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【2014唐山市三模】河北省唐山市2014届高三第三次模拟考试 数学理试题 扫描版含答案


唐山市 2013—2014 学年度高三年级第三次模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:CBDAA CBCBA B 卷:BCDAA BCDBA 二、填空题: (13)x-y-2=0 sin α+sin β α+β (15) =tan 2 cos α+cos β 三、解答题: (17)解: DB AD (14)x2+(y-2)2=3 3 (16) 2

BDsin 60? 3 (Ⅰ)在△BDE 中,由正弦定理得 DE= = , sin(120?-θ) 2sin(60?+θ) ADsin 60? 3 在△ADF 中,由正弦定理得 DF= = . ?4 分 sin(30?+θ) 2sin(30?+θ) sin(60?+θ) 3 3 由 tan ∠DEF= 2 ,得 = ,整理得 tan θ= 3, sin(30?+θ) 2 所以 θ=60?. ?6 分 1 3 3 (Ⅱ)S= 2 DE·DF= = 8sin(60?+θ)sin(30?+θ) 2( 3cos θ+sin θ)(cos θ+ 3sin θ) 3 3 = = . ?10 分 2 2 2[ 3(cos θ+sin θ)+4sin θcos θ] 2( 3+2sin 2θ) 6-3 3 3 当 θ=45?时,S 取最小值 = 2 . ?12 分 2( 3+2) (18)解: (Ⅰ)因为平面 A1ACC1⊥平面 ABC,AC⊥BC,所以 BC⊥平面 A1ACC1, 所以 A1A⊥BC. 因为 A1B⊥C1C,A1A∥C1C,所以 A1A⊥A1B, 所以 A1A⊥平面 A1BC,所以 A1A⊥A1C. ?5 分

(Ⅱ)建立如图所示的坐标系 C-xyz. 设 AC=BC=2,因为 A1A=A1C, 则 A (2,0,0),B (0,2,0),A1(1,0,1),C (0,0,0).

→ → CB =(0,2,0),→ CA =(1,0,1),A B =→ AB =(-2,2,0).
1 1 1

设 n1=(a,b,c)为面 BA1C 的一个法向量,则 n1·→ CB =n1·→ CA1 =0,

?2b=0, 则? 取 n1=(1,0,-1). ?a+c=0, 同理,面 A1CB1 的一个法向量为 n2=(1,1,-1). n1·n2 6 所以 cos ?n1,n2?= = , |n1||n2| 3

?9 分

6 故二面角 B-A1C-B1 的余弦值为 3 . ?12 分 (19)解: (Ⅰ)记事件: “一顾客购买一件饮品获得 i 等奖”为 Ai,i=1,2,则 6 1 4A3 4 3 P (A1)=63=36,P (A2)= 63 =36, 则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为 5 P (A1+A2)=P (A1)+P (A2)=36. ?4 分 故一顾客一次购买两件饮品,至少有一件获得奖励的概率 5 2 335 p=1- 1-36 =1296. ?6 分

(

)

x (Ⅱ)设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为 X 元,则 X 的可能取值为 x, 2 ,0. 1 x 4 x 2x x 由(Ⅰ)得 P (X=x)=36,P X= 2 =36,E (x)=36+36=12. ?9 分 该商场每天销售这种饮品所得平均利润 x x 1 Y=y[(36-20)-E (x)]= 4 +24 16-12 =-48(x-48)2+432. 当 x=48 时,Y 最大.故 x 设定为 48(元)为最佳. ?12 分 (20)解: p p (Ⅰ)抛物线 C 的准线 x=- 2 ,依题意 M 4- 2 ,4 , p 则 42=2p 4- 2 ,解得 p=4. 故抛物线 C 的方程为 y2=8x,点 M 的坐标为(2,4), ?3 分 2 y2 y 1 2 (Ⅱ)设 A 8 ,y1 ,B 8 ,y2 . y1-4 8 8 直线 MA 的斜率 k1=y2 = ,同理直线 MB 的斜率 k2= . y1+4 y2+4 1 - 2 8 8 8 由题设有 + =0,整理得 y1+y2=-8. y1+4 y2+4 y1-y2 8 直线 AB 的斜率 k=y2 y2= =-1. ?6 分 1 2 y1+y2 8-8 设直线 AB 的方程为 y=-x+b. 由点 M 在直线 AB 的上方得 4>-2+b,则 b<6. ?y2=8x, 由? 得 y2+8y-8b=0. ?y=-x+b 由 Δ=64+32b>0,得 b>-2.于是-2<b<6. ?9 分 2 |y1-y2|= (y1+y2) -4y1y2=4 2b+4, 于是|AB|= 2|y1-y2|=8 b+2.

