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【数学】1.2.2《组合(一)》课件(新人教A版选修2-3)2013.5.6_图文

情境创设 问题一:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的 活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不 同的选法? 2 3

A ?6

问题二:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动,有多少种不同的选法? 甲、乙;甲、丙;乙、丙 3

问题1
从已知的 3 个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.

问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组

有 顺 序

排列

组合

无 顺 序

概念讲解

组合定义:

一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素并成一组,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.

排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点?

概念讲解
排列定义: 一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.

共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关, 而组合则与元素的顺序无关.

概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?

1)元素相同; 2)元素排列顺序相同.
思考三:组合与排列有联系吗?

元素相同

构造排列分成两步完成,先取后排;而构造 组合就是其中一个步骤.

判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种 车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价? 组合是选择的结果,排列 组合问题

是选择后再排序的结果. (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 ,共有 多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手 多少次? 组合问题

(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 排列问题

概念理解

1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组 合分别是: ab , ac , bc (3个) 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的 所有组合.

a

b

c
d

b c d

c d

ab , ac , ad , bc , bd , cd

(6个)

概念讲解

组合数:

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出 m m个元素的组合数,用符号 C n 表示.
注意: m 是一个数,应该把它与“组合”区别开来. Cn 如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 2 有组合个数是: C ?3
3

如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个 2 元素的所有组合个数是:C4 ?6

练一练

1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。 c a b b c c d d d abc , abd , acd , bcd .

组合
abc abd acd abc acb abd adb acd adc bdc

排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb

bcd

你发现了 什么bcd ?

不写出所有组合,怎样才能知道组合的种数?

求 A 4可分两步考虑: 3
3

3

求 P4 可分两步考虑:
3

第一步, C 4 ( ? 4)个;
第二步, A3 ( ? 6)个;
根据分步计数原理, A4
3

A 从而? C ? C A
3 4

3

?C?A
3 4

3 3

.

P ? 3 如何计算: P 3 3
3 4 4 3

3 4

C

m n

概念讲解

组合数公式

排列与组合是有区别的,但它们又有联系. 一般地,求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排 列数,可以分为以下2步: 第1步,先求出从这 n 个不同元素中取出m 个元素 m 的组合数 Cn .
m 第2步,求每一个组合中m 个元素的全排列数An .

m A n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? m n 因此:Cn ? m ? Am m! * m 、 n ? N 这里 ,且 m ? n ,这个公式叫做组合

m m m A ? C ? A 根据分步计数原理,得到: n n m

数公式.

概念讲解

从 n 个不同元中取出m个元素的排列数

A ?C ? A
n n

m

m

m m

组合数公式:

A n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) C ? ? A m!
m n m n m m

n! 0 C ? 我们规定:Cn ? 1. m!(n ? m)!
m n

例题分析
例1计算:⑴

C

4 7



C

7 10

(3) 已知

C

3 n

?

A

2 n

,求 n .

38-n 3n (4)求 C3n +C21+n的值.

例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛,

(1)列出所有各场比赛的双方;
(2)列出所有冠亚军的可能情况. 解:(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 (2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙

例2、甲,乙,丙,丁4个足球队举行单循环赛:

(1)共需比赛多少场?列出各场比赛的双方;
(2)冠亚军共有多少种可能?列出所有冠亚军情况。 解:(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 (2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙 4?3 2 ? 6 场比赛.分别为 解:(1)共需 C4 ?
甲、乙、丙、丁

2 ?1

乙、丙、丁

丙、丁

2 ? 4 ? 3 ? 12 种可能, 分别为 (2)冠亚军共有 A4 冠军 亚军 冠军 亚军 冠军 亚军 冠军 亚军 甲 甲 乙 甲 乙 乙 甲 乙 丙 丁 丙 丙









例3

m ? 1 m?1 求证 : C ? ? Cn . n?m
m n

n! 证明: ? C ? , m( ! n ? m) !
m n

m ? 1 m?1 m ? 1 n! ? Cn ? ? n?m n ? m (m ? 1)!(n ? m ? 1)! m ?1 n! ? ? (m ? 1)! (n ? m)( n ? m ? 1)!
n! m ? ? Cn . m !(n ? m) !

下面我们来计算两个组合数

?1? C
解析:

7 10

C

3 10

? 2? C

4 12

C

8 12

你发现了什么?你能解释你的发现吗?
从10个元素中取出7个元素后,还剩下3个元素.就是 说,从10个元素中每次取出7个元素的一个组合,与 剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的.因此, 从10个元素中取出7个元素的组合数,与从这10个元 素中取出(10-7)个元素的组合数是相等的,即有

C ?C
7 10

3 10

组合数性质一

C ?C
m n

说明 :

n?m n

n m m (1) 为简便计算, 当m > 时,常将C n 改为C n来计算; n 2 0 (2) 为了使性质在m = n时也能成立,我们规定 :C n = 1.
随堂练习

1.若C

2x 25 x2 15

?C

x?4 25 2x 15

, 求x的值.

2.若C

? C , 求x的值.

例题分析

例4.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端 点的线段共有多少条? (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点 的有向线段共有多少条?

例5.(1)凸五边形有多少条对角线?
(2)凸n( n>3)边形有多少条对角线?

课堂小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果,排列是 选择后再排序 的结果 组合 组合数的概念