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安徽省无为县中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学(文)试题

众志成城 卧虎藏 龙地豪 气干云 秣马砺 兵锋芒 尽露披 星戴月 时书香 盈耳含 英咀华 学业必 成

无为中学 2018-2019 学年度第一学期开学高三第一次检测 数学试题卷(文) (考试时间:120 分钟
福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。

满分:150 分)最新试卷十年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送祝

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.已知集合 U ? R, A ? ?x | ? x ? 2?? x ? 1? ? 0?, B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 CU ? A B ? ? ( ) A. ( ?1, 3) B. (??, ?1] [3, ?) C. [ ?1, 3] D. (??, ?1) [3, ??)

2.若复数 Z 满足 (?1 ? 2i) ? Z ? 10 ( i 为虚数单位) ,则复数 Z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.在两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了四个不同的模型,它们的相关指数 R 2 如下, 其中拟合效果最好的为( ) A.模型①的相关指数为 0.976 B.模型②的相关指数为 0.776 C.模型③的相关指数为 0.076 D.模型④的相关指数为 0.351 4.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的 A. 2 B. 5 C.
2 5 5 5 ,则该双曲线的离心率为( 5



D.

5 2

?x ? 0 ? 5.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ,则 z ? 2 x ? y 的最小值是( ?x ? y ? 2 ?



A.0 C.3

B.2 D.5

6.已知 f ( x) 是定义在实数集 R 上的偶函数,且在 (0,??) 上递增,则(



A. f (2 ) ? f (?3) ? f (? log2 5)
0.7

B. f (?3) ? f (2 ) ? f (? log2 5)
0.7

C. f (?3) ? f (? log2 5) ? f (2 )
0.7

D. f (2 ) ? f (? log2 5) ? f (?3)
0.7

7.已知蝴蝶(体积忽略不计)在一个长、宽、高分别为 5,4,3 的长方体内自由飞行,若蝴蝶 在飞行过程中始终保持与长方体的 6 个面的距离均大于 1,称其为“安全飞行” ,则蝴蝶“安 全飞行”的概率为( A.
1 10
x
3

) B.
2 5

C.

?
45

D.

45 ? ? 45

8.函数 y ?

x ?1

2

的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

9.我国南宋数学家秦九韶(约公元 1202﹣1261 年)给出了 求 n ( n ? N ? )次多项式 an x n ? an?1 x n?1 ? ?? a1 x ? a0 , 当 x ? x0 时的值的一种简捷算法.该算法被后人命名为 “秦九韶算法” ,例如,可将 3 次多项式改写为
a3 x 3 ? a2 x 2 ? a1 x ? a0 ? ((a3 x ? a2 ) x ? a1 ) x ? a0 然后进行求值.

运行如图所示的程序框图,能求得多项式( A. x ? x ? 2 x ? 3x ? 4
4 3 2 4 3 2

)的值.

B. x ? 2 x ? 3x ? 4 x ? 5 D. x ? 2 x ? 3x ? 4
3 2

C. x ? x ? 2 x ? 3
3 2

10.已知 p : ?x ? 0, e x ? ax ? 1 成立, q : 函数 f ? x ? ? ? ? a ? 1? 是减函数, 则 p 是 q 的(
x



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

11.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图, 则该几何体的体积为(
8 2 A. 3


4 2 B. 3
2

2

2

2 2 2 正视图 2

2 2 2 侧视图

8 C. 3

D.

4 3

2

2 2 俯视图

2

12.已知函数 f ( x) ? x 3 ? x, x ? R ,若当 0 ? ? ?

?
2

时, ) D. ( ??,1)

f (m sin? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是(

A. (0,1)

B. (??,0)

C. (??, )

1 2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.)
? ? ? ? 13.已知 a ? (2 ? ? ,1) , b ? (?1, ? ) ,若 a 与 b 共线,则实数 ? 的值为



? 1 ? 14. 已知 ? 是锐角,且 cos(? ? ) ? ,则 cos(? ? ) ?
6 3 3



15.设函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 , 若曲线 y ? f ? x ? 在点 P ? x0 , f ? x0 ?? 处的切线方程为 x ? y ? 0 , 则实数
a?



16.已知棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,球 O 与该正方体的各个面相切,则平面 ACB1 截 此球所得的截面的面积为 .

