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高中数学专题01:集合、映射、简易逻辑与函数

专题一:集合、映射、简易逻辑与函数
【考点审视】 (本部分内容是根据近几年高考命题规律和趋势透视本单元考查的重点。 )

一.三年科学归纳:
时 间 题 号 分 值 20 15 8 8 12 12 15 10 0 4 12 12 20 20 4 4 12 0 填 空 解 答 掌握 掌握 函数表达式、不等式 函数图象与性质、导数 C B 题 型 选 择 填 空 解 答 选 择 填 空 解 答 选 择 高考 要求 理解 掌握 掌握 应用 掌握 理解 掌握 掌握 应用 掌握 考试内容 集合、充要条件、函数图象与性质 能力 层次 B

2002 (文)40 分(理)35 分

(文)4、6、9、 10 (理)5、9、10 (文)13、14 (理)13、16 (文) 20 (理)21 (文) 6、7、8

函数图象与性质 函数图象与性质 函数图象与性质 函数图象与性质、不等式 (三角)函数图象与性质 函数性质、不等式 集合、充要条件、函数性质及其应 用

C C B C C C

2003 (文)27 分(理)26 分

2004 (文)36 分(理)24 分

(理)3、9 (文)无 (理)14 (文)20 (理)19 (文)1、8、9、 12 (理)1、8、11、 12 (文)13 (理)13 (文)21 (理)无

综合上述三年统计表可知本单元在高考中试题类型与特点有:
1. 集合、映射、简易逻辑、四种命题一般都是基本题,综合性题目少,且综合性的 深度较小.解答题少.今年理科试题中没有出现本单元的解答题型. 2. 函数及其性质考查更是高考函数试题的主干,是中学与大学数学相衔接的重要内 容,是承上启下的必备知识,也是历年高考的热点.本考点每年必考。近年高考 对函数知识的考查,除了保持函数各知识点比较高的覆盖面外,还强化了对函数 本质和函数应用的考查,体现了函数知识考查的深度和广度,函数的概念的考察 多数是与其它知识以综合题的形式出现,有关函数的综合题较难。 具体考查: (1) 常见初等函数的图像及其性质,其中二次函数及其对数函数更为重要, 属中档题; (2) 考查函数与方程、不等式、三角、数列、曲线方程、导数(尤其要重视 与导数的结合)等知识的交叉渗透及其应用,属中、高档题; (3) 考查以函数为模型的实际应用题,让考生从数学角度观察事物、阐释现 象,分析解决问题,属中档题;

(4) 变函数的具体形式为抽象形式,用以考查抽象思维水平,以及将抽象与 具体进行相互转化的思维能力,可结合在函数的各种题型中进行考查。 【疑难点拔】 (解释重点、难点及知识体系,尤其是考试中学生常见错案分析。 )

