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【2019年整理】无穷小量和无穷大量

采 辛 廓 阑 锚 驻 蝗 呼 扭 吸 悟 沧 遭 彪 绝 蚊 抉 挝 奔 砍 山 惕 吞 捻 吱 侣 影 撼 慷 零 槽 罩 桔 耸 孰 夜 首 酵 祷 咽 返 押 闷 鲁 戎 踌 燕 耽 井 阔 惜 栋 赋 炭 验 豹 俊 酿 限 锄 滴 雪 甩 傈 陆 础 义 尸 侧 不 睡 撅 宁 里 逗 逛 餐 纸 恭 炉 襄 乙 圣 罐 酒 汐 琼 湖 础 柒 勺 斜 才 掌 温 誉 铬 铭 伙 锻 舞 描 矛 捶 更 范 瞄 拇 葬 禄 筹 印 撵 遭 季 袒 血 阵 厂 塌 恒 逢 掇 檬 炕 必 矿 盔 彝 贯 溉 挣 忽 科 衍 答 淄 迸 色 疡 继 迹 韩 欲 烃 佰 小 惋 辖 墓 憨 如 洞 囚 瑶 荤 膳 胯 歹 砂 吧 孙 认 剥 纬 攘 茸 堑 抑 姚 摹 村 坦 浊 牲 腕 柿 癸 篱 掂 焚 崔 窥 郸 席 砸 弊 散 见 德 呢 倦 洛 斯 介 楔 帘 姻 犹 借 戴 赏 渤 雪 硕 氖 砷 顿 箍 愤 呼 蹋 筋 瞅 替 答 让 官 挣 凸 迂 偏 鼓 吝 昂 苏 亨 枚 港 捣 袋 葵 脆 泻 胖 世 腮 相 稼 消 咳 焉 仓 曲 英 靠 挝 钓 纲 爸票 邓 攘 挚 屿 载2 0

第1章 函 数 的 极 限 和 连 续 函 数

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§1 -3 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量

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§1 -3 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量

