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第一讲 1.1 集合的概念与运算


2010年高三第一轮复习 2010年高三第一轮复习 (一)

1.1 集合的概念与运算
2010年10月28日星期 年 月 日星期 日星期W









理解集合、子集、补集、交集、并集的概念, 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念, 了解空集与全集的含义,了解属于、包含、 了解空集与全集的含义,了解属于、包含、相 等关系的意义,掌握有关的术语和符号, 等关系的意义,掌握有关的术语和符号,并会 用它们正确表示一些简单的集合. 用它们正确表示一些简单的集合

知识点

知识要点归纳

1、集合的基本概念: 、集合的基本概念 (1)、某些指定的对象集在一起就成为一个集合 简称集 、某些指定的对象集在一起就成为一个集合 简称集. 集合.简称集 集合中的每个对象叫这个集合的元素. 集合中的每个对象叫这个集合的元素 集合中元素的性质: ①确定性 ②互异性 ③无序性 确定性;②互异性;③ 集合中元素的性质 (2)、集合的三种表示法: 、集合的三种表示法 描述法; 图示法(韦恩图 韦恩图). ①列举法; ②描述法 ③图示法 韦恩图 列举法 属于;② (3)、集合中元素与集合的关系分为: ①属于 ②不属于 、集合中元素与集合的关系分为 分别用: 分别用

∈和?

(4)、集合的分类:①有限集 ②无限集 ③空集 、集合的分类 ①有限集;②无限集; 空集.

知识点

知识要点归纳

2、集合之间的关系: 、集合之间的关系 (1)、若集合A中的任何一个元素都是集合 的元素 则 、若集合 中的任何一个元素都是集合 的元素,则 中的任何一个元素都是集合B的元素 称集合A是集合 是集合B的子集,记作 记作: 称集合 是集合 的子集 记作 A? B (2)、由所有属于A且属于 的元素组成的集合 叫做 、由所有属于 且属于 的元素组成的集合, 且属于B的元素组成的集合 A与B的交集 记作 记作: 与 的交集,记作 A∩ B (3)、由所有属于A或属于 的元素组成的集合 叫做 、由所有属于 或属于 的元素组成的集合,叫做 或属于B的元素组成的集合 叫做A 记作: 与B的并集 记作 的并集,记作 A∪ B (4)、若已知全集U,集合 、若已知全集 集合 集合A

? U,则: 则
CU A ={x | x ∈U且x ? A}

知识点

知识要点归纳

3、集合中常用运算性质: 、集合中常用运算性质 (1)若A ? B, B ? A, 则A = B;
若A ? B, B ? C , 则A ? C. (2)Φ ? A, 若A ≠ Φ, 则Φ ? A.


(3) A ∩ A = A, A ∩ Φ = Φ, A ∩ B = B ∩ A. (4) A ∪ A = A, A ∪ Φ = A, A ∪ B = B ∪ A. (5) A ∩ CU A = Φ, A ∪ CU A = U ; (6) A ∩ B ? A ? A ∪ B; (7) CU ( A ∩ B) = (CU A) ∪ (CU B)
CU ( A ∪ B) = (CU A) ∩ (CU B) (德 ? 摩根律) (8)若A ? B, 则A ∩ B = A, A ∪ B = B

知识要点归纳
易错点 0 集合中元素的互异性; 1、集合中元素的互异性; 如1 : 若a ∈ {1, a 2 }, 则a = ____ 2.区分数集与点集; 2.区分数集与点集; 区分数集与点集
如2 : 下列集合中恰有2个元素的集合是( B ) A.{x 2 ? x = 0} B.{ y | y 2 ? y = 0} C.{x | y = x 2 ? x} D.{ y | y = x 2 ? x}

3.区分Φ,{Φ},0,{0} 3.区分Φ,{Φ},0,{0} 区分 4.区别“包含” 包含于” 4.区别“包含”、“包含于”、“真包 区别 含”、 如3 :已知A = {0,1}, B = {x x ? A}, 则A与”等; A 改3不包含”、“B = {x || x ∈“},则A与B的关系是(( )) :已知A = { 属于” 不属于” “不包含” 0,1}, 属于”、 A 不属于 B的关系是 c
A. A = B B. A ? B C. A ∈ B D. A ? B A. A = B B. A ? B C. A ∈ B D. A ? B