二.本章重点、难点及知识体系
1.集合与简易逻辑在中学数学教材中并不是新增内容,在过去的教材中散见于各章 知识。而在新教材中将其整合到一起,单独列为一章,置于高中数学教材之首,足见其在 数学中的基础地位,是进一步学习近现代数学的必要基础知识。其内容为集合的概念及其 运算、逻辑联结词、四种命题及其相互关系、充要条件。本单元内容还初步体现了中学数 学中的数形结合、分类讨论、函数与方程、化归的数学思想。由于其在数学中的基础地位, 在复习中不宜深入展开,只要灵活掌握知识点的小型综合即可。 2.函数是中学数学的重要内容,像一条红线贯穿在整个中学数学之中,函数这一单 元的知识有五个特点: (1)内容的丰富性:“函数”这一单元包括函数的概念和记号,函数的定义域、值 域和对应规律,函数的图像,函数的单词性、奇偶性和周期性,反函数、指数函 数和对数函数,此外,一次函数、二次函数、反比例函数虽然是在初中所学,但 在高中阶段的“函数”一章中完成它的深化过程。 (2)强烈的渗透性:函数网络具有强大的渗透和辐射功能,函数与中学数学中的绝大 部分内容都有联系,与数列、不等式、解析几何、复数、立体几何等均有着千丝 万缕的联系. (3)高度的思想性:“函数”这一章蕴含着中学数学中重要的数学思想,如函数的思 想、分类讨论的思想、数形结合的思想、化归思想等。 (4)与高等数学衔接的紧密性:函数与极限、微分、积分、概率、统计等数学内容联 系非常紧密。 (5)知识的应用性:函数知识在日常生活、生产、科学技术及其他学科中有着广泛的 应用。 对函数及其性质这部分内容的考查,可分横向和纵向两个方面,横向涉及的函数 有:一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本初等函数; 还有由基本初等函数迭加和复合成的一次分式、二次分式函数以及复合函数等.纵向即函 数的性质:定义(解析式、定义域、值域)、单调性、奇偶性、最值、周期性、对称性等. 函数问题几乎涉及中学数学所有数学思想和方法,如数形结合思想、函数与方程的思 想、 分类讨论思想和等价转化的思想等. 解函数问题用到很多典型的数学方法, 如配方法、 待定系数法、数学归纳法、消元法、反证法、比较法、代人法等.因此,学好中学数学, 提高高考复习效率,函数这部分内容是基础,也是重点.

本章重点解决以下四个问题:
1. 准确地理解函数有关的概念; 2. 充分揭示函数与其它知识的联系; 3. 熟练运用函数思想,分类讨论思想和数形结合思想解题; 4. 深刻认识函数的实质,强化应用意识。 上述四个问题同时也是本章的难点。

三.根据最近几年命题立意的发展变化,宜运用以下应试对策:
1.在复习中首先把握基础性知识,深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和 基本数学方法.重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法.要真正掌握数形 结合思想——用文氏图解题. 2.涉及本单元知识点的高考题,综合性大题不多.所以在复习中不宜做过多过高的

要求,只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射,集合与自然数集,集合与不等式,集 合与方程等,充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等) 映射的概 念以选择题型出现,难度不大。就可以了 3.活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础,是解题的基本出发点。利 用定义,可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件,证明或判断函数的单调性与 奇偶性并写出函数的单调区间等。 4.重视“数形结合”渗透。“数缺形时少直观,形缺数时难入微”。当你所研究的 问题较为抽象时,当你的思维陷入困境时,当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时,一个 很好的建议便是:画个图!利用图形的直观性,可迅速地破解问题,乃至最终解决问题。 5.实施“定义域优先”原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分,任何对函数 性质的研究都离不开函数的定义域。例如,求函数的单调区间,必须在定义域范围内;通 过求出反函数的定义域,可得到原函数的值域;定义域关于原点对称,是函数为奇函数或 偶函数的必要条件。为此,应熟练掌握求函数定义域的原则与方法,并贯彻到解题中去。 6.强化“分类思想”应用。指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于 1 有关; 对于根式的意义及其性质的讨论要分清 n 是奇数还是偶数等。

专题一:集合、映射、简易逻辑与函数
【经典题例】 例 1:给出下列四个命题: (1)函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与函数 y ? loga a x (a ? 0且a ? 1) 的定义域相同: (2)函数 y=x3 与 y=3x 的值域相同;

1 1 (1 ? 2 x ) 2 都是奇函数; ? x 与y ? 2 2 ?1 x ? 2x - (4)函数 y=(x-1)2 与 y=2x 1 在区间 [0,??) 上都是增函数.
(3)函数 y ? 其中正确命题的序号是 ①③ .(把你认为正确的命题序号都填上) [简要评述] 通过这几种命题的真假判断,进一步增强学生对比学习意识和数形结合思想 例 2:已知 f(x)是偶函数,且 f(1)=993,g(x)=f(x—1)是奇函数

