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1-1-2基本初等函数的图象与性质98845_图文

第二讲 基本初等函数的图象与性质

要点串讲
1.求函数的定义域主要考虑以下几点:分母不能为0;偶次根 号下的式子不小于0;对数的真数大于0,底数大于0且不 等于1;a0中a不等于0;注意实际问题中变量的范围等.

? 2.函数的单调性是函数性质中最活跃的性质,它 的运用主要体现在不等式方面,如比较大小,解 抽象函数不等式等.
? 判断函数的单调性的主要方法(研究函数的单调性 应结合函数的单调区间,单调区间应是定义域的 子集):
? (1)定义法,即作差法(主要步骤为:取值——作差— —变形——判符号——下结论);(2)图象法;(3)单调 性的运算性质(实质上是不等式的性质);(4)复合 函数的单调性判断法则;(5)导数法.

? 3.判断一个函数的奇偶性时,要注意函数的定义域是否 关于原点对称.若定义域关于原点不对称,那么该函数一 定不具有奇偶性.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0) =0,灵活使用这一结论可以简化运算过程.若函数f(x)是 偶函数,则f(x)=f(|x|),利用这个性质,可以避免一些分类 讨论,有利于灵活利用函数的单调性.

? 4.解决与分段函数有关的问题,最重要的就是掌握逻辑 划分思想,即将问题分段解决,还要熟练掌握研究分段函 数性质(奇偶性、单调性等)的一般方法;解决与抽象函数 有关的问题时,最重要的是掌握赋值法,并善于根据题目 条件寻找该函数的一个原型,帮助探求结论,找到解题的 思路和方法.

? 5.函数的周期性的定义及常用结论
? 一般地,对于函数f(x),如果对于定义域中的任意一个x的 值,
? 若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的一个周 期;
? 若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)是周期函数,|b-a|是它的 一个周期;
? 若f(x+a)=-f(x)(a≠0),则f(x)是周期函数,2a是它的一个 周期;

若f(x+a)=

1 f?x?

(a≠0且f(x)≠0),则f(x)是周期函数,

2a是它的一个周期;

若f(x+a)=

1+f?x? 1-f?x?

(a≠0且f(x)≠1),则f(x)是周期函

数,4a是它的一个周期.

6.有关对称性的几个重要结论

一般地,对于函数f(x),如果对于定义域内的任意一

个x的值,

若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=

a+b 2

对称.特别地,若f(a+x)=f(a-x),函数f(x)的图象

关于直线x=a对称;若f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的

图象关于点????a+2 b,0????中心对称.特别地,若f(a+x)=-f(a -x),则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.

? 7.对称性与周期性之间的关系
? 周期性与对称性是相互联系、紧密相关的.一般 地,
? 若f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则 f(x)必为周期函数,且2|b-a|是它的一个周期;
? 若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则 f(x)必为周期函数,且2|b-a|是它的一个周期;

高频考点
类型一 函数的图象与性质 【例 1】 函数 f(x)=axm(1-x)n 在区间[0,1]上的图 象如图所示,则 m,n 的值可能是( )

? A.m=1,n=1

B.m=1,n=2

? C.m=2,n=1

D.m=3,n=1

? [解析] 由于本题是选择题,可以用代入法来做,由图 得,原函数的极大值点小于0.5.

[答案] B

【探究1】(2011·浙江)设函数f(x)=

??-x,x≤0, ???x2, x>0.

若f(α)=4,则实数α=( A.-4或-2

) B.-4或2

C.-2或4

D.-2或2

? 解析:若α>0,则f(α)=α2=4,α=2. ? 若α≤0,则f(α)=-α=4,α=-4. ? 答案:B

类型二 分段函数及其应用 【例2】 (2011·陕西)设f(x)= ??lgx,x>0, ???x+????0a3t2dt,x≤0, 若f(f(1))=1,则a=________.
[解析] ∵f?1?=0,∴f?f?1??=f?0?=a3=1, ∴a=1.
[答案] 1

变式练习:

考点三:函数的奇偶性

考点四:函数的周期性

【探究3】

已知函数f(x)满足f(x+1)=

1+f?x? 1-f?x?