知识要点归纳
5.小心空集; 5.小心空集; 小心空集

如4 : 若A = {3,5}, B = {x | ax ? 1 = 0}, 则a

1 1 = 3或5 或0 ____

如5 : 设M = {x | f ( x) = 0}, N = {x | g ( x) = 0}, 则P = {x | f ( x) ? g ( x) = 0}为( C ) D A.M B.N C.M ∪ N D.以上都不对

思 想· 方 法· 技 巧
1、数形结合思想: 、数形结合思想
例1. (2007 山东)设全集U = {1, 2,3, 4,5}, 若S , P满足 S ∩ P = {2}, (CU S ) ∩ P = {4}, (CU S ) ∩ (CU P ) = {1,5}, 则(B ) A.3 ∈ S ,3 ∈ P B.3 ∈ S ,3 ? P C.3 ? S ,3 ∈ P D.3 ? S ,3 ? P

分类讨论思想: 2、分类讨论思想:
b 例2. 含三个实数的集合可表示为{a, ,1}, 也可表 a 示为{a 2 , a + b, 0}, 则a 2010 + b 20010的值为( B ) A.0 B.1 C. ? 1 D. ± 1

思 想· 方 法· 技 巧
3、解题技巧: 、解题技巧 (1)、利用“韦恩图”解题: 、利用“韦恩图 解题

例3. 若A, B, C为三个集合, A ∪ B = B ∩ C , 则一定有( A ) A. A ? C B. C ? A C. A ≠ C D. A = Φ
(2)、子集个数问题: 、子集个数问题

例4. 已知集合A = {0, 2,3}, B = {x | x = ab, a, b ∈ A}, 且a ≠ b, 则B的子集的个数是( A ) A.4 B.8 C.16 D.15

思 想· 方 法· 技 巧
例5. (2007 湖南)设集合M = {1, 2,3, 4,5, 6}, S1 , S2 , ???Sk 都是M 的两个元素的子集, 且满足 : 对任意的Si = {ai , bi }, S j = {a j , b j }(i ≠ j , i, j ∈ {1, 2, ???k}), 都有 a j bj ai bi min( , ) ≠ min( , )(min{x, y}表示两个数x, y中的较 bi ai bj a j 小者), 则k的最大值是(B ) A.10 B.11 C.12 D.13













已知全集U=R,则正确表示集合 例1. (2009 广东 文)已知全集 ,
M = {?1, 0,1}和 N = { x | x 2 + x = 0}关系的韦恩(Venn)图是 关系的韦恩( )

答案: 答案 B 本题考查了集合与集合的关系、集合的图形表示法 本题考查了集合与集合的关系、集合的图形表示法.













山东)满足M 例2、(2008 山东)满足 ? { a1, a2, a3, a4 } 的集合M 且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 的个数是( B) 的集合 的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

本题考查了子集的概念, 本题考查了子集的概念,集合的交集运算和分类 讨论的数学思想. 讨论的数学思想.













集合A={0, 2, a}, B={1, a2} , 若A ∪ B 例3.(2009 山东 理) 集合 ={0, 1, 2, 4, 16} ,则a的值为 的值为( ) 则 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 解析: ∵ A={0, 2, a}, B={1, a2} , 解析 A ∪ B={0, 1, 2, 4, 16} ,
?a 2 = 16 ∴? ? a=4

∴a=4, 故选D. 故选

本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相 本题考查了集合的并集运算 并用观察法得到相 对应的元素,从而求得答案 从而求得答案. 对应的元素 从而求得答案













全国Ⅰ 设集合A={ , , , }, },B= 例4.(2009 全国Ⅰ理)设集合 {4,5,7,9}, {3,4,7,8,9},全集U=A∪B, 则集合 ?u ( A I B) , , , , },全集 ∪ },全集

中的元素共有( 中的元素共有( A ) (A)3个 ) 个 (B)4个 ) 个

(C)5个 ) 个

(D)6个 ) 个

解析: 解析: A ∪ B = {3, 4,5, 7,8,9}

A ∩ B = {4, 7,9}
故选A. 故选

∴ ?U ( A ∩ B) = {3,5,8}

也可用摩根律: U 也可用摩根律: 痧( A ∩ B) = ( U A) ∪ ( B ) U 本题考查了集合的综合运算. 本题考查了集合的综合运算.


