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2015年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第53课 平行关系的性质 文(含解析)


第 53 课 平行关系的性质
1.直线与平面平行的性质 类别 语言表述 如果一条直线和一个平 面平行,经过 性质 和这个平面相交, 那 么这条直线和交线平行 例 1. 如图,四边形 EFGH 为四面体 A ? BCD 的一个截面,若截面为平行四边形, 求证: AB / / 平面 EFGH 证明:∵EFGH 为平行四边形,∴EF∥HG, ∵HG ? 平面 ABD,∴EF∥平面 ABD. ∵EF ? 平面 ABC,平面 ABD∩平面 ABC=AB. ∴EF∥AB,∴AB∥平面 EFGH. 评析:由线线平行 ? 线面平行 ? 线线平行. 练习:S 是空间四边形 ABCD 的对角线 BD 上任意一点,E、F 分别 在 AD、CD 上,且 AE∶AD=CF∶CD,BE 与 AS 相交于 R,BF 与 SC 相交于 Q.求证:EF∥RQ. 证明:在Δ ADC 中,因 AE∶AD=CF∶CD,故 EF∥AC, 而 AC ? 平面 ACS,故 EF∥平面 ACS. 而 RQ=平面 ACS∩平面 RQEF, 故 EF∥RQ(线面平行性质定理). 2.平面与平面平行的性质 (1) 类 别 语言表述 如果两个平面平行,那么 其中 的直线必 平行于另一个平面 性 质 如果两个平行平面同时 和 , 那么它们的交线平行 图示 字母表示 作用 图示 字母表示 作用

例 2. 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB ,在

AE 、 BD 上各有一点 P 、 Q ,且 AP ? DQ .求证: PQ / / 平
面 BCE .

1

练习:如图, M , N 分别是 AB , PC 的中点。求证: MN / / 平面 PAD ; (要求用线面 P 平行的判定定理与面面平行的性质定理两种方法证明) 解析: ( 1 ) 设 PD 的中点为 E,连 AE, NE, N 则易得四边形 AMNE 是平行四边形,则 MN∥AE , C D MN ? 平面PAD, AE ? 平面PAD , 所以 MN∥平面 PAD

A

M

B

于 A ,C ,过点 P 的直线 n 与 ? , ? 分别交于 B , D 且 PA=6 , AC ? 9 , PD ? 8 , 则 BD 的长为____________. 解析: 根据题意可出现以下如图两种情况, 利用相似三角形, 可求出 BD 的长分别为 24. 24 或 5

例 3. 已知平面 ? ∥平面 ? , P 是 ? , ? 外一点,过点 P 的直线 m 与 ? , ? 分别交

24 答案:24 或 5 第 53 课 平行关系的性质作业题 1. 下列条件中,不能判断两个平面平行的命题的个数为( ). ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一 个平面 A. 1 B。2 C。3 D。4 2. (2013?广东高考)某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是( ) A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1
2

【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形, 三棱锥的高为 2,则 V = ?

1 正视图

1 侧视图

1 1 1 ?1 ?1 ? 2= ,选 B. 3 2 3

俯视图 图 2

2

3。 (2012?广东高考)某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为(

)

( A) 72?
【解析】选 C 体积为 V ?

( B ) 48?

(C ) ???

( D) ???

几何体是半球与圆锥叠加而成,它的

3 2 1 4 1 ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? 52 ? 32 ? 30? 2 3 3

3. 已知某几何体的俯视图是如图 1 所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8, 高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V ; (2)求该几何体的侧面积 S .

6

8 图1

3. 如图中四个正方体图形,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形的 序号是( )

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

解析:图①中,设 PN 中点为 Q,连 MQ,则 AB∥MQ,所以 AB∥平面 MNP,图②,图③中, AB 与平面 MNP 相交,图④中,AB∥NP,所以 AB∥平面 MNP.故应选 B. 答案:B 4. 如图, 四边形 EFGH 为四面体 A ? BCD 的一个截面,AB / / 平面 EFGH ,并且 CD / / 平面 EFGH ,求证:截面 EFGH 为
3

平行四边形 证明:.

5.在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点.

图 1?5 求证:C1F∥平面 ABE; 解:证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG.

因为 E,F,G 分别是 A1C1,BC,AB 的中点, 1 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC,EC1= A1C1. 2 2 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1, 所以四边形 FGEC1 为平行四边形, 所以 C1F∥EG. 又因为 EG? 平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE 7. 如图,在多面体 ABCDEFG 中,平面 ABC // 平面 DEFG , AD ? 平面 DEFG ,

AB ? AC , ED ? DG , EF ∥ DG ,且 AC ? EF ? 1 , AB ? AD ? DE ? DG ? 2 .
(1)求证: BF //平面 ACGD ; (2)求三棱锥 A ? BCF 的体积. 【解析】 (1)取 DG 的中点 M ,连接 AM , FM ,

4

∵ EF ?

1 DG ,∴ EF ? DM , 2

A

C

∵ EF ∥ DG ,∴ EF ∥ DM , ∴四边形 DEFM 是平行四边形,∴ DE // MF ,

B

?

又∵ DE // AB ,∴ AB // MF .

?

?

D E F

M

G

∴四边形 ABFM 是平行四边形,∴ BF ∥ AM ,

又 BF ? 平面 ACGD , AM ? 平面 ACGD ,∴ BF //平面 ACGD . (2)∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ VP ? ABCD ?

2 1 1 2 S正方形ABCD ? PA ? ?12 ? 2 ? ,∴四棱锥 P ? ABCD 的体积为 . 3 3 3 3

6. 如图所示,平面 ? ∥平面 ? ,点 A ? ? , C ? ? ,点 B ? ? , D ? ? ,点 E , F 分别在 线段 AB , CD 上,且 AE : EB ? CF : FD . (1)求证: EF / / ? ; (2)若 E , F 分别是 AB , CD 的中点, AC ? 4 , BD ? 6 ,且 AC , BD 所成的角 为 60°,求 EF 的长.

5


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