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专题六 数学思想方法(二)(答案)


专题六

数学思想方法(二)

(方程思想、函数思想、数形结合思想)
一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识, 是解决数学问题的根本 策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学 知识的重要组成部分。 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括, 它蕴含于数学 知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.因 此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用 数学思想方法解决问题的意识. 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓, 是读书由厚到薄的升华, 在复习中一定要注重培养在解题 中提炼数学思想的习惯,中考常用到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、函数与方程 思想、数形结合思想、分类讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这 些数学思想与方法, 掌握了它的实质, 就可以把所学的知识融会贯通, 解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点四:方程思想 从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知 量之间的数量关系,转化为方程或方程组的数学模型,从而使问题得到解决的思维方法, 这就是方程思想。 用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种 思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。 4.(2013?温州)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,延长 BC 至点 D,使 DC=CB, 延长 DA 与⊙O 的另一个交点为 E,连接 AC,CE. (1)求证:∠B=∠D; (2)若 AB=4,BC-AC=2,求 CE 的长.

解(1)证明:∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90° ,∴AC⊥BC,∵DC=CB,∴AD=AB, ∴∠B=∠D; (2)解:设 BC=x,则 AC=x-2,在 Rt△ABC 中,AC2+BC2=AB2,∴(x-2)2+x2=42, 解得:x1=1+ 7 ,x2=1- 7 (舍去) , ∵∠B=∠E,∠B=∠D, ∴∠D=∠E, ∴CD=CE, ∵CD=CB, ∴CE=CB=1+ 7 .

考点五:函数思想 函数思想是用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数 量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而 使问题获得解决。 所谓函数思想的运用,就是对于一个实际问题或数学问题,构建一个相应的函数,从 而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现,运用函数思想要善于抓住事物 在运动过程中那些保持不变的规律和性质。 5.(1)2013?凉山州)某车队要把 4000 吨货物运到雅安地震灾区(方案定后,每天的运量 不变). (1)从运输开始,每天运输的货物吨数 n(单位:吨)与运输时间 t(单位:天)之间有怎 样的函数关系式? (2)因地震,到灾区的道路受阻,实际每天比原计划少运 20%,则推迟 1 天完成任务,求 原计划完成任务的天数. 解:(1)∵每天运量×天数=总运量 ∴nt=4000 ∴n=

4000 ; t

(2)设原计划 x 天完成,根据题意得:

4000 4000 (1-20%)= 。 x x ?1
解得:x=4 经检验:x=4 是原方程的根, 答:原计划 4 天完成. 5(2) .(2013?济南)某地计划用 120-180 天(含 120 与 180 天)的时间建设一项水利工 程,工程需要运送的土石方总量为 360 万米 3. (1)写出运输公司完成任务所需的时间 y(单位:天)与平均每天的工作量 x(单位:万 米 3)之间的函数关系式,并给出自变量 x 的取值范围; (2)由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石比原计划多 5000 米 3,工期比原计划减 少了 24 天,原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米 3? 解:(1)由题意得,y= 把 y=120 代入 y=

360 , x

360 ,得 x=3, x 360 把 y=180 代入 y= ,得 x=2, x
∴自变量的取值范围为:2≤x≤3,∴y=

360 (2≤x≤3); x

(2)设原计划平均每天运送土石方 x 万米 3,则实际平均每天运送土石方(x+0.5)万米 3, 根据题意得:

360 360 =24 x x ? 0.5

解得:x=2.5 或 x=-3 经检验 x=2.5 或 x=-3 均为原方程的根,但 x=-3 不符合题意,故舍去, 答:原计划每天运送 2.5 万米 3,实际每天运送 3 万米 3.

考点六:数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度 ,利用几何图形的性质研究数量关系 ,寻求代数问 题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质 ,解决几何问题(以数助形) 的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决。 6.(2013?南充)如图,函数 y1=

k1 与 y2=k2x 的图象相交于点 A(1,2)和点 B,当 y1< x
B.-1<x<0 D.x<-1 或 0<x<1

y2 时,自变量 x 的取值范围是( C ) A.x>1 C.-1<x<0 或 x>1

四、中考真题训练 一、选择题 1. (2013?六盘水)下面四个几何体中,主视图是圆的几何体是( D )

A.

B.

C.

D.