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点 M 到直线 AB 的距离 d=

6-b ,则△MAB 的面积 2

1 S= 2 |AB|·d=2 2(b+2)(6-b)2. 设 f (b)=(b+2)(6-b)2,则 f ?(b)=(6-b)(2-3b). 2 2 当 b∈ -2, 3 时,f ?(x)>0;当 b∈ 3 ,6 时,f ?(x)<0.

(

)

(

)

2 128 3 当 b= 3 时,f (b)最大,从而 S 取得最大值 9 .

?12 分

(21)解: (Ⅰ)h (x)=f (x)-g (x)=ex-1-x,h ?(x)=ex-1. 当 x∈(-∞,0)时,h ?(x)<0,h (x)单调递减; 当 x∈(0,+∞)时,h ?(x)>0,h (x)单调递增. 当 x=0 时,h (x)取最小值 h (0)=0. ?4 分 x x x k x2 x k x2 (Ⅱ) f k g - k >1- k 即 ek 1- k >1- k . ① x x x x 由(Ⅰ)知,f k -g k ≥0,即 ek ≥1+ k , x x x x x x2 k 又 1- k >0,则 e 1- k > 1+ k 1- k =1-k2>0. x x k x2 k 所以 ek 1- k > 1-k2 . ② ?7 分 设 φ (t)=(1-t)k-1+kt,t∈[0,1]. - 由 k>1 知,当 t∈(0,1)时,φ ?(t)=-k(1-t)k 1+k=k[1-(1-t)k]>0, φ (t)在[0,1]单调递增,当 t∈(0,1)时,φ (t)>φ (0)=0. x2 x2 x2 k x2 因为k2∈(0,1),所以 φ k2 = 1-k2 -1+k·k2>0, 因此不等式②成立,从而不等式①成立. ?12 分 (22)解: (Ⅰ)连结 OA,则 OA=OD,所以∠OAD=∠ODA, 又∠ODA=∠ADE,所以∠ADE=∠OAD,所以 OA∥即 CE. 因为 AE⊥CE,所以 OA⊥AE. 所以 AE 是⊙O 的切线. ?5 分

[( ) (

[ (

)] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )( ) )] ( )

( ) (

)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得△ADE∽△BDA, AE AB 2 4 所以AD=BD,即AD=BD,则 BD=2AD, 所以∠ABD=30?,从而∠DAE=30?, 2 3 所以 DE=AEtan 30?= 3 . 由切割线定理,得 AE2=ED·EC,

2 3 所以 4= 3 (23)解:

(2 3 3+CD),所以 CD=4 3 3.

?10 分

ρ2cos2θ cos2θ 1 2 2 (Ⅰ)曲线 C1 的极坐标方程为 4 +ρ sin θ=1,即 4 +sin2θ=ρ2.

在极坐标系中,设 M (ρ,θ),P (ρ1,α),则 ρ θ 题设可知,ρ1= 2 ,α= 2 . ① 2 cos α 1 因为点 P 在曲线 C1 上,所以 4 +sin2α=ρ2. ② 1 θ θ cos2 2 sin2 2 1 由①②得曲线 C2 的极坐标方程为ρ2= 16 + 4 . ?6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 1 1 2θ 1 + 3sin 2= 2 . |OM| 16 1 1 1 因为 ?10 分 2的取值范围是 16, 4 ,所以|OM|的取值范围是[2,4]. |OM| (24)解: x≤-1, ? ?3, (Ⅰ)记 f (x)=|x-1|-|x+2|=?-2x-1,-1<x<1, ? x≥1. ?-3, 1 1 1 1 由-2<-2x-1<0 解得- 2 <x< 2 ,则 M= - 2 , 2 . ?3 分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 3 a+ 6 b ≤ 3 |a|+ 6 |b|< 3 × 2 + 6 × 2 = 4 . ?6 分 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a2< 4 ,b2< 4 . 因为|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2) =(4a2-1)(4b2-1)>0, ?9 分 2 2 所以|1-4ab| >4|a-b| ,故|1-4ab|>2|a-b|. ?10 分

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