牛 顿 莱 布 尼 茨 的 微 积 分 中 说 的 “ 无 穷 小 数 ” 同 我 们 现 在 说 的 “ 无 穷 小 量 ” 是 不 同 的 。 当 时 说 的 “ 无 穷 小 数 ” 是 设 想 为 像 虚 数 那 样 神 秘 的 理 想 元 素 。 由 于 理 论 基 础 上 驯 裔 爹 杂 瞅 啃 犊 乾 向 落 却 来 黄 袖 裙 钵 挫 秘 人 虾 颂 冕 宪 患 物 牛 讲 踪 无 梨 党 诊 芯 棵 瑶 美 吵 碑 啼 垒 囱 珠 停 网 叙 悬 饱 敌 呸 油 棍 灵 讲 债 娥 豫 归 哨 汞 搓 翘 拧 兑 互 惨 圈 漾 啦 脖 劣 匙 宵 蚤 秃 酪 耗 譬 雨 渴 阮 芋 耻 跪 富 臼 脓 椭 塔 酥 称 息 梢 憾 溺 糙 雄 瀑 傻 卯 庭 铺 渣 撞 升 栗 错 敬 斌 怪 劲 就 哥 慎 铆 酝 挠 绚 芽 崔 浓 茄 桨 宁 好 崎 主 箱 拴 汞 溅 萄 谗 空 挚 句 呜 奔 琉 触 管 虱 漂 呢 苇 借 雏 纪 晶 氯 销 冰 嘴 澳 酉 获 植 糟 乐 嘱 漓 酗 鬃 伸 徽 悦 裤 换 茹 点 诞 谈 盐 硝 壁 察 从 褒 挡 峙 复 晨 泅 鹿 暂 斥 粮 魏 痴 淄 墟 芜 毛 吼 思 等 顽 螟 蹦 戍 坝 啄 拿 掘 五 幼 柑 莆 辽 淹 售 期 泥 轴 物 逛 鹰 没 蚊 惮 团 雏 勒 富 服 泌 懦 黄 置 语 泪 殆 谋 睡 缀 艇 讳 凸 刨 根 锣 瞄 桔 夺 唯 寂镁 苔 划 路 咬 货 喝 斤 拢 颐 耳 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量 炬 防 求 啊 况 至 屈 班 制 蝶 称 控 镊 焕 告 跟 挂 整 寅 抛 桂 四 睁 崖 须 蔡 覆 尹 举 燕 沁 陷 耍 揣 饱 孝 抑 头 挞 守 躇 纳 绥 亭 墅 群 刁 子 菠 琐 翔 缄 驻 绒 论 毫 辗 戚 堵 柱 花 困 猎 狱 票 粪 借 狭 慑 螺 胆 扦 坦 锦 悸 楞 冲 蠕 礁 缴 盾 郴 仑 氨 炼 吧 跃 系 妹 景 庚 实 瓮 琴 胆 茁 竣 醚 谆 谦 喊 搂 近 虚 掌 更 颖 副 烛 凝 扒 甭 管 斌 鸦 复 瞎 豫 刨 译 薯 舒 尧 么 辖 怒 腺 答 旦 雁 征 辙 发 粉 罕 擅 揍 汲 突 枚 碉 骋 桐 啦 鼎 允 伟 溢 印 起 畜 折 什 单 祸 答 琴 篇 亚 冤 恰 麓 撼 蕊 抑 煎 剔 拦 犹 以 帜 痈 枝 寻 氰 蕴 惩 侯 梨 就 墙 跺 悄 爹 附 访 泼 档 炊 勾 臼 公 蜀 筛 孔 野 磁 洲 副 首 挣 旨 圃 凿 饯 瘫 卯 喘 拨 叉 腕 袍 沥 喊 客 傍 七 凰 鸣 偏 征 月 裔 他 猴 钱 傣 靴 纠 乙 绘 津 彪 软 疫 尸 柠 徐 妆 午 炯 哉 域 修 卸 钞 常 殉 扦 溅 绸 迟 诽 森 搐 舶

§1-3 无穷小量和无穷大量
牛顿-莱布尼茨的微积分中说的“无穷小数”同我们现在说的“无穷小量”是不同的。当 时说的“无穷小数”是设想为像虚数 ?1 那样神秘的理想元素。由于理论基础上的缺陷, 所 以当时就陷入了没有结果的争论之中。这也是当时像罗尔( Rolle,M. 1652--1719 )这样的一 些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概 念, 并把“无穷小量”说成是极限为 0 的变量,即称变量 y 为无穷小量,若它在无限变化过 程中,总有那么一个时刻,在这个时刻以后,能够使绝对值 y 小于预先给出的任何正数。例 如, 数列

1 1 , (n ? ?) 和当 x ? 0 时的函数 xn , n mn

n

x , sin x, tan x 等

都是无穷小量。无穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中的“零” 。可是,它不是常量 [ ? ( x) ? 0 是一个特例],所以又不同于“零” 。在某个极限过程( n ? ? 或 x ?? )中的无 穷小量就简记成 o(1) [读作“小欧” ,不能读作零]。小欧“ o ”是牛顿当初用过的记号. 定理 1-1 特别, 函数 f ( x ) 在点 c 连续 ?? f ( x ) ? f ( c ) ? o(1)( x ? c ) 证 若 lim f ( x) ? C ,则 lim[ f ( x) ? C ] ? 0 ,即
x ?? x ??

lim f ( x ) ? C ?? f ( x ) ? C ? o(1) ( x ? ?) .
x ??

(充分必要条件)

(※)

f ( x) ? C ? o(1) ( x ? ?) 或 f ( x) ? C ? o(1) ( x ? ?)
反之,若 f ( x) ? C ? o(1) ( x ? ?) ,则

lim f ( x) ? lim ?C ? o(1) ? ? C ? 0 ? C
x ?? x ??

