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3.1.2用二分法求方程的近似解2011.11.15_图文



2012年10月31日星期三
新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xj ktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

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问题情境
?

有六个乒乓球,已知其中五个球质量相同,只有 一个球的质量偏重,而手边只有一架没有砝码的 托盘天平.你能利用这架天平找出这个质量偏重 的球吗? 问题1: 最少要称重几次才能找到这个质量偏重 答案:最少两次 的乒乓球?

问题情境
?

CCTV2“幸运52”片段 : 主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数码相机 的价格. 观众甲:2000!李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1500! 李咏:还是低了!···· ····

问题2:你知道这件商品的价格在什么范围内吗? 答案:1500至2000之间 问题3:若接下来让你猜的话,你会猜多少价格比 较合理呢?

提出问题: 1.如何求方程的解: x2-2x-1=0
X=

1?

2

(x=2.4142或-0.4142)

2.若不用求根公式能否求出近似解?

3.借助图像 y
y=x2-2x-1

x
-1 0 1 2 3

4.能否使解更精确?

y

y=x2-2x-1

2.25 2.375

2 0

2.4375 2.5

3
a ? b 2

区间[a,b]中点c=

x

“取区间中点”

方法探究
分析:如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . - (精确度0.05) +
2 3

f(2)<0,f(3)>0 ? 2<x1<3

2.25

+
2.5

2
2 2 2 2

+

3
3 3 3 3

f(2)<0,f(2.5)>0 ? 2<x1<2.5 f(2.25)<0,f(2.5)>0 ? 2.25<x1<2.5 f(2.375)<0,f(2.5)>0 ? 2.375<x1<2.5
f(2.375)<0,f(2.4375)>0? 2.375<x1<2.4375

2.5

- +
2.375 2.5

- +
2.375 2.4375

- +

2.40625 2.4375

f(2.40625)<0,f(2.4375)>0 ? 2.40625<x1<2.4375

精确度ε:|a-b|<ε
x1 ? 2 . 40625

x1 < ε

X=|2.4375-2.40625|=0.03125<0.05

二分法定义: 对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)· f(b)<0的 函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二,使区间的两个端点逐 步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法。

二分法的基本步骤
?

2.用二分法求一元方程f(x)=0的近似解的基本步骤: 第一步 确定初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0 第二步 求区间[a,b]两端点的平均值 第三步 计算f(c) 并判断:
?

c ?

1 2

(a ? b )

(1)如果f(c)=0,则c就是f(x)的零点,计算终止; (2)如果f(a)f(c)<0,则零点 x ? ( a , c ) ,否则零点
x ? (c, b ) 。
?

第四步 重复步骤2~3,直至所得区间的两端点差 的绝对值小于要求的精确值,则零点的近似值为所得 区间内的任一数。 一般取其中点为近似值。

自行探究:

例2.求函数f(x)=㏑x+2x-6的零点.(精确度为0.01)
x 1 f(x) -4 2 -1.3069 3 1.0986 4 3.3863 5 5.6094

y
0.2 0.1
0

1

2

3

-0.1 -0.2

x

求函数 f

( x ) ? ln x ? 2 x ? 6

在区间(2,3)内的零点.(精确度0.01)

列表: (a,b)
(2 , 3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.5625) (2.53125,2.546875) (2.53125,2.5390625)

中点x1
2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625

f(a) f(b) f(x1 )
+ -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010

-

+ +
+

-

+
+ + +

? a ? b ? 2.53125 ? 2.5390625 ? 0.00178125 ? 0.01
所以函数的零点的近似值为: 2.53125

练习:
1.下列函数图像与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标 的是( B )

A

B

C

D

练习
2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必 定在( )内 其中f(1.75)<0

D

(A) [-2,1] (C) [1,1.75]

(B) [2.5,4] (D) [1.75,2.5]

二分法的应用 例3. 从上海到旧金山的海底电缆有15个接点, 现在某接点发生故障,需及时修理,为了尽快 断定故障发生点,一般至多需要检查接点的个 数为几个?
答:至多检查3个接点.

二分法的应用
练习1.用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区 间[an,bn]上,当 a n ? b n ? m 时函数的近似零点与真 正零点的误差不超过( B )

A.m
真正的零点

B.m/2

C. 2m

D. m/4

取中点为近 似零点

m

二分法的应用
练习2. 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防 洪指挥部的电话线路发生了故障,这一条10km长的 线路,如何迅速查出故障所在? 答:用二分法 算一算:要把故障可能发生的范围缩小到50~100m 左右,即一两根电线杆附近,要检查多少次? 答:7次 第1次:10000÷2=5000 第5次:10000÷25=312.5 第2次:10000÷22=2500 第6次:10000÷26=156.25 第3次:10000÷23=1250 第7次:10000÷27=78.125 第4次:10000÷24=625

小结
1. 二分法是求函数零点近似解的一种计算方法.

2. 用二分法求函数零点的一般步骤:
(1)零点存在性定理,求出初始区间;

(2)进行计算,确定下一区间
(3)循环进行,达到精确要求 ⒊二分法渗透了极限和算法的思想.


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