三、解答题: (本大题共 6 小题,第 17—21 小题为必考题,第 22—23 小题为选考题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 T n ,且 a1 ? ?1 , b1 ? 1 ,

a2 ? b2 ? 2 .

(Ⅰ)若 a3 ? b3 ? 5 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 T3 ? 21,求 S 3 .

18.(本题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 120? , D 为 A1 B1 的中点. (Ⅰ)证明: A1C / / 平面 BC1 D ; (Ⅱ)若 A1 A ? A1C ,点 A1 在平面 ABC 的射影在 AC 上,且侧面 A1 ABB1 的面积为 2 3 ,求三棱 锥 B ? A1C1 D 的体积.

19.(本题满分 12 分) 某保险公司有一款保险产品的历史收益率(收益率=利润÷保费收入)的频率分布直方图如图 所示:

(Ⅰ)试估计平均收益率; (Ⅱ)根据经验,若每份保单的保费在 20 元的基础上每增加 x 元,对应的销量 y (万份)与 x (元)有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下 5 组 x 与 y 的对应数据:

? ? 10.0 ? bx . 据此计算出的回归方程为 y

(i)求参数 b 的估计值;
? ? 10.0 ? bx 当作 y 与 x 的线性关系,用(Ⅰ)中求出的平均收益率估计此 (ii)若把回归方程 y

产品的收益率,每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益,并求出该最大收益. 20.(本题满分 12 分) 设抛物线的顶点在坐标原点, 焦点 F 在 y 轴的正半轴上, 过点 F 的直线交抛物线于 A ,B 两点,线段 AB 的长度为 8, AB 的中点到 x 轴的距离为 3. (Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)设直线 m 在 y 轴上的截距为 6,且与抛物线交于 P , Q 两点,连结 Q F 并延长交抛物线 的准线于点 R ,当直线 PR 恰与抛物线相切时,求直线 m 的方程.

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a ? a ? 0? . x

(Ⅰ) 若函数 f ? x ? 有零点, 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 证明: 当 a ?

2 时 , f ? x ? ? e? x . e

请考生在第 22~23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?
? x ? 3 ? t, (t 为参数 ) . 在以坐标原点为极点, ? y ? 1? t

?? x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C : ? ? 2 2 cos ? ?? ? ? . 4? ?

(Ⅰ) 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.

23.[选修 4-5:不等式选讲](本题满分 10 分) 已知 f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? x ? 3 ? x .

(Ⅰ)当 a ? 1 ,解不等式 f ? x ? ? g ? x ? ; (Ⅱ) 对任意 x ? ? ?1,1? , f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求 a 的取值范围.

高三文试卷答案 一、选择题 1-5: DCABB 二、填空题 13. ?1 三、解答题 17.解: (Ⅰ)设等差数列 {a n } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q . 由 a1 ? ?1, b1 ? 1 , b3 ? a4 , a2 ? b2 ? 2 , a3 ? b3 ? 5 ,得
? 1 ? d ? q ? 2,?1 ? 2d ? q 2 ? 5 ,解得: d ? 1, q ? 2 ,或 d ? 3, q ? 0(舍去) .

6-10:DACAB

11-12:CD

14.

2 2 3

15. ?2或2

16.

2? 3

则 {bn } 的通项公式为 bn ? 2n?1 (n ? N * ) . (Ⅱ)由 b1 ? 1, T3 ? 21 可得 1 ? q ? q 2 ? 21 ,解得 q ? 4或q ? ?5 . 当 q ? 4 时, b2 ? 4, a2 ? 2 ? 4 ? ?2 ,
d ? ?2 ? (?1) ? ?1, S3 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ?6 ;

当 q ? ?5 时, b2 ? ?5, a2 ? 2 ? (?5) ? 7 ,
d ? 7 ? (?1) ? 8, S3 ? ?1 ? 7 ? 15 ? 21 .

18.(Ⅰ)证明:连接 B1C 交 BC1 于点 E ,连接 DE . 则 E 为 B1C 的中点,又 D 为 A1 B1 的中点, 所以 DE / / A1C ,且 DE ? 平面 BC1 D , A1C ? 平面 BC1 D , 则 A1C / / 平面 BC1 D .