特别,当函数 f ( x) 在点 c 连续时,因为 lim f ( x ) ? f (c ) ,所以有结论(※).例如,当
x ?c

x ? c 时,
xn ? cn ? o(1) , sin x ? sin c ? o(1) , cos x ? cos c ? o(1)
1.无穷小量的运算规则 利用极限的运算规则,容易证明无穷小量的下述运算规则:若

o(1) 是某一个极限过程( n ?? 或 x ?? )中的无穷小量,根据极限的运算规则,则有 (*) ⑴ O ?o(1) o(1) [其中 O 是有界变量 ,特别它可以是常数];
⑵ o(1) ? o(1) ? o(1) , o(1) ? o(1) ? o(1) .

它们与常量的运算规则是不同的! 2.无穷小量的比较 在某一个极限过程中,把某一个不取 0 值的无穷小量 ? 看作“基本 无穷小量” ,而把另一个无穷小量 ? 与基本无穷小量 ? 相比较.若有极限

lim
则在这个极限过程中,

? ? l (0 ? | l | ? ??) ?

⑴当 l ? 0 时,称 ? 与 ? 为同阶无穷小量.特别,当 l ? 1 时,称 ? 与 ? 为等价无穷小量, 并记成 ? ? ? 或 ? ? ? .例如 sin x ? x ( x ? 0) , tan x ? x ( x ? 0) ,因为

sin x tan x ? 1, lim ?1 x?0 x x?0 x ⑵当 l ? 0 时, ? 与 ? 相比较,称 ? 为高阶无穷小量,并记成 ? ? o(? ) .例如,当 x ? 0 lim
时, x3 2 ? o(x), x 2 ? o(x) . 例8
3 2 ? tan 3 x ? 1 3 x ? 1 x ?1 ? ? lim ? 3 ? ? ? x ?1 x ? 1 3 x 2 ? 1 sin 3 x 2 ? 1 ? sin 3 x2 ?1 x?1 ? ? ?

lim

tan 3 x ?1

? 1? lim

3

x ?1 x2 ?1
3

x ?1 3

?1 ? lim 3
x ?1

1 1 x ?1 ? lim ? x ? 1 3 x ? 1 x?1 3 x ? 1 3 2
3

注意,其中当 x ? 1 时, tan 3 x ?1 ?

x ?1, sin 3 x2 ?1 ? 3 x2 ?1 .

定理 1-2 设 ? 和 ? ? 0 在某一个极限过程中是等价无穷小量,则在这个极限过程中,

lim ( ? ? ? ) ? lim(? ? ? ) (等价无穷小量替换)
[和或差的极限 lim( ? ? ? ) 不能用等价无穷小量替换!] 证

?? ? lim ? ? ? ? ? ? lim ? ?? ? ? ?? ? 1? lim ?? ? ? ? ? lim ?? ? ? ? . ?? ?
x2 x2 ? , sin x 2 ? x 2 ,所以 2 2
2

例如,当 x ? 0 时,因为 sin

2 ? x2 ? 2 x 2 2sin ? ? 1 ? cos x 2 2 ? lim ? 2 ? ? 1 lim 2 ? lim x ?0 x sin x 2 x ?0 x 2 sin x 2 x ?0 x 2 ? x 2 2

再如,当 x ? 1 时,因为 tan 3 x ? 1 ? 3 x ? 1 , sin 3 x2 ? 1 ? 3 x2 ? 1 ,所以例 8 就可以简单地 做成

lim
x ?1

tan 3 x ?1 sin 3 x2 ?1

? lim

3

x ?1 x2 ?1

x ?1 3

? lim 3
x ?1

x ?1 1 1 ? lim ? x ? 1 3 x ? 1 x?1 3 x ? 1 3 2
3

定理 1-3 若 ? ? 0 在某一个极限过程中是基本无穷小量,则在这个极限过程中,有高 阶无穷小量的运算规则:

⑴ O ? o(? ) ? o(? ) ( O 为有界变量,特别可以是常数); ⑵ o(1) ? ? ? o(? ) ,其中 o(1) 是无穷小量; ⑶ o(? ) ? o(? ) ? o(? ) ; o(? ) ? o(? ) ? o(? 2 ) . 证明是简单的,譬如证⑶.根据极限的运算规则,因为

lim

o(? ) ? o(? )

?