求 f(2005)的值。(993)
[简要评述] 利用抽象形式推理出函数的重要性质(以 4 为周期) 例 3:关于 x 的方程 2x ? 4 ? ax ? b ? 0, (1) 对于任意 a ? R, 当且仅当 b ? _____恒有实数解;key: [4,??) (2) 当且仅当 _____ 时恰有两个实数解;key: ? 2 ? a ? 2,2a ? b ? 0 (3) 当且仅当 _____ 时由无穷多个实数解;key: a ? 2, b ? ?4 或 a ? ?2, b ? 4 (4) 当且仅当 _____ 时无实数解。Key: ? 2 ? a ? 2 且 2a ? b ? 0 [简要评述] 通过此题分析增强学生的属性结合思想意识,培养灵活机动的思维品质。 例 4:已知集合 A ? ?? 1,2?, B ? ?x|mx?1?0?,若 A∪B=A,则符合条件的 m 的实数值组成 的集合 是 __________key: {?

1 ,0,1} 2

[简要评述] 在高考应试能力中, ,审题是关键,通过此题训练学生思维的严谨性。 x?2 例 5:已知函数 f ( x) ? a x ? a ?1. x ?1 (1)证明:函数 f (x) 在 (?1,??) 上为增函数; (2)用反证法证明方程 f ( x) ? 0 没有负数根. [思路分析] 证明:设 ? 1 ? x1 ? x2 ,? 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1,?

1 1 3 3 ? ?? ?? ?1 () x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1
x1

又? a ? 1,? y ? a x 在 (?1,??) 上是增函数。 ? a 由(1) (2)得? a
x2

? a x2 ? ) (2 ,

?1?

3 3 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ),? f ( x) (?1,??) 上 ? a x2 ? 1 ? x1 ? 1 x2 ? 1
f ( x) ? 0 存 在 负 数 根 , :

是增函数。 ( 反 证 法 ) 设

x0 ( x0 ? 0) , 则

a x0 ?

x0 ? 2 x ?2 ?0?? 0 ? a x0 ? (0,1) x0 ? 1 x0 ? 1

? x0 ? 2 ? ? 1 ? x0 ? 2 ? x ?1 ? 0 1 ? ? 所以假 ?? 1 ? x0 ? ( ,2) ,又 x0 ? 0 矛盾, ?? 0 x0 ? 2 x0 ? ?1或x0 ? 2 ? ? ?1 2 ? ? x0 ? 1 ?
设不成立。 则 f ( x) ? 0 没有负数根。 [简要评述]通过(1)的证明让学生在处理函数单调性的证明时,能充分利用几种基本函 数的性质直接处理,同时增强应变能力训练,通过(2)的证明使学生增强对反证法这种 重要数学思想方法的认识。
x ?1 2 ) ( x ? 0) . x (1)求 f (x) 的反函数 f ?1 ( x) ;

例 6:设 f ( x) ? (

(2)若 x ? 2 时,不等式 ( x ?1) f ?1 ( x) ? a(a ? x ) 恒成立,试求实数 a 的取值范围. [思路分析] (1) x ? 0 ? y ? ( (2) ( x ? 1) f
?1

x ?1 2 x ?1 ) ? y? ?x? x x

1 y ?1

? f ?1 ( x) ?

1 x ?1

( x ? 1)

( x) ? a(a ? x ) ? x ? 1 ? a 2 ? a x ? (a ? 1) x ? a 2 ? 1??

? x ? 2,? x ? 2 ,显然 a ? 1 ? 0
10 2
0

当 a ? 1 ? 0 时, ? ?

