主要是对原命题中结论的否

定错误.对“x,y全为零”的否定,应为“x,y不全为零”, 而不是“x,y全不为零”. 【防范措施】 要写出一个命题的否命题,需要既否定条

件,又否定结论,否定时一定要注意一些词语,如“都是”的 否定是“不都是”,而不是“都不是”等等.

【正解】 逆命题:若x,y全为零,则x2+y2=0,是真命 题;否命题:若x2+y2≠0,则x,y不全为零,是真命题.

1.写出四种命题的方法: (1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命 题; (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否 命题; (3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得 的命题是逆否命题.

2.四种命题的真假关系: 若原命题为真,它的逆命题、否命题不一定为 真,它的逆否命题一定为真;互为逆否命题的两个命 题的真假性相同.因此,若一个命题的真假不易判断 时,我们可借助它的逆否命题进行判断.

1.(2013· 福州高二检测)已知a,b∈R,命题“若a+b= 1 1,则a +b ≥2”的否命题是(
2 2

)

1 A.若a +b <2,则a+b≠1
2 2

1 B.若a+b=1,则a +b <2
2 2

1 C.若a+b≠1,则a +b <2
2 2

1 D.若a +b ≥ ,则a+b=1 2
2 2

【解析】
2

1 “a+b=1”,“a +b ≥ ”的否定分别是“a 2
2 2 2

1 +b≠1”,“a +b < ”,故否命题为:“若a+b≠1,则a2 2 1 +b <2”.
2

【答案】

C

2.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩 形是两条对角线相等的四边形”的( A.逆命题 C.逆否命题 )

B.否命题 D.无关命题

【解析】 从两种命题的形式来看是条件与结论换位,因 此为逆命题.
【答案】 A

3.命题“当x=2时,x2+x-6=0”的逆否命题是____.

【解析】 原命题结论的否定作条件,条件的否定作结 论,写出逆否命题即可.
【答案】 当x2+x-6≠0时,x≠2.

4.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断 命题的真假. (1)若mn<0,则方程mx2-x+n=0有实数根; (2)若ab=0,则a=0或b=0.

【解】 (1)逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则 mn<0.假命题; 否命题:若mn≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根.假 命题; 逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则mn≥0.真 命题.

(2)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0.真命题; 否命题:若ab≠0,则a≠0且b≠0.真命题; 逆否命题:若a≠0且b≠0,则ab≠0.真命题.

判断命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的 逆否命题的真假.

【解】 ∵m>0,∴12m>0,∴12m+4>0. ∴方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=22-4×1×(-3m)=4 +12m>0,∴原命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数 根”为真.

又∵原命题与它的逆否命题等价, ∴“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命 题为真.

已知ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.

【证明】

设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则2a2+2b2+

2c2+2d2+2ab+2bc+2cd-2ad-2bc+2ad=2, 即(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2+2ad-2bc=2, 若(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2=0,则a=b=c=d =0,于是ad-bc<1;

若(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2≠0, 则(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2为正数,所以必有ad -bc<1. 综上,命题“若a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则ad- bc≠1”成立,由原命题与它的逆否命题等价,知原命题也成 立,从而原命题得证.


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