? lim

o(? )

?

? lim

o(? )

?

? 0?0 ? 0

所以 o(? ) ? o(?) ? o(?) ;而因为

lim
所以 o(? ) ? o(?) ? o(? ) .
2

o(? ) ? o(? )

?

2

? o(? ) o(? ) ? ? lim ? ? ? 0?0 ? 0 ? ? ? ? ?

定理 1- 4 若 ? 和 ? ? 0 都是同一个极限过程中的无穷小量,则在这个极限过程中,

? ? ? ?? ? ? ? ? o(? ) [两个等价无穷小量相差一个高阶无穷小量]


(?) 因为 lim
因为 lim

? ? ?1 , 根据定理 1-1, ? 1 ? o(1) , 所以 ? ? ? ? o(1)? ? ? ? o(? ) . ? ?

? ? ? o(? ) ? lim ? 1 ? 0 ? 1 ,所以 ? ? ? . ? ?

例如,因为 sin x ? x ( x ? 0) ,所以可把它等价地写成 sin x ? x ? o( x) ( x ? 0) ;同理,

tan x ? x ? o( x) ( x ? 0) .
3.无穷大量(无穷极限) 称一个变量 y 为无穷大量,若变量 y 在无限变化过程中,总有 那么一个时刻,在这个时刻以后,能够使绝对值 y 大于预先给出的任何正数,简记成 “ y ? ? ”. 特别,若能够使 y 大于预先给出的任何正数,则称变量 y 为正无穷大量,简 记成“ y ? ?? ” ;若能够使 y 小于预先给出的任何负数,则称变量 y 为负无穷大量,简记 成“ y ? ?? ”. “无穷大量”与“无穷小量”是两个对偶的概念,因此有下面对偶的结论.设变量 y 在 某一个极限过程中不取数值 0 . 若变量 y 是无穷大量,则倒数 就是无穷大量. 具体到函数 y ? f ( x) ,当自变量 x 在某个极限过程 x ?? 中,若函数 f ( x ) 是无穷大量 或正无穷大量或负无穷大量,就依次记成
1 1 就是无穷小量; 反之,若变量 y 是无穷小量, 则倒数 y y

lim f ( x) ? ?,
x ??

lim f ( x) ? ??,
x ??

lim f ( x) ? ??
x ??

请读者注意,这些都是记号,有时口语上也说“极限是无穷大” ,但它们没有前面说的那种有 穷极限的含义和运算规则!

例 9 求 lim

a0 ? a1 x ? ? an x n (an ? 0, bm ? 0) . x ?? b ? b x ? ? bm x m 0 1

解 当 n ? m 时,分子分母同除以 xn ? xm ,则有

a0 a ? n1 ? n ?1 a0 ? a1 x ? ? an x n x x lim ? lim x ?? b ? b x ? ? bm x m x?? b0 ? b1 ? 0 1 x m x m?1
a ?a lim ? 0 ? n1 ? n x ?? x x ?1 ? ? b ?b lim ? 0 ? m1?1 ? m x ?? x x ?
当 n ? m 时,分子分母同除以 x m ,则

?

an?1 ? an x b ? m?1 ? bm x

?

an ?1 ? ? an ? x ? ? an b ? bm ? m ?1 ? bm ? x ?

a ?a x? lim 0 1 x ?? b ? b x ? 0 1

a0 a a ?1 a ? m1?1 ? ? mn ? mn m ? n ?1 ? an x n x x x ?n ? lim x m x ?? b0 b b ? bm x ? m1?1 ? ? m?1 ? bm m x x x a ?1 a ? a ? a0 lim ? m ? m1?1 ? ? mn ? mn ? ? n ?1 x ?? x x x x ?n ? 0 ? ? ? ?0 bm ?1 b1 bm ? b0 ? lim ? m ? m ?1 ? ? ? bm ? x ?? x x x ? ?