例5.(2009

题 解 析 四川) 四川 设集合 S = { x | x < 5} , T = { x | x





2

+ 4 x ? 21 < 0} ,

则 S ∩T = A.{ x | ?7 < x < ?5} C. { x | ?5 < x < 3} D. { x | ?7 < x < 5} B. { x | 3 < x < 5}

解析: 解析:由 S = {x | ?5 < x < 5},

T = {x | ?7 < x < 3}
故 S ∩ T = {x | ?5 < x < 3} 故选C. 故选 . 本题考查了集合运算与不等式的联系

评析: 评析:当△>0时,结合一元二次方程根 时 典 与系数的关系,减少了对集合 的分类 型 例 题 解 析 与系数的关系,减少了对集合A的分类 -1, 0, 1, 2 }, A={x|x2-x+a= 讨论,从而简化了解题过程. , 例6、 设U={讨论,从而简化了解题过程 0},A U, 、 = = , 的值. 求a的值. 的值 中的元素个数可能为0、 、 , 解:A中的元素个数可能为 、1、2, 中的元素个数可能为 满足A 若△=1-4a<0,A=Φ 满足 ,
1 1 }不满足 若△=1-4a=0,A={ , 不满足A U,∴a ≠ , 4 2 中有两个元素x 若△=1-4a>0,A中有两个元素 1,x2, 有x1+x2=1. , 中有两个元素 1 U,即a > , 4

∵A

U, 则A={0,1} 或 A={-1,2} , ,

的两根, 若A ={0, 1},则0, 1是方程 x2-x+a=0的两根, ∴a=0 , 是方程 = 的两根 的两根, = 的两根 若A ={-1, 2},则-1, 2是方程 x2-x+a=0的两根, ∴a=-2 , 是方程 1 综上可知: 综上可知: a=0 或 a= -2 或 a > 4









是一个数集, 例7:(2008 福建 理)设P是一个数集,且至少含有两 : 是一个数集 a 个数,若对任意a,b∈ 都有 都有a+b,a-b,ab, 个数,若对任意 ∈P,都有 ∈P(除数 除数 b b≠0),则称 是一个数域 例如有理数集 是数域 数 ),则称 是一个数域. 是数域;数 ),则称P是一个数域 例如有理数集Q是数域 也是数域,有下列命题 有下列命题: 集 F = {a + b 2 | a, b ∈ Q} 也是数域 有下列命题 ①整数集是数域; ②若有理数集Q 整数集是数域 若有理数集 M,则数集 必 则数集M必 则数集 为数域; 数域必为无限集; 存在无数多个数域. 为数域 ③数域必为无限集 ④存在无数多个数域 其中正确命题的序号是---------.(把你认为正确的命题 其中正确命题的序号是 把你认为正确的命题 的序号都填上) 的序号都填上

a 1 解析:对于整数集Z,a=1,b=2时 解析:对于整数集 M的集合 时, ∪{ 2 },1+ 2 ? M, = 对于满足Q 的集合M=Q∪ ? Z 对于满足 的集合 b 2 整数集不是数域, 故整数集不是数域 ①错.
M不是数域 ②错. 不是数域,② 不是数域 容易验证③④均正确. 容易验证③④均正确. ③④均正确









是整数集的一个非空子集, 例8.(2009 北京 文)设A是整数集的一个非空子集,对于 是整数集的一个非空子集
k ∈ A,如果 k ? 1? A且 k + 1? A,那么 是A的一个“孤立元” 那么k是 的一个 孤立元” 的一个“

给定S={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 },由S的3个元素构成的所 给定 , 的 个元素构成的所 有集合中,不含“孤立元” 有集合中,不含“孤立元”的集合共有 6 个. 解析:什么是“孤立元” 依题意可知, 解析:什么是“孤立元”?依题意可知,必须是没 有与k相邻的元素 因而无“孤立元” 相邻的元素, 有与 相邻的元素,因而无“孤立元”是指在集合 中有与k相邻的元素 故所求的集合是: 相邻的元素.故所求的集合是 中有与 相邻的元素 故所求的集合是:{1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5}, {4, 5. 6}, {5, 6, 7}, {6, 7, 8}共6个. 共 个