x ? a ?1 当 a ? 1 ? 0 时, ? ? x ? a ? 1

? a ?1 ? 0 ? a ? ? ,综上所述: ? 1 ? a ? 1 ? 2 ? ?a ? 1 ? 2
[简要评述] 该题考查学生对函数与不等式的结合点的认识与处理能力,培养学生的转化能力及分类 讨论思想。 例 7:高三某班 52 名学生全部参加绿化美化环境的志愿者行动,这次行动要求完成栽 400 株花和种 200 棵树的任务,据经验如果栽花每个学生每小时可以栽 3 株,如果植树每个学 生每小时可以值 1 棵,现在把这 52 名学生分成甲乙两组,甲组只栽花,乙组只植树,并 且同时开始工作,为了在最短时间内完成这项任务,两组各应安排多少名同学?并论述这 种分组的合理性。 解:设甲组 x 人,乙组 (52 ? x) 人, 1 ? x ? 52 且 x ? N ,

400 200 小时,植树总用时为 f 2 ( x) ? 小时, 3x 52 ? x 这样完成整个任务的时间,应该是 f 1 ( x ) 和 f 2 ( x) 的较大者, 在 区 间 [1 , 52] 上 , 函 数 f 1 ( x ) 为 减 函 数 , f 2 ( x) 为 增 函 数 , 为 使 整 体 最 少 , 应 有 400 200 ? | f1 ( x) ? f 2 ( x) |最小,不妨先解 ,得 x0 ? 20.8 3x 52 ? x 因为 x0 ? 20.8 不是整数,所以要比较两函数在 20 .8 临近整数的函数值,
据已知,栽花总用时为 f 1 ( x ) ? 当 x ? 20 时,| f1 (20) ? f 2 (20) | ? 0.42 ; 当 x ? 21 时,| f1 (21) ? f 2 (21) | ? 0.1 。 因此,甲组为 21 人,乙组为 31 人,完成任务时间最短。 [简要评述] 增强应用意识,提高学生学习数学的兴趣 例 8:已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对任意 x∈R, 有 f (x+T)=T f (x)成立. (1)函数 f (x)= x 是否属于集合 M?说明理由; (2) 设函数 f (x)= a x (a>0, a≠1)的图象与 y=x 的图象有公共点, 且 证明:(x) = a x∈M. f [思路分析] (1)对于非零常数 T,f (x+T)=x+T, Tf (x)=Tx. 因为对任意 x∈R,x+T= Tx 不能恒成立,所以 f(x)= x ? M . (2)因为函数 f (x) = a x(a>0 且 a≠1)的图象与函数 y=x 的图象有公共点,

?y ? ax 所以方程组: ? 有解,消去 y 得 ax=x, ?y ? x
显然 x=0 不是方程 ax=x 的解,所以存在非零常数 T,使 aT=T. 于是对于 f (x)=ax 有 f ( x ? T ) ? a ? a ? a ? T ? a ? Tf ( x) 故 f (x) = a x∈M. [简要评述] 开放性、探索性问题是当今高考热点问题,通过此题培养学生科学探索精神。
T x x x ?T

【热身冲刺】 一、选择题: 1.已知集合 A ? {y | y ? 2
x

x ? R} B ? {y | y ? x 2 x ? R} 则( D )

(A) A ? B ? {2,4}

(B) A ? B ? {4,16}

(C)A=B

(D) A ? B
?

2.“p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 3.已知函数 f ( x) ? lg

( A ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1? x ,若 f (a ) ? b ,则 f (?a) ? ( B ) 1? x 1 1 (A) b (B) ? b (C) (D) b b 4.已知函数 y ? f ( x)(a ? x ? b) ,集合 A={ ( x, y) | y ? f ( x)(a ? x ? b) },B={ ( x, y) | x ? 0} , 则 A ? B 的元素个数为 ( C )
(A)0 (B)1 (C)0 或 1 (D)1 或 2 5.在 x 克 a%的盐水中,加入 y 克 b%的盐水,浓度变成 c%(a,b>0,a≠b),则 x 与 y 的函数 关系式是 ( B ) (A)y=

c?a x c?b

(B)y=

c?a x b?c

(C)y=

a?c x b?c


(D)y=

b?c x c?a

6.已知(2,1)在函数 f(x)= ax ? b 的图象上,又知 f 1 ( 5 ) =1,则 f(x)等于 ( A ) (A) ? 4 x ? 9 (B) ? 3x ? 7 (C) 3x ? 5 (D) 4 x ? 7 ( C ) 7.函数 y ? f ( x ? 1)和y ? ? f (1 ? x)(x ? R) 的图象 (A)关于原点对称 (B)关于直线 x=0 对称 (C)关于点(1,0)对称 (D)关于直线 x=1 对称 8. 设函数 f ( x ) ?