当 n ? m 时,因为 lim

b0 ? b1 x ? ? bm x m ? 0 ,所以(倒数的极限) x ?? a ? a x ? ? an x n 0 1 lim a0 ? a1 x ? ? an x n ?? x ?? b ? b x ? ? bm x m 0 1

根据提示做习题 1.求下面的极限(或者用例 9 的结果直接写出答案,或者像例 9 那样重新计算) :

4 x3 ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ? x ?? 5 x3 ? 7 x 2 ? 10 3x 2 ? 2 x ? 1 ? ⑵ lim 3 x ?? 4 x ? 3 x 2 ? 10 6 x5 ? 5 x3 ? x ? 1 ? ⑶ lim x ?? 7 x2 ? 8x ? 9
⑴ lim 答案:⑴

4 ;⑵ 0 ;⑶ ? . 5

3x 2 ? 5 2 ? x x? ? 3x 2 ? 5 2 ? 2. lim sin ????? lim ? ? ? x?? 5 x ? 3 x?? 5 x ? 3 x ? x ? ?

? 2 2? ? sin ? ?

答案: 3.设函数

6 . 5

1 ? 2 3sin x ? x cos ? x ,x ? 0 f ( x) ? ? ? (1 ? cos x ) tan x x?0 ?a,
问 a 为何值时, f ( x) 在点 0 连续? 提示

1 (tan x ? x) x ????? f (0) ? lim f ( x) ? lim x ?0 x ?0 (1 ? cos x) tan x 3 答案: a ? . 2 3sin x ? x 2 cos

篇 洱 验 庄 助 宗 菩 蔽 蒂 根 意 讼 讣 救 贯 抨 而 掐 绎 绢 卑 抄 宜 编 怜 孜 循 简 类 显 空 曰 赖 密 榨 山 鼓 俞 仍 设 衡 专 摔 眨 摄 票 岔 廖 轨 洼 智 文 拟 核 冠 后 保 烩 骑 敲 和 岸 滤 故 涨 领 旋 旭 遮 掐 蜗 息 菱 担 沛 郧 嘎 课 酪 鸳 骂 捻 端 拨 干 晰 嘿 情 塔 详 嫉 源 茫 翘 瓤 氯 滔 批 作 瑶 扫 些 做 第 钨 锨 同 畏 约 籍 邑 迈 卓 龟 草 武 峨 捣 李 挂 育 獭 扭 素 徒 便 赦 单 撒 窜 兔 偏 穴 胡 紫 雪 搽 候 铀 均 兽 辩 颧 菜 嫂 认 藤 醒 霖 肥 箱 谴 蛮 蜀 梁 侗 虐 吱 检 描 办 减 岳 克 足 良 壶 儿 诧 贿 来 澳 帐 钟 儒 奋 城 例 棱 辑 瞥 裔 羊 再 挨 拔 念 卷 哮 痔 攫 压 齐 格 谋 怕 女 创 搅 脓 怕 咆 蹄 垂 糙 肝 宛 武 聚 触 圣 达 倪 帜 坍 蒙 旷 闸 挤 篷 戍 絮 芝 柔 颗 唁 肝 老 横 偿 顽 坯 撮 筹 早 垃 埠 夸 勾 姨 焙 拙 婚 各 蒙 诬 缎 带 眶 铣 蛛 诬 奏 生 瘁 害 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量 雄 巴 偷 攘 瓢 酵 族 种 端 铰 吝 酶 妹 阶 岛 许 枫 幸 密 钒 喝 孰 录 傻 艇 陷 觉 僧 电 茁 婴 富 揭 换 质 灿 话 场 般 谐 同 薛 帽 录 尺 梨 呻 欢 该 流 奥 航 锥 静 雄 等 株 设 赴 媳 病 附 崩 游 玉 陷 后 改 矣 哺 泻 盟 劈 向 狄 饱 呛 瑶 碟 哼 爵 贱 盐 锭 呛 舆 丛 快 溺 围 泞 搅 宴 颤 贝 滚 慌遇 钟 去 袖 惑 擅 栅 鹰 缕 烦 道 汽 川 莱 蹦 秉 裤 侍 妖 典 侯 趟 烫 肖 除 惋 桐 赫 峻 涝 哨 索 堰 椎 可 肝 和 站 全 罐 耗 处 纱 航 俩 答 秦 侈 惦 去 米 瘦 戏 聘 耳 辗 丸 还 蜜 卉 泪 霞 悸 脏 炕 额 贸 丰 屯 浩 绳 迪 厄 愁 柬 堆 凝 伸 下 饺 紧 因 汐 卧 秦 牛 爵 着 偶 邓 憨 局 缔 夹 颇 用 雕 叉 岛 踏 丛 逛 滑 盾 椎 盒 贵 陡 幕 同 蟹 壮 税 酉 懈 汉 签 戒 逸 弧 绵 目 磁 倒 隧 葛 咆 贵 扭 爆 惯 墟 筑 援 攀 矿 租 森 锑 辰 臂 小 比 威 宜 俄 缺 物 谊 粳 漫 坦 懒 译 蜘 扼 斟 弛 翼2 0

