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【高中数学备课参考】计数原理排列组合及二项式定理:第5节 排列组合解题技巧

排列组合的的解题技巧 一、准备工作:排列组合知识要点分析 (一)基本原理 1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有 类办法,在第一类办法中有 二类办法中有 种不同的方法,……,在第 类办法中有 … 种不同的方法。 2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 个步骤,做第一步有 种不同的方法,做第二步有 种不同的方法,……,做第 步有 种不同的办法,那么完成这件事共有: … 种不同的方法。 3.两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关即“联斥性”: (1)对于加法原理有以下三点: ①“斥”——互斥独立事件; ②模式:“做事”——“分类”——“加法” ③关键:抓住分类的标准进行恰当地分类,要使分类既不遗漏也不重复。 (2)对于乘法原理有以下三点: ①“联”——相依事件; ②模式:“做事”——“分步”——“乘法” ③关键:抓住特点进行分步,要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。 (二)排列 1.排列定义:一般地说从 个不同元素中,任取 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 种不同的方法,在第 种不同的办法,那么完成这件事共有: 个不同元素中,任取 个元素的一个排列。特别地当 时,叫做 个不同元素的一个全排列。 2.排列数定义:从 个不同元素中取出 个元素的排列数,用符号 表示。 3. 排列数公式 个元素的所有排列的个数,叫做从 个不同元素中取出 (三)组合 1.组合定义:一般地说从 个不同元素中,任取 个元素的一个组合。 2.组合数定义:从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数,用符号 表示。 3. 组合数公式 4.组合数的两个性质 (四)排列与组合的应用 1.排列的应用问题 (1)无限制条件的简单排列应用问题,可直接用公式求解。 (2)有限制条件的排列问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。 2.组合的应用问题 (1)无限制条件的简单组合应用问题,可直接用公式求解。 (2)有限制条件的组合问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。 3.排列、组合的综合问题 排列组合的综合问题,主要是排列组合的混合题,解题的思路是先解决组合问题,然后再讨论排 列问题。 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: (1)限制条件的排列问题常见命题形式: “在”与“不在” “相邻”与“不相邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ①“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”,可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看,这 是处理相邻最常用的方法。 ②“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”。 ③“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置。 ④元素有顺序限制的排列, 可以先不考虑顺序限制, 等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。 (2)限制条件的组合问题常见命题形式: “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。 (3)在处理排列组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重复,不遗漏按事件 的发生过程分类、分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列问题的最基本,也是最重要的 思想方法。 4、解题步骤: (1)认真审题:看这个问题是否与顺序有关,先归结为排列问题或组合问题或二者的综合题, 还应考虑以下几点: ①在这个问题中 个不同的元素指的是什么?② 个元素指的又是什么? ②从 个不同的元素中每次取出 个元素的排列(或组合)对应的是什么事件; (2)列式并计算; (3)作答。 二、学习过程 题型一:排列应用题 9 名同学站成一排:(分别用 A,B,C 等作代号) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 如果 A 必站在中间,有多少种排法?(答案: ) 如果 A 不能站在中间,有多少种排法?(答案: ) 如果 A 必须站在排头,B 必须站在排尾,有多少种排法?(答案: ) 如果 A 不能在排头,B 不能在排尾,有多少种排法?(答案: ) 如果 A,B 必须排在两端,有多少种排法?(答案: ) 如果 A,B 不能排在两端,有多少种排法?(答案: ) 如果 A,B 必须在一起,有多少种排法?(答案: ) 如果 A,B 必须不在一起,有多少种排法?(答案: ) 如果 A,B,C 顺序固定,有多少种排法?(答案: ) 题型二:组合应用题 若从这 9 名同学中选出 3 名出席一会议 (10) (11) (12) (13) (14) 若 A,B 两名必在其内,有多少种选法?(答案: ) 若 A,B 两名都不在内,有多少种选法?(答案: ) 若 A,B 两名有且只有一名在内,有多少种选法?(答案: ) 若 A,B 两名中至少有一名在内,有多少种选法?(答案: 或 ) 若 A,B 两名中至多有一名在内,有多少种选法?(答案: 或 ) 题型三:排列与组合综合应用题 若 9 名同学中男生 5 名,女生 4 名 (15) (16) 若选 3 名男生,2 名女生排成一排,有多少种排法?(答案: ) 若选 3 名男生 2 名女生排成一排且有一男生必须在排头,有多少种排法? (答案: ) (17) 若选 3 名男生 2 名女生排成一排且某一男生必须在排头,有多少种排法? (答案: ) (18) 若男女生相间,有多少种排法?(答案: ) 题型四:分组问题 6 本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法? (19) (20) (21) (22) (23) (24) 一堆一本,一堆两本,一堆三本 甲得一本,乙得两本,丙得三本 (答案: ) (答案: ) (答案: ) 一人得一本,一人得两本,一人得三本 平均分给甲、乙、丙三人 平均分成三堆 (答案: ) (答案: ) (答案: ) 分成四堆,一堆三本,其余各一本 (25)分给三人每人至少一本。 (答案: + + ) 题型五:全

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