2. (2013?南通)如图所示的几何图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是(C)

A.4 B.3 C.2 D.1 3. (2013?娄底) 一次函数 y=kx+b (k≠0) 的图象如图所示, 当 y>0 时, x 的取值范围是 (C) A.x<0 B.x>0 C.x<2 D.x>2 5. (2013?常州)已知⊙O 的半径是 6,点 O 到直线 l 的距离为 5,则直线 l 与⊙O 的位置关 系是( C ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断 6. (2013?鞍山)已知:如图,OA,OB 是⊙O 的两条半径,且 OA⊥OB,点 C 在⊙O 上, 则∠ACB 的度数为( A ) A.45° B.35° C.25° D.20°

第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 2 7.(2013?黔东南州)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( D ) A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0 B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0 C.a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0 D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0 8. (2013?衢州)如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在 B 处仰望树顶,测得仰角 为 30° ,再往大树的方向前进 4m,测得仰角为 60° ,已知小敏同学身高(AB)为 1.6m,则 这棵树的高度为( D ) (结果精确到 0.1m, . 3 ≈1.73)

A.3.5m B.3.6m C.4.3m D.5.1m 9. (2013?娄底)如图,⊙O1,⊙O2、相交于 A、B 两点,两圆半径分别为 6cm 和 8cm, 两圆的连心线 O1O2 的长为 10cm,则弦 AB 的长为( B ) A.4.8cm B.9.6cm C.5.6cm D.9.4cm

第 9 题图

第 11 题图

第 12 题图

10. (2013?曲靖)某地资源总量 Q 一定,该地人均资源享有量 x 与人口数 n 的函数关系图 象是( B )

A.

B.

C.

D.

11.(2013?凉山州)如图,正比例函数 y1 与反比例函数 y2 相交于点 E(-1,2),若 y1> y2>0,则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是( A )

A. C.
2

B. D.

12. (2013?遵义) 二次函数 y=ax +bx+c (a≠0) 的图象如图如图所示, 若 M=a+b-c, N=4a-2b+c, P=2a-b.则 M,N,P 中,值小于 0 的数有( A ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个

13. (2013?杭州)在?ABCD 中,下列结论一定正确的是( B ) A.AC⊥BD B.∠A+∠B=180° C.AB=AD D.∠A≠∠C

第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 14. (2013?乌鲁木齐)如图,半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA、CB 分别切于 D、E 两点, 直径 FG 在 AB 上,若 BG= 2 -1,则△ABC 的周长为( A ) A.4+2 2 B.6 C.2+2 2 D.4

15. (2013?德阳)如图,在?ABCD 中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,交 DC 的延长线于点 F,BG⊥AE,垂足为 G,若 BG=4 2 ,则△CEF 的面积是( A ) A.2 2 B. 2 C.3 2 D.4 2

16. (2013?绍兴)小敏在作⊙O 的内接正五边形时,先做了如下几个步骤: (1)作⊙O 的两条互相垂直的直径,再作 OA 的垂直平分线交 OA 于点 M,如图 1; (2)以 M 为圆心,BM 长为半径作圆弧,交 CA 于点 D,连结 BD,如图 2.若⊙O 的半径 为 1,则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD 的等式是( C ) A.BD2=

5 ?1 5 ?1 OD B.BD2= OD C.BD2= 5 OD 2 2

D.BD2=

1 5 OD 2

17.(2013?杭州)给出下列命题及函数 y=x,y=x2 和 y=

1 , x
A.正确的命题是①④ B.错误的命题是②③④ C.正确的命题是①② D.错误的命题只有③

1 2 >a>a ,那么 0<a<1; a 1 2 ②如果 a >a> ,那么 a>1; a 1 2 ③如果 >a >a,那么-1<a<0; a 1 2 ④如果 a > >a 时,那么 a<-1. a
①如果 则( A )

二、填空题 18. (2013?岳阳)如图,点 P(-3,2)处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了 5 个单位长度 后的坐标为 .

第 18 题图 18. (2,2) 19.5

第 19 题图 20. (4,2) 21.8 22.4π

第 20 题图

19. (2013?平凉)如图,路灯距离地面 8 米,身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部(点 O) 20 米的 A 处,则小明的影子 AM 长为 米. 20. (2013?安顺)如图,在平面直角坐标系中,将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90° 后,得到线段 AB′,则点 B′的坐标为 . 21. (2013?昆明)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2,3) ,在坐标轴上找一点 P,使 得△AOP 是等腰三角形,则这样的点 P 共有 个. 22. (2013?杭州)四边形 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,且 BC=CD=2,AB=3, 把梯形 ABCD 分别绕直线 AB, CD 旋转一周, 所得几何体的表面积分别为 S1, S2, 则|S1-S2|= (平方单位)