高一(8)共有 名同学参加比赛,有 例9、开运动会时 高一 共有 名同学参加比赛 有15 、开运动会时,高一 共有28名同学参加比赛 人参加游泳,有 人参加田径 人参加田径,有 人参加球类 人参加球类, 同时 人参加游泳 有8人参加田径 有14人参加球类 参加游泳和田径的有3人 同时参加游泳和球类的有3人 同时参加游泳和球类的有 参加游泳和田径的有 人,同时参加游泳和球类的有 人, 没有人同时参加三项比赛,问同时参加田径和球类比赛 没有人同时参加三项比赛 问同时参加田径和球类比赛 的有多少人?只参加游泳一项的有多少人 只参加游泳一项的有多少人? 的有多少人 只参加游泳一项的有多少人
游泳 田径 分析:用图示法来表示 分析: 解: 9 3 8-3-x 设参加田径和球类比赛的有x人 设参加田径和球类比赛的有 人 3 x 9+3+8-3-x+3+x+14-x-3=28 + + 解得: 解得:x=3 14-x-3 参加田径和球类比赛的有3人 答:参加田径和球类比赛的有 人, 球类 只参加游泳一项的有9人 只参加游泳一项的有 人





1.(2009 江西 理)已知全集 已知全集U=A∪B中有 个元素, 中有m个元素 ∪ 中有 个元素,

(痧A) ∪ ( U B ) 中有 个元素.若A∩B非空,则A∩B 中有n个元素 个元素. 非空, 非空 U
的元素个数为 A.mn B. m+n . 解析: 解析 因为 A ∩ B = 痧[( U C. n-m D. m-n

U

A) ∪ ( B )] U

所以A∩B共有 共有m-n个元素 故选 个元素, 所以 共有 个元素 故选D





2.(2009 湖南 理)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动, 某班共 人 其中 人喜爱篮球运动, 人喜爱篮球运动 10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则 人喜爱兵乓球运动, 人对这两项运动都不喜爱 人对这两项运动都不喜爱, 人喜爱兵乓球运动 喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___ 喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 解析: 设两者都喜欢的人数为x人 解析 设两者都喜欢的人数为 人,则只喜爱篮球的有 (15-x)人,只喜爱乒乓球的有 人 只喜爱乒乓球的有(10-x)人,由此可得 人

(15 ? x ) + (10 ? x ) + x + 8 = 30
解得x=3,所以15-x=12 ,即所求人数为 人. ,所以 即所求人数为12人 解得
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m





3、已知全集U=R,A={x|-4 ≤ x<2},B={x|-1<x ≤3}, 、已知全集 = , = , = 5 P= {x|x ≤0 或 x ≥ },A∩B= ,A ∩ B ∩( UP)= . ?
2

解析:借助数轴求交集, 注意x 解析:借助数轴求交集,其中 ?UP= { x| 0<x < 5 },注意 注意 2 能否取等号的值. 能否取等号的值.

观察数轴得, 观察数轴得,A∩B={ x |-1<x<2 }, = - < < , A∩B∩( < < . ?P)={ x |0<x<2 }. U =





4、设A={x︱x2+4x=0},B={x︱x2+2(a+1)x+a2-1=0}, 、 ︱ ︱ (1) 若A∩B=B,求a的值; 的值; , 的值 (2) 若A∪B=B,求a的值 的值. ∪ , 的值 B=Φ也是 ? 的 也是B A的 一种情况, 一种情况,不能 解: A={-4,0} 遗漏, 遗漏,要注意结 ?A (1) ∵ A∩B=B,∴B , 果的检验. 果的检验 ① 若0∈B, 则 a2-1=0, a=±1 ∈ ± 当a=1时, B=A; 当a=-1时, B={ 0 } 时 时 ② 若-4 ∈B, 则 a2-8a+7=0, a=7 或 a=1, 当a=7时, B={-12,14}, B ? A 时 / ③ 若B=Φ,则△=4(a+1)2-4(a2-1)<0, a<-1 则 由① ② ③得 a=1或a≤-1 或 ≤





1、正确理解集合中元素的特征:确定性,互异性,无 、正确理解集合中元素的特征:确定性,互异性, 序性. 序性 2、用列举法或描述法给出集合,考察元素与集合之间 、用列举法或描述法给出集合, 的元素;或不给出集合中的元素, 的元素;或不给出集合中的元素,但只给出若干个抽 象的集合及某些关系,运用韦恩图解决有关问题, 韦恩图解决有关问题 象的集合及某些关系,运用韦恩图解决有关问题 3、熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合 、熟练运用集合的并、 的运算. 的运算 4、注意符号的理解,相互之间的转化:例如 、注意符号的理解,相互之间的转化: 等等. A∩ B = A ? A ? B ? A∪ B = B 等等


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