(Ⅱ)解:取 AC 的中点 O ,连接 A1O ,过点 O 作 OF ? AB 于点 F ,连接 A1 F . 因为点 A1 在平面 ABC 的射影 O 在 AC 上,且 A1 A ? A1C , 所以 A1O ? 平面 ABC ,∴ A1O ? AB , A1O OF ? O , ∴ AB ? 平面 A1OF ,则 A1 F ? AB . 设 A1O ? h ,在 ?ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 120? , ∴ AB ? 2 3 , OF ? 由 S A ABB ?
1 1

1 , A1 F ? 2

1 ? h2 , 4

1 3 ? h 2 ? 2 3 ? 2 3 ,可得 AO . ?h ? 1 4 2

1 3 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2sin120? ? . 则 VB ? A1C1D ? ? A1O ? S?A1C1D ? ? 3 2 2 2 4 3

所以三棱锥 B ? A1C1 D 的体积为

1 . 4

19.解:(Ⅰ)区间中值依次为:0.05,0.15,0.25,0.35,0.45,0.55, 取值概率依次为:0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05, 平均收益率为:

0.05 ? 0.10 ? 0.15 ? 0.20 ?0.25 ? 0.25 ? 0.35 ? 0.30 ?0.45 ? 0.10 ? 0.55 ? 0.05

1 ? 50 ? 300 ? 625 ? 1050 ? 450 ? 275? =0.275 . 104 25 ? 30 ? 38 ? 45 ? 52 190 ? ? 38 (Ⅱ) (i) x ? 5 5 7.5 ? 7.1 ? 6.0 ? 5.6 ? 4.8 31 10.0 ? 6.2 y? ? ? 6.2 ,所以 b ? ? 0.10 5 5 38 ?
(ii)设每份保单的保费为 20 ? x 元,则销量为 y ? 10 ? 0.1x ,则保费收入为

f ? x ? ? ? 20 ? x ? ?10 ? 0.1x ? 万元,
2 即 f ? x ? ? 200 ? 8x ? 0.1x ? 360 ? 0.1? x ? 40 ?
2

当 x ? 40 元时,保费收入最大为 360 万元,保险公司预计获利为 360 ? 0.275 ? 99 万元.

20.解(Ⅰ)设所求抛物线方程为 x 2 ? 2 py( p ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则
| AB |?| AF | ? | BF |? y1 ? y2 ? 8 ,又

y1 ? y2 ? 3 ,所以 p ? 2 . 2

即该抛物线的标准方程为 x 2 ? 4 y .

(Ⅱ)由题意,直线 m 的斜率存在,不妨设直线 m : y ? kx ? 6 , P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) .
? ? x ? x ? 4k ? y ? kx ? 6 由? 2 消去 y 得, x 2 ? 4kx ? 24 ? 0 ,则 ? 3 4 ........(*) ? ? x3 ? x4 ? ?24 ?x ? 4 y

抛物线在点 P( x3 , 令 y ? ?1 得, x ?

2 x3 x2 x ) 处的切线方程为 y ? 3 ? 3 ( x ? x3 ) . 4 4 2
2 x3 ?4 x2 ? 4 ,?1) ,所以 R( 3 2 x3 2 x3

因为 Q, F , R 三点共线,所以 kQF

2 x4 ?1 ?1?1 ? 2 . ? k FR 及 F (0,1) ,得 4 x4 x3 ? 4 2 x3

2 2 即 ( x3 ? 4)( x4 ? 4) ? 16x3 x4 ? 0 ,整理得:

( x3 x4 ) 2 ? 4[( x3 ? x4 ) 2 ? 2 x3 x4 ] ? 16 ? 16x3 x4 ? 0

将(*)式代入上式,得 k 2 ?

1 1 ,即 k ? ? . 4 2

a 的定义域为 ? 0, ??? . x a 1 a x?a 由 f ? x ? ? ln x ? , 得 f ? ? x ? ? ? 2 ? 2 . x x x x
21. 解:(Ⅰ)法 1: 函数 f ? x ? ? ln x ? 因为 a ? 0 ,则 x ? ? 0, a ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? a, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 f ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减, 在 ? a, ??? 上单调递增. 当 x ? a 时, ? ? f ? x ?? ? min ? ln a ? 1. 当 ln a ? 1 ? 0 , 即 0 ? a ?

1 时, 又 f ?1? ? ln1? a ? a ? 0 , 则函数 f ? x ? 有零点. e

所以实数 a 的取值范围为 ? 0, 法 2:函数 f ? x ? ? ln x ? 由 f ? x ? ? ln x ?