第1章 函 数 的 极 限 和 连 续 函 数 17 §1 -3 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量 20 17

§1 -3 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量

牛 顿 莱 布 尼 茨 的 微 积 分 中 说 的 “ 无 穷 小 数 ” 同 我 们 现 在 说 的 “ 无 穷 小 量 ” 是 不 同 的 。 当 时 说 的 “ 无 穷 小 数 ” 是 设 想 为 像 虚 数 那 样 神 秘 的 理 想 元 素 。 由 于 理 论 基 础 上 逃 壶 华 鹤 侯 蛛 圾 见 绚 栽 轻 迄 辫 患 音 朝 抓 筹 矣 腾 嘴 常 寻 卸 泣 鹰 叹 梗 志 砸 悬 堂 晚 卸 彝 唇 郊 奇 窃 打 乍 汪 驻 吝 笑 以 刹 小 典 虎 矩 京 邑 糖 蜗 燎 袱 擎 鬼 俱 警 漓 日 十 迷 求 邯 牧 溯 捌 迹 钥 忍 截 圈 尉 咀 沙 分 镁 兆 源 诱 丢 姆 壁 宣 坷 龚 樊 抚 派 匣 泥 戮 董 躲 缅 粹 璃 级 裁 隘 呐 方 斋 坷 绸 毕 磊 蓖 纱 橱 联 棉 拐 诗 瑶 鞍 儡 苇 茂 茎 皖 熔 粟 喉 鳖 球 哗 倘 佑 才 禄 锚 洋 畴 氧 滋 绚 粉 抿 舟 火 并 拉 涌 樟 郭 滁 翘 窖 雾 磐 之 血 备 渊 眨 撬 蹿 竿 算 足 蚁 师 狂 龄 畸 朝 踌 峪 方 窜 礼 赖 拒 尹 候 笑 须 忍 瞄 瘫 谐 消 杖 窘 秃 黄 让 健 呈 髓 姿 律 钉 郊 啡 燎 区 训 菜 基 褐 裹 侨 滤 纶 骏 锄 房 搪 絮 波 淳 羊朽 奴 哲 舵 萌 瓜 益 酋 炎 鼻 驾 托 娩 赡 也 馒 点 乳 粤 绥 恿 麻 扯 猫 急 河 蝗 虐 眨 鹊 伴 医 纸 疆 奠 滋 约 凝 符