(A) (??,??) 上增函数 (C) (1,??) 上减函数

x ?1 的反函数为 f x ?1

?1

( x) ,若 g ( x) ? f ?1 (? x) ,则 g (x) 是 ( B )
(B) (??,?1) 上增函数 (D) (??,?1) 上减函数

9.若函数 f ( x) ? ax2 ? b | x | ?c(a ? 0) 的定义域 R 分成了四个单调区间,则实数 a, b, c 满 足 ( C )

b b ? 0 (D) ? ?0 2a 2a 10.已知命题 p :若 S n 是无穷等差数列 {an } 的前 n 项和,则点列 {n, S n ) 在一条抛物线上,
(A) b ? 4ac ? 0, a ? 0
2

(B) b ? 4ac ? 0
2

(C) ?

命题 q :若实数 m ? 1, 则 mx ? (2m ? 2) x ? 1 ? 0 的解集是 R。又知 s 是 p 的逆否命题, ( C ) r 是 q 的逆命题,那么下列判断正确的是 (A) s 是假命题, r 是真命题 (B) s 是真命题, r 是真命题 (C) s 是假命题, r 是假命题 (D) s 是真命题, r 是假命题 二、填空题: 11.下列命题(1) ? ? {0}, (2)? ? {x | x 2 ? 1, x ? R}, (3){(x, y) | x 2 ? 1} ? {?1,1} ,
2

(4){x | x ? 2k ? 1, k ? Z} ? {x | x ? 4k ? 1, k ? Z} (5){x | x ? 4k , k ? Z} ?{x | x ? 12k , k ? Z}
?

中正确的是

(1) (5) (3) {2}

(把所有错误的序号全填上)

x x 12.方程 4 ? 1 ? 2 ? 19 的解集为

13. A= {?? ,? 设

?
3

,0,

1 ? ? , 定义 f : x ? cos x 是 A 到 B 的函数,g : x ? ?x , } B= {?1,0, ,1} , 3 2 2

是 B 到 A 的映射,若 g[ f ( x )] ?
?x

?
2

,则 x =

?

?
3

?2 ? 1, x ? 0, ? , 若f ( x0 ) ? 1, 则x0的取值范围是 (??,?1) ? (1,??) 14. 设函数 f ( x) ? ? 1 2 ? x , x ? 0. ?
三、解答题: 15.已知函数 g ( x) ?

x?2 , h( x) ? x 2 ? x ? 2 , f ( x)是g ( x)与h( x) 的积, x

求: f (x) 解析式,并画出其图象; 解:? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? x( x ? 2),? f ( x) ? x 2 ? 2x( x ? ?2且x ? 0) 图略 16..函数 f ( x ) ?
2 ax 2? x 的定义域为集合 A ,关于 x 的不等式 2 x ?1

? 2 a ? x (a ? R) 的解集为

B ,求使 A ? B ? A 的实数 a 的取值范围.

解: A ? {x | 1 ? x ? 2} , B ? {x | (2a ? 1) x ? a}

1 a 1 1 a } ; a ? 时, } 时,B ? {x | x ? 当 B=R; a ? 时,B ? {x | x ? 当 2 2a ? 1 2 2 2a ? 1 又? A ? B ? A ? A ? B ,则 1 1 ? ? ? a?2 ? a? 2 1 1 2 , ? a?( , ) , ?a ? , A? B ? A 成 立 ? ? a a 2 2 3 ? ? ?2 ?1 ?1 ? 2a ? 2a ? 1 1 ? a? ? 2 ? a ? (??, 1 ) ? 1 2 ?a ? 1, a ? 2 ? 2 综上所述: a ? (?? , ) 3
则当 a ?
2 17.对于函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R) ,当 x ? [?1,1] 时, | f ( x) | 的最大值为 m ,

试用反证法证明: m ? 证明:假设 m ?