若f(0)=2004,则f(2005)=________.

解析:∵f(x+1)=11+ -ff??xx??, ∴f(x+2)=11+ -ff??xx+ +11??=11+ -1111+ -+ -ffff????xxxx????=-f?1x?,

∴f(x+4)=f(x),即函数的周期为4. 又∵f(0)=2004, ∴f(2005)=f(2004+1)=f(1)=11+ -ff??00??=-22000053.
答案:-2005 2003

类型五 抽象函数的相关性质及其应用 【例 5】 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x) +f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则 f(-3)=________. 分析:先用特殊值法求一些关键的函数值,再利用 函数值的递推关系,逐步靠到 f(-3)上去.

? 解析:令x=y=0?f(0)=0, ? 令x=y=1?f(2)=2f(1)+2=6, ? 令x=2,y=1?f(3)=f(2)+f(1)+4=12, ? 再令x=3,y=-3?f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)-18=0?f(
-3)=18-f(3)=6. ? 答案:6

【探究5】 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函

数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2

时,x的取值范围是( )

A.(8,+∞)

B.(8,9]

C.[8,9]

D.(0,8)

分析:将不等式中的2用函数值表示出来,再根据

函数f(x)的单调性将其转化为一般的代数不等式解决.

? 解析:2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,可 得f[x(x-8)]≤f(9),因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数 ,所以有x>0且x-8>0且x(x-8)≤9,解得8<x≤9.故选B.
? 答案:B

好方法好成绩
怎样利用周期法解题 有些数学问题,表面上看与周期毫无关系,但实际上隐含着
周期性,一旦提示了周期,问题便迎刃而解.下面举例说 明如下.

? 【例1】 设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=- f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于( )

? A.0.5

B .-0.5

? C.1.5

D.-1.5

? [解析] ∵f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ? ∴f(x)是以4为一个周期的函数.由于f(x)是奇函数,且
0≤x≤1时,f(x)=x,
? 可得f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,故选 B.
? [答案] B

D

高考陪练

1.(2011·北京)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用

的时间(单位:分钟)为f(x)=

? ?

c ,x<A x

? ?

c

,x≥A

?A

,(A,c为常

数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品

用时15分钟,那么c和A的值分别是( )

A.72,25

B.75,16

C.60,25

D.60,16

解析:显然A>4,∴f(4)=30 ∴ c =30,∴c=60,
4 又∵f(A)=15,∴ 60 =15,∴A=16.
A
答案:D

? 2.(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,

f(x)=2x2-x,则f(1)=( )

? A.-3

B.-1

? C.1

D.3

? 解析:由已知:f(-1)=-f(1),∴f(1)=-f(-1).

? 而f(-1)=2·(-1)2-(-1)=3,

? ∴f(1)=-3.

? 答案:A

3.(2011·上海)下列函数中,既是偶函数,又是

在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )

A.y=ln|x1| C.y=2|x|

B.y=x3 D.y=cosx

解析:y=ln|x1|为偶函数.

x>0时,y=ln

1 x

=-lnx在(0,+∞)上为减函数,

故A正确.

答案:A

4.(2011·天津)对实数a和b,定义运算“?”:a

?b=

??a,a-b≤1, ???b,a-b>1.

设函数f(x)=(x2-2)?(x-x2),x

∈R,若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共

点,则实数c的取值范围是( )

A.(-∞,-2)∪????-1,32???? B.(-∞,-2]∪????-1,-34???? C.????-1,14????∪????14,+∞???? D.????-1,-34????∪????14,+∞????

解析:∵a?b=?????ab, ,aa- -bb≤>11 ∴f(x)=(x2-2)?(x-x2)

=?????xx2--x22, ,-x<1-≤1x或≤x32>32

.

作出函数f(x)的图象如下图

由图象可知 y=f(x)-c与x轴恰有两个公共点,由图象可知 ∴c∈(-∞,-2]∪???-1,-34???.
答案:B

B

B


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