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2016年专项练习题集-等差数列的性质及应用


2016 年专项练习题集-等差数列的性质及应用 1.已知数列 ?an ? 为等差数列,若 a2008 , a2014 是方程 x ? 2017 x ? m ? 0 的两根,且函数
2

y ? ex 在点 (ln a2006 , f (ln a2006 )) 处的切线的斜率为1 ,则 a2016 = (
A. 2009 B. 2016 C. 2022 D. 2015 【分值】5 【答案】B 【易错点】等差数列的性质不熟悉导致出错。



【考查方向】本题主要考查了等差数列的性质、导数的几何意义,在近几年的各省高考题出 现的频率较高,常与等差数列的性质、导数的几何意义等知识点交汇命题。 【解题思路】先由导数的几何意义求出 a2006 ? 1 ,再利用等差数列的性质进行计算。 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 意 可 知 由 等 差 数 列 的 性 质 知 a2008 ? a2014 ? 2017 ,

y? x ? ln a2006 ? eln a2006 ? a2006 ? 1,根据等差数列的性质: a2008 ? a2014 ? a2006 ? a2016 ,所
以 a2016 ? 2017-1 ? 2016 .故选 A. 2.若 等 差 数 列 ?an ? 的 前
5 0

m 项 和 为 Sm , 前 3m 项 和 为 S3m , 若 S m ? ?02 5 c o sx d x,


?

S3m ? ? 12 xdx ,则 am?1 ? am?2 ? ? ? a2m ? (
A. 15 B. 10 C. 25 D. 20 【分值】5

【答案】B 【易错点】本题容易将 am ?1 ? am ? 2 ? ? ? a2 m 求成 S 2 m 。 【考查方向】本题主要考查了等差数列的性质、定积分的计算,在近几年的各省高考题出现 的频率较高,常与等差数列及其前 n 项的和的性质、定积分的计算等知识点交汇命题。 【解题思路】先根据定积分的计算公式求出 Sm , S3m ,再利用等差数列的性质求出 S 2 m ,进 而可以利用 an 与 Sn 的关系求出 am?1 ? am?2 ? ? ? a2m 。 【解析】试题分析:设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,由等差数列的性质可知

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 仍 成 等 差 数 列 , 即 Sm , S2m ? Sm , S 3m ? S
2 Sm ? ? 2 5 c o s x d x? 5 s i 0 n x ? 0

m 2

成等差数列,而

?

?

2 5 sin ? , S35 m ? ?0 12 xdx ? 6 x 0 ? 30 ,所以 2

?

5

5

5 ? 30 ? S2m ? 2(S2m ? 5) ,解得 S2m ? 15 .故 am?1 ? am? 2 ? ? ? a2m ? S 2m ? Sm ? 10 ,选
项 B 正确. 3.若数列 {an } 为各项均为正数的等差数列,若 m ? (a5 , ?4), n ? (a10 ,9) ,且 m ? n ,则数列

??

?

??

?

{an } 的前 14 项和 S14 的最小值为(
A. 78 B. 48 C. 60 D. 72 【分值】5 【答案】D



【易错点】不知道应用均值不等式导致本题出错。 【考查方向】本题主要考查了考查等差数列的性质、向量的坐标运算、应用基本不等式求出 相应的最值等知识点,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与等差数列性质、求和公

式、不等式等知识点交汇命题。 【解题思路】先根据 m ? n 求出 a5a10 ? 36 ,再利用等差数列的求和公式求和,利用等差数 列的性质知及均值不等式求最值。 【解析】试题分析:根据 m ? n 求出 m ? n ? a5a10 ? 36 ? 0 ,即 a5a10 ? 36 ,根据等差数列 的 求 和 公 式 , 可 知 S1 4 ?

??

?

??

?

?? ?

1 4a (1 ? a 1 4 ) ?7( a 5 ?a 2

1 0,

)

因为各项均为正数,所以

a5 ? a1 0 ?2

,所以有 S14 ? 72 ,故选 D。 a?5 a 1 ? 01 2
a

已知数列 ?an ? 是等差数列,若 log3 9a1 ? log3 9a2 ? ?? log3 9 10 ? 40 则 a5 ? a6 ? ( 4.



A. 2 B. 4 C. 10 D. 12
【分值】5 【答案】B 【易错点】不能灵活应用等差数列的性质及对数的运算律导致出错。 【考查方向】 本题主要考查了等差数列的性质及对数的运算, 在近几年的各省高考题出现的 频率较高,常与等差数列的性质、指数函数与对数函数的运算等知识点交汇命题。 【解题思路】 【解析】试题分析:根据同底的指数幂的运算法则,可知
a a a a a a 9a1 ? 9a2 ? 9a3 ?9a10 ? 32( a1 ?a2 ???a10 ) , 故 log3 9 1 ? log3 9 2 ? ?? log3 9 10 ? log3 (9 1 ? 9 2 ?9 10 )

? log3 32( a1 ?a2 ???a10 ) ? 40 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? a10 ?