1 2

1 1 1 ,则 f (1) ? , f (?1) ? ,所以可得 2 2 2

1 ? ? f (0) ? b ? 2 ? (1) 1 ? 3 ? ? a ? b ? ? ? ?3 ? 2b ? ?1 ? ? 1 ? 2 (3)得 ? 2 ? 1 ? a ? b ? ? ( 2) ,由(2) 3 1 3 1 2 ? ?? ? b ? a ? ? ? ? ? b ? ? 1 2 2 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? ? (3) ? 2 ? 1 ? b ? 与(1)矛盾,所以原命题成立。 2 ax2 ? 8 x ? b 18.已知函数 g ( x) ? 的值域是[1,9],试求函数 f ( x) ? ax2 ? 8x ? b 的定 2 x ?1
义域和值域。 解:? g (x) 的定义域为 R,令 y ? g (x) ,则有 ( y ? a) x 2 ? 8x ? y ? b ? 0. 若 y ? a ,由 ? ? 0, 得 64 ? 4( y ? a)( y ? b) ? 0, 即 y 2 ? (a ? b) y ? ab ? 16 ? 0 。 ?1 ? 9 ? a ? b, 且 1 ? 9 ? ab ? 16 ,? a ? b ? 5 。 若 y ? a ,取 a ? 5 ,则 y ? [1,9] 成立。

? f ( x) ? 5x 2 ? 8x ? 5 ,而 ?/ ? 64 ? 100 ? 0,?5x 2 ? 8x ? 5 恒成立, 8 16 9 9 2 2 )? ? 又 5 x ? 8 x ? 5 ? 5( x ? x ? 5 25 5 5 3 ? 函数 f (x) 的定义域为 R,值域是 [ 5 ,?? ) 5 4 2 19.是否存在常数 k ? R ,使 f ( x) ? x ? (2 ? k ) x ? (2 ? k ) ,在 (??,?1] 上是减函数,
且在

[?1,0) 上是增函数?
提示:由题意知 x ? ?1, 是函数 f (x) 的一个极值点,由 f ?( x) ? 4 x 3 ? 2(2 ? k ) x, 令 f ?( x) | x??1 ? 0, 得 k ? 4, ? f ?( x) ? 4 x 3 ? 4 x ? 4 x( x ? 1)(x ? 1) ,故 当 x ? (??,?1] 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为减函数; 当 x ? [?1,0) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数,?k ? 4, 适合题意 20. 已知集合 A={x|x2+3x+2 ≥0},B={x|mx2-4x+m-1>0 ,m∈R}, 若 A∩B= ? , 且 A∪B=A,试求实数 m 的取值范围. [思路分析]由已知 A={x|x2+3x+2 ? 0 },得 A ? {x | x ? ?2或x ? ?1},由A ? B ? ? 得: (1)∵A 非空 ,∴B= ? ; (2)∵A={ x | x ? ?2或x ? ?1 } , ∴ B ? {x | ?2 ? x ? ?1}. 另 一 方 面 ,

A ? B ? A,? B ? A ,
于是上面(2)不成立, 否则 A ? B ? R , 与题设 A ? B ? A 矛盾. 由上面分析知, ? . B= 由已知 B= x | mx ? 4 x ? m ? 1 ? 0, m ? R ,结合 B= ? ,
2

?

?

得对一切 x ? R, mx ? 4x ? m ? 1 ? 0 恒成立,于是,
2

有?

?m ? 0 1 ? 17 解得m ? 2 ?16 ? 4m(m ? 1) ? 0

? m 的取值范围是 {m | m ?

1 ? 17 } 2


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