第 22 题图 第 13 题图 第 24 题图 23. (2013?自贡)如图,边长为 1 的小正方形网格中,⊙O 的圆心在格点上,则∠AED 的 余弦值是

2 5 5



24. (2013?广安)如图,如果从半径为 5cm 的圆形纸片上剪去

1 圆周的一个扇形,将留下 5

的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠) ,那么这个圆锥的高是 3 cm. 25. (2013?江西)如图,矩形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,连接 DE 和 BF, 分别取 DE、BF 的中点 M、N,连接 AM,CN,MN,若 AB=2 2 ,BC=2 3 ,则图中阴 影部分的面积为

2 6



第 25 题图 第 26 题图 26. (2013?包头)如图,在三角形纸片 ABC 中,∠C=90° ,AC=6,折叠该纸片,使点 C 落在 AB 边上的 D 点处, 折痕 BE 与 AC 交于点 E, 若 AD=BD, 则折痕 BE 的长为 4 . 三、解答题 27. (2013?齐齐哈尔)甲乙两车分别从 A、B 两地相向而行,甲车出发 1 小时后乙车出发, 并以各自速度匀速行驶, 两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶, 如图所示是甲乙两车 之间的距离 S(千米)与甲车出发时间 t(小时)之间的函数图象,其中 D 点表示甲车到达 B 地,停止行驶. (1 )A、B 两地的距离 千米;乙车速度是 ;a 表示 . (2)乙出发多长时间后两车相距 330 千米? 解: (1)t=0 时,S=560, 所以,A、B 两地的距离为 560 千米; 甲车的速度为: (560-440)÷ 1=120km/h, 设乙车的速度为 xkm/h, 则(120+x)×(3-1)=440, 解得 x=100; 相遇后甲车到达 B 地的时间为: (3-1)×100÷ 120= 所以,a=(120+100)× =

5 小时, 3

5 1100 千米; 3 3

(2)设直线 BC 的解析式为 S=k1t+b1(k1≠0) , 将 B(1,440) ,C(3,0)代入得,

?k1 ? b1 ? 440 , ? ?3k1 ? b1 ? 0
解得 ?

?k1 ? -220 , ?b1 ? 660

所以,S=-220t+660, 当-220t+660=330 时,解得 t=1.5, 所以,t-1=1.5-1=0.5; 直线 CD 的解析式为 S=k2t+b2(k2≠0) ,

5 14 +3= , 3 3 14 1100 将 C(3,0) ,D( , )代入得, 3 3
点 D 的横坐标为

?3k2 ? b2 ? 0 ? ?14 1100 , k2 ? b2 ? ? 3 ?3
解得 ?

?k2 ? 220 , ?b2 ? -660

所以,S=220t-660, 当 220t-660=330 时,解得 t=4.5, 所以,t-1=4.5-1=3.5, 答:乙出发多长 0.5 小时或 3.5 小时后两车相距 330 千米. 28. (2013?南宁)在一条笔直的公路上有 A、B 两地,甲骑自行车从 A 地到 B 地;乙骑自 行车从 B 地到 A 地,到达 A 地后立即按原路返回,如图是甲、乙两人离 B 地的距离 y(km) 与行驶时 x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题: (1)写出 A、B 两地直接的距离; (2)求出点 M 的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义; (3)若两人之间保持的距离不超过 3km 时,能够用无线对讲机保持联系,请直接写出甲、 乙两人能够用无线对讲机保持联系时 x 的取值范围.

30.解: (1)x=0 时,甲距离 B 地 30 千米, 所以,A、B 两地的距离为 30 千米; (2)由图可知,甲的速度:30÷ 2=15 千米/时, 乙的速度:30÷ 1=30 千米/时, 30÷ (15+30)=

2 , 3

2 ×30=20 千米, 3
所以,点 M 的坐标为(

2 2 ,20) ,表示 小时后两车相遇,此时距离 B 地 20 千米; 3 3

(3)设 x 小时时,甲、乙两人相距 3km, ①若是相遇前,则 15x+30x=30-3, 解得 x=

3 , 5

②若是相遇后,则 15x+30x=30+3,

解得 x=

11 , 15

③若是到达 B 地前,则 15x-30(x-1)=3,

9 , 5 3 11 9 所以,当 ≤x≤ 或 ≤x≤2 时,甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系. 5 15 5
解得 x= 29.(2013?天门)如图,在平面直角坐标系中,双曲线 y ?