10(a1 ? a10 ) ? 5(a1 ? a10 ) ? 20 ,从而可 2

知 a1 ? a10 ? 4 ,根据等差数列的性质,可知 a5 ? a6 ? a1 ? a10 ? 4 ,故选 B.
4 5.已知数列 ?an ? 为等差数列, 二项式 ( x ? ) 展开式的常数项为 m , 若数列 ?an ? 的第 8 项 a8

1 x

等于函数 y ? A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【分值】5 【答案】C

1 3 m m 1 x 在点 ( , f ( )) 处的导数,则 a3 ? a13 ? a9 ? a11 ? ( 2 3 3 3



【易错点】求 a9 ?

1 a11 时容易出错。 3

【考查方向】 本题主要考查了等差数列的性质及二项式定理, 在近几年的各省高考题出现的 频率较高,常与等差数列的性质、二项式定理、三角函数等知识点交汇命题。 【解题思路】先根据二项式定理求出 a8 ,再利用导数的几何意义求出 a8 ,由等差数列的性 质即可求解。
2 2 2 4 【解析】 试题分析: 由二项式定理知二项式 ( x ? ) 展开中的常数项应该为 C4 ( x) ( ) ? 6 ,

1 x

1 x

即m ? 6, 故 y? x ? 2 ?

3 2 x 2

所以 a8 ? 6 , 由等差数列的性质可知 a3 ? a13 ? 2a8 ? 12 , ? 6,
x ?2

1 1 2 1 a9 ? a11 ? (a8 ? d ) ? (a8 ? 3d ) ? a8 ? 4 ,综上可知 a3 ? a13 ? a9 ? a11 ? 12 ? 4 ? 16 , 3 3 3 3
本题的正确选项为 C. 6.已知数列 ?an ? 是等差数列,且满足 a6 ? a20 ? 之和 S25 ? . 【分值】3 【答案】 25 【考查方向】本题主要考察了等差数列的性质、定积分的计算、前 n 项和公式等知识点。

?

?

3 0

2cos( x ? )dx ,则数列 ?an ? 的前 25 项 6

?

【易错点】不能由定积分求出 a6 ? a20 的值导致本题出错。 【解题思路】先根据定积分求出 a6 ? a20 ? 2 ,再利用等差数列的性质及求和公式即可求出 前 25 项之和。

【解析】试题分析:由

?

?

3 0

2cos( x ? )dx ? 2sin( x ? ) ? 2 可知 a6 ? a20 ? 2 ,又因为数 6 6 0
25(a1 ? a25 ) 25(a6 ? a20 ) ? ? 25 。 2 2
2

?

?

?
3

列 ?an ? 是等差数列,所以数列的前 25 项和 S 25 ?

7.已知数列 {an } 是各项不为 0 的等差数列,满足 2a5 ? a7 ? 2a9 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列 且 2b7 ? a3 ? a11 ,则 log2 ? b5 ? b9 ? ? 。 【分值】3 【答案】 4 【考查方向】本题主要考察了等差数列、等比数列的性质及对数的运算。 【易错点】不知如何应用 2a5 ? a7 ? 2a9 ? 0 导致本题出错。
2

【解题思路】先根据 2a5 ? a7 ? 2a9 ? 0 求出 a7 ,再利用等比数列的性质求 b5 ? b9 。
2

【解析】试题分析:依题意可知 2a5 ? a7 2 ? 2a9 ? 0 ,所以 a7 ? 2 ? a5 ? a9 ? ? 4a7 ,解得
2

a7 ? 4 ,所以 b7 ?

a3 ? a11 2 ? a7 ? 4 ,因为数列 {bn } 是等比数列,故 b5 ? b9 ? b7 ? 16 ,所 2

以 log( ? log2 16 ? 4 。 2 b5 ? b9) 8.已 知 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , 且 满 足 a3 ? a7 ?

4? , 若 a2 ? a5 ? a8 ? m ,则 9

?

m

0

2 c o sx (? 2

?
4

dx ? ).

【分值】3 【答案】 ? 3 【考查方向】本题主要考察了等差数列的性质、定积分的计算。 【易错点】求 cos ? a2 ? a5 ? a8 ? 的值时容易出错。

【解题思路】先根据等差数列的性质求出 a5 ? 用定积分的计算公式即可求解。

?
9

,从而可知 a2 ? a5 ? a8 ? 3a5 ?