? 1? . ? e? ?

a 的定义域为 ? 0, ??? . x

a ? 0 , 得 a ? ? x ln x x

令 g ? x ? ? ? x ln x ,则 g? ? x ? ? ? ? ln x ?1? . 当 x ? ? 0, ? 时, g? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ? , ?? ? 时, g? ? x ? ? 0 .

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

所以函数 g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增, 在 ? , ?? ? 上单调递减.
1 1 1 1 ?1? 故 x ? 时, 函数 g ? x ? 取得最大值 g ? ? ? ? ln ? . e e e e ?e? 1 a 因而函数 f ? x ? ? ln x ? 有零点, 则 0 ? a ? . e x
1? 所以实数 a 的取值范围为 ? ? 0, ? . ? e?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

2 时, f ? x ? ? e? x , e 2 a 即证明当 x ? 0, a ? 时, ln x ? ? e ? x , 即 x ln x ? a ? xe? x . e x
(Ⅱ) 要证明当 a ? 令 h ? x ? ? x ln x ? a , 则 h? ? x ? ? ln x ?1 . 当0 ? x ?

1 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 时, f ? ? x ? ? 0 . e e

所以函数 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减, 在 ? , ?? ? 上单调递增.

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 1 时, ? h ? x ?? ?? ?a. ? ? min e e 2 1 1 于是,当 a ? 时, h ? x ? ? ? ? a ? . e e e
当x ?



令 ? ? x ? ? xe? x , 则 ?? ? x ? ? e? x ? xe? x ? e? x ?1 ? x ? . 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 在 ?1, ?? ? 上单调递减.

1 . e 1 于是, 当 x ? 0 时, ? ? x ? ? . e
当 x ? 1 时, ? ?? ? x ? ? ? max ?



显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当 a ? 时, f ? x ? ? e? x
2 e

22.解: (Ⅰ) 由 ?

? x ? 3 ? t, 消去 t 得 x ? y ? 4 ? 0 , ? y ? 1 ? t,

所以直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0
?? ? ?? ? 由 ? ? 2 2 cos ? ?? ? ? ? 2 2 ? cos? cos ? sin ? sin ? ? 2cos ? ? 2sin ? ,
? 4? ? 4 4?

得 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? .将 ? 2 ? x2 ? y 2 , ? cos? ? x, ? sin ? ? y 代入上式, 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y , 即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .
2 2

(Ⅱ) 法 1:设曲线 C 上的点为 P 1 ? 2 cos ? ,1 ? 2 sin ? , 则点 P 到直线 l 的距离为:
1 ? 2 cos ? ? 1 ? 2 sin ? ? 4 2 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 2 2

?

?

d?

?

?? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 4? ? ? . 2

?? 当 sin ? ? ? ? ? ? ?1 时, dmax ? 2 2 ,
? 4?

所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 2 . 法 2: 设与直线 l 平行的直线为 l ? : x ? y ? b ? 0 , 当直线 l ? 与圆 C 相切时, 得
1?1? b 2 ? 2 ,解得 b ? 0 或 b ? ?4 (舍去), 0?4 2 ? 2 2.

所以直线 l ? 的方程为 x ? y ? 0 ,所以直线 l 与直线 l ? 的距离为 d ? 所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 2 .

23.解: (Ⅰ)当 a ? 1 , f ? x ? ? x ? 1 , 由 f ? x ? ? g ? x ? 可得 x ? 1 ? x ? 3 ? x ,即 x ? 3 ? x ? 1 ? x ? 0 , 当 x ? ?3 时,原不等式等价于 ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 ,∴ x ? ?3 , 当 ?3 ? x ? ?1 时,原不等式等价于 x ? 4 ? 0 ,即 x ? ?4 ,∴ ?3 ? x ? ?1 , 当 x ? ?1 时,原不等式等价于 ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 ,∴ ?1 ? x ? 2 , 综上所述,不等式的解集为 ? ??, 2 ? ; (Ⅱ)当 x ? ? ?1,1? 时, g ? x ? ? 3 ,∴ x ? a ? 3 恒成立, ∴ ?3 ? a ? x ? 3 ,即 ?3 ? x ? a ? 3 ? x ,当 x ? ? ?1,1? 时恒成立, ∴ a 的取值范围 ?2 ? a ? 2 .


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