m 和直线 y=kx+b 交于 A,B x

两点,点 A 的坐标为(-3,2),BC⊥y 轴于点 C,且 OC=6BC. (1)求双曲线和直线的解析式; (2)直接写出不等式

m >kx+b 的解集. x

解:(1)∵点 A(-3,2)在双曲线 y= ∴2=

m 上, x

m ,即 m=-6, ?3 6 , x

∴双曲线的解析式为 y=∵点 B 在双曲线 y=-

6 上,且 OC=6BC, x

设点 B 的坐标为(a,-6a), ∴-6a=-

6 ,解得:a=± 1(负值舍去), a

∴点 B 的坐标为(1,-6), ∵直线 y=kx+b 过点 A,B, ∴?

?2 ? ?3k ? b , ??6 ? k ? b ?k ? ?2 . ?b ? ?4

解得: ?

∴直线的解析式为 y=-2x-4;

30. (2013?衢州) 如图, 函数 y1=-x+4 的图象与函数 y2= B(1,b)两点. (1)求函数 y2 的表达式; (2)观察图象,比较当 x>0 时,y1 与 y2 的大小.

k2 (x>0) 的图象交于 A (a, 1) 、 x

解:(1)把点 A 坐标代入 y1=-x+4, 得-a+4=1, 解得:a=3,…(1 分) ∴A(3,1), 把点 A 坐标代入 y2= ∴k2=3, ∴函数 y2 的表达式为:y2=

k2 , x 3 ; x

(2)∴由图象可知, 当 0<x<1 或 x>3 时,y1<y2, 当 x=1 或 x=3 时,y1=y2, 当 1<x<3 时,y1>y2. (2)根据图象得:不等式

m >kx+b 的解集为-3<x<0 或 x>1. x

31. (2013?鄂州)小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码 20 层!” 小华却不以为然:“20 层?我看没有,数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明 白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选 A、B 两点, 测量数据如图,其中矩形 CDEF 表示楼体,AB=150 米,CD=10 米,∠A=30° ,∠B=45° , (A、C、D、B 四点在同一直线上)问: (1)楼高多少米? (2)若每层楼按 3 米计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由. (参考数据:

3 ≈1.73,

2 ≈1.41,

5 ≈2.24)

解: (1)设楼高为 x 米,则 CF=DE=x 米, ∵∠A=30° ,∠B=45° ,∠ACF=∠BDE=90° , ∴AC= 3 x 米,BD=x 米, ∴ 3 x+x=150-10, 解得 x=

140 =70( 3 -1) (米) , 3 ?1

∴楼高 70( 3 -1)米. (2)x=70( 3 -1)≈70(1.73-1)=70×0.73=51.1 米<3×20 米, ∴我支持小华的观点,这楼不到 20 层. 32. (2013?十堰)某商场计划购进 A,B 两种新型节能台灯共 100 盏,这两种台灯的进价、 售价如表所示: 类型 价格 A型 B型 进价(元/盏) 30 50 售价(元/盏) 45 70

(1)若商场预计进货款为 3500 元,则这两种台灯各购进多少盏? (2)若商场规定 B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍,应怎样进货才能使商场 在销售完这批台灯时获利最多?此时利润为多少元? 解: (1)设商场应购进 A 型台灯 x 盏,则 B 型台灯为(100-x)盏, 根据题意得,30x+50(100-x)=3500, 解得 x=75, 所以,100-75=25, 答:应购进 A 型台灯 75 盏,B 型台灯 25 盏; (2)设商场销售完这批台灯可获利 y 元, 则 y=(45-30)x+(70-50) (100-x) , =15x+2000-20x, =-5x+2000, ∵B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍, ∴100-x≤3x, ∴x≥25, ∵k=-5<0, ∴x=25 时,y 取得最大值,为-5×25+2000=1875(元) 答:商场购进 A 型台灯 25 盏,B 型台灯 75 盏,销售完这批台灯时获利最多,此时利润为 1875 元. 33. (2013?衢州)“五?一”假期,某火车客运站旅客流量不断增大,旅客往往需要长时间排 队等候检票.经调查发现,在车站开始检票时,有 640 人排队检票.检票开始后,仍有旅 客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的.检票 时,每分钟候车室新增排队检票进站 16 人,每分钟每个检票口检票 14 人.已知检票的前 a 分钟只开放了两个检票口.某一天候车室排队等候检票的人数 y(人)与检票时间 x(分钟)

的关系如图所示. (1)求 a 的值. (2)求检票到第 20 分钟时,候车室排队等候检票的旅客人数. (3)若要在开始检票后 15 分钟内让所有排队的旅客都能检票进站,以便后来到站的旅客 随到随检,问检票一开始至少需要同时开放几个检票口? 解: (1)由图象知,640+16a-2×14a=520, ∴a=10; (2)设当 10≤x≤30 时,y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b,由题意,得

?10k ? b ? 520 , ? ?30k ? b ? 0
解得: ?