?
2

,再利

【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 等 差 数 列 的 性 质 得 a3 ? a7 ? 2a5 ?

2? m ? a2 ? a5 ? a8 ? 3 a5 ? ,因此 3

4? 2? , 所 以 a5 ? ,故 9 9

?

m

0

5? ? 2cos(2 x ? )dx ? sin(2 x ? ) ? sin ? sin ? ? 3 . 3 3 0 3 3

?

?

2? 3

9.已知数列 ?a n ?是一个单调递增的等差数列, 复数 z1 ? a2 a4 ? 10i, z2 ? 21 ? (a1 ? a5 )i , 且 z1 与 z2 互为共轭复数. (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2) 若数列 bn ? 满足 bn ? S2 n ?3 ? 前 n 项和 Tn . 【分值】6 【答案】 (1) an ? 2n ? 1; (2)

?

2n ? 3 , 其中 Sn 是数列 ?a n ?的前 n 项的和, 求数列 ?bn ? 的 an?1

n . 2n ? 3

【易错点】裂项相消法求数列和 bn ? 的前 n 项和时容易计算出错。 【考查方向】 本题主要考察了等差数列的性质、 复数的运算、 裂项相消法求数列的前 n 项和。 【解题思路】 (I)由 z1 与 z2 互为共轭复数可得: a2 a4 ? 21 , a1 ? a5 ? 10 ,利用等差数列 的性质可求得数列 ?a n ?的通项公式 an ; (2)对于数列 ?bn ?,可先求得其的通项公式,再利 用裂项相消法求 Tn . 【解析】试题解析: ( 1 )设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,则由 z1 与 z2 互为共轭复数可知

?

? a ? 21 ?a a +a ? a +a =10
2 4 1 5 2 4

, 又因为数列 {an } 单调递增, 所以可求得

3 ?aa ? ?7
2 4

, 所以 d ?

a4 ? a2 ? 2, 4?2

故 an ? 3 ? 2(n ? 2) ? 2n ?1 。

(2) 由数列 ?a n ?是等差数列可知 an ?

S 2 n ?1 S 2n ? 3 , 因此 an ? 2 ? 2 n ?3 , 由 bn ? S2 n ?3 ? 可 2n ? 1 2n ? 3 an?1

知 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , an?1an? 2 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ? ??? ? )? ( ? )? 。 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 2 n ? 3

所以 Tn ?

10.已知数列 {an } 是首项为 4 的等比数列, S n 是其前 n 项和,且 log3 S6 ? 2 ? log3 S3 ,数 列 ?bn ? 满足 2bn ? log 2 an ? 1. (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若数列 {cn } 满足 log 2 cn ? log 2 bn ? n ,求数列 {cn } 的前 n 项和. 【分值】6 【答案】 (1) bn ?

1 n?4 n ?1 ; (2) Tn ? 2 ? n ?1 . 2 2

【易错点】错位相减法求数列 ?

b ? bn ? 的前 n 项和最后整理时容易出错。 cn ? n n ?1 ? 2n ?2 ?

【考查方向】本题主要考察了等差数列的性质及错位相减法求数列的前 n 项和. 【解题思路】 (1)根据数列 {an } 等比求出 an ,再由 2bn ? log 2 an ? 1即可求出 bn ; (2)整 理数列 cn ?

bn n?2 的通项公式得 cn ? n ?1 ,结合特点可采用错位相减法求和。 n 2 2


【解析】试题解析: (1)设数列 {an } 的公比为 q ,则由 log3 S6 ? 2 ? log3 S3 知 S6 ? 9S3

8 (1 ? 6 q ) S 1 ? q6 1? q ? ? 1 ? q3 ? 9 , 解 得 q ? 2 , 故 an ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 , 则 由 所以 6 ? 3 3 S3 8(1 ? q ) 1 ? q 1? q

2bn ? l o 2 gan ? 知 1 bn ?

log 2 an ? 1 n n ? ? 1 ,所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? ? 1 。 2 2 2
bn n ? 2 ? n ?1 , 2n 2

(2)设 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,由 log 2 cn ? log 2 bn ? n 知 cn ? 则 Tn ?

3 4 5 n ?1 n ? 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ? n?1 , Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ??? ? n?1 ? n? 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3 ?1 1 ? n?2 两式相减得 Tn ? ? ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? ? n ? 2 2 4 ?2 2 ? 2
? 3 1? 1 ? n?2 n?4 ? ?1 ? n ?1 ? ? n ? 2 .所以 Tn ? 2 ? n ?1 。 4 4? 2 ? 2 2


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