?k ? -26 , ?b ? 780

y=-26x+780,当 x=2 时, y=260, 即检票到第 20 分钟时,候车室排队等候检票的旅客有 260 人. (3)设需同时开放 n 个检票口,则由题意知 14n×15≥640+16×15 解得:n≥4

4 , 21

∵n 为整数, ∴n=5. 答:至少需要同时开放 5 个检票口. 34. (2013?南充)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,经过点 O 的 直线交 AB 于 E,交 CD 于 F. 求证:OE=OF.

证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,AB∥CD, ∴∠OAE=∠OCF, ∵在△OAE 和△OCF 中,

??AOE ? ?COF ? , ?OA ? OC ??OAE ? ?OCF ?
∴△OAE≌△OCF(ASA) ,

∴OE=OF. 35. (2013?营口)某中学为了解全校学生到校上学的方式,在全校随机抽取了若干名学生 进行问卷调查.问卷给出了五种上学方式供学生选择,每人只能选一项,且不能不选.同时 把调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整) .请根据图中提 供的信息解答下列问题: (1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生? (2)通过计算补全条形统计图; (3)在扇形统计图中,“公交车”部分所对应的圆心角是多少度? (4)若全校有 1600 名学生,估计该校乘坐私家车上学的学生约有多少名?

解: (1)24÷ 30%=80(名) , 答:这次调查一共抽取了 80 名学生; (2)80×20%=16(名) , 补全条形统计图,如图所示;

(3)根据题意得:360° ×

26 =117° , 80 10 =200(名) , 80

答:在扇形统计图中,“公交车”部分所对应的圆心角为 117° ; (4)根据题意得:1600×

答:估计该校乘坐私家车上学的学生约有 200 名. 36. (2013?南充)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60° ,P 为 BC 边上一点(不与 B,C 重合) ,过点 P 作∠APE=∠B,PE 交 CD 于 E. (1)求证:△APB∽△PEC; (2)若 CE=3,求 BP 的长.

(1)证明:∵等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD, ∴∠B=∠C=60° , ∵∠APC=∠B+∠BAP, 即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP, ∵∠APE=∠B, ∴∠BAP=∠EPC, ∴△APB∽△PEC; (2)解:过点 A 作 AF∥CD 交 BC 于点 F,

则四边形 ADCF 是平行四边形,△ABF 为等边三角形, ∴CF=AD=3,AB=BF=7-3=4, ∵△APB∽△PEC, ∴

BP AB ? , EC PC

设 BP=x,则 PC=7-x, ∵EC=3,AB=4, ∴

x 4 ? , 3 7?x

解得:x1=3,x2=4, 经检验:x1=3,x2=4 是原分式方程的解, ∴BP 的长为:3 或 4. 37. (2013?随州)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,∠BAC 的平行线交⊙O 与 点 D,过点 D 的切线分别交 AB、AC 的延长线与点 E、F. (1)求证:AF⊥EF. (2)小强同学通过探究发现:AF+CF=AB,请你帮忙小强同学证明这一结论. 证明: (1)如图,连接 DO,

∵EF 是⊙O 的切线, ∴OD⊥EF, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD,

? ? BD ? , ∴ CD
∴OD⊥BC, ∴BC∥EF, ∵AB 为直径, ∴∠ACB=90° , 即 AC⊥BC, ∴AF⊥EF; (2)连接 BD 并延长,交 AF 的延长线于点 H,连接 CD,

∵AB 是直径, ∴∠ADB=90° , 即 AD⊥BH, ∴∠ADB=∠ADH=90° , 在△ABD 和△ADH 中,

??HAD ? ?BAD ? , ? AD ? AD ??ADH ? ?ADB ?
∴△ABD≌△AHD(ASA) , ∴AH=AB, ∵EF 是切线, ∴∠CDF=∠CAD,∠HDF=∠EDB=∠BAD, ∴∠EDF=∠HDF, ∵DF⊥AF,DF 是公共边, ∴△CDF≌△HDF(ASA) , ∴FH=CF, ∴AF+CF=AF+FH=AH=AB. 即 AF+CF=AB。


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