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20071121高一数学(1.1-1空间几何体及棱柱、棱锥的结构特征)


1.1 空间几何体的结构

空间几何体及棱柱、 空间几何体及棱柱、棱锥的结构特征

问题提出

? 1 ? 5730 p=? ? ?2?

t

1.在平面几何中,我们认识了三角形, 1.在平面几何中,我们认识了三角形, 在平面几何中 正方形,矩形,菱形,梯形, 正方形,矩形,菱形,梯形,圆,扇形 等平面图形. 等平面图形.那么对空间中各种各样的几 何体,我们如何认识它们的结构特征? 何体,我们如何认识它们的结构特征? 2.对空间中不同形状、 2.对空间中不同形状、大小的几何体 对空间中不同形状 我们如何理解它们的联系和区别? 我们如何理解它们的联系和区别?

知识探究( 知识探究(一):空间几何体的类型

思考1 思考1:在我们周围存在着各种各样的物 它们都占据着空间的一部分. 体,它们都占据着空间的一部分.如果我 们只考虑这些物体的形状和大小, 们只考虑这些物体的形状和大小,而不 考虑其他因素, 考虑其他因素,那么由这些抽象出来的 空间图形就叫做空间几何体 空间几何体. 空间图形就叫做空间几何体. 思考2 观察下列图片, 思考2:观察下列图片,你知道这图片在 几何中分别叫什么名称吗? 几何中分别叫什么名称吗?

图(2)(5)(7)(9)(13) )(5)(7)(9)(13) 13 14)(15)(16)有何共同特点? )(15)(16 (14)(15)(16)有何共同特点?这 些几何体可以统一叫什么名称? 些几何体可以统一叫什么名称? 多面体 图(1)(3)(4)(6)(8)(10) )(3)(4)(6)(8)(10) 10 11)(12)有何共同特点? )(12 (11)(12)有何共同特点?这些几何 体可以统一叫什么名称? 体可以统一叫什么名称? 旋转体

一般地,怎样定义多面体? 一般地,怎样定义多面体?围成多 面体的各个多边形, 面体的各个多边形,相邻两个多边形的 公共边, 公共边,以及这些公共边的公共顶点分 别叫什么名称? 别叫什么名称?
顶点





由若干个平面 多边形围成的 几何体叫做多 几何体叫做多 面体 .

一般地,怎样定义旋转体? 一般地,怎样定义旋转体?



由一个平面图形绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的封闭几何体 叫做旋转体 叫做旋转体

知识探究( 知识探究(二):棱柱的结构特征

我们把下面的多面体取名为棱柱, 我们把下面的多面体取名为棱柱, 你能说一说棱柱的结构有那些特征吗? 你能说一说棱柱的结构有那些特征吗? 据此你能给棱柱下一个定义吗? 据此你能给棱柱下一个定义吗?

有两个面互相平行, 有两个面互相平行,其余各面都是四边 形,每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面围成的多面体叫做棱柱 棱柱. 平行,由这些面围成的多面体叫做棱柱.

为了研究方便, 为了研究方便,我们把棱柱中两个互相 平行的面叫做棱柱的底面 底面, 平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱 柱的侧面 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧 侧面, 柱的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 顶点. 棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. 你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶 你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、 点吗? 点吗?
顶点 侧面

侧棱

底面

下列多面体都是棱柱吗? 下列多面体都是棱柱吗?如何在名 称上区分这些棱柱?如何用符号表示? 称上区分这些棱柱?如何用符号表示?
D1 E1 A1 C1 B1

C1 B1 A1 A
D1 C1 B1 C A D A1 B1

C B

D E

C D1 B A1 D


C1



A

C B


A



B

棱柱上、下两个底面的形状大小如何? 棱柱上、下两个底面的形状大小如何? 各侧面的形状如何? 各侧面的形状如何?

两底面是全等的多边形, 两底面是全等的多边形 各侧面都是平行四边形

有两个面互相平行, 有两个面互相平行,其余各面都是 平行四边形的多面体一定是棱柱吗? 平行四边形的多面体一定是棱柱吗?

知识探究( 知识探究(三): 棱锥的结构特征

我们把下面的多面体取名为棱锥, 我们把下面的多面体取名为棱锥, 你能说一说棱锥的结构有那些特征吗? 你能说一说棱锥的结构有那些特征吗? 据此你能给棱锥下一个定义吗? 据此你能给棱锥下一个定义吗?

有一个面是多边形, 有一个面是多边形,其余各面都是有 一个公共顶点的三角形, 一个公共顶点的三角形,由这些面围 成的多面体叫做棱锥 棱锥. 成的多面体叫做棱锥

参照棱柱的说法,棱锥的底面、侧面、 参照棱柱的说法,棱锥的底面、侧面、 侧棱、顶点分别是什么含义? 侧棱、顶点分别是什么含义?
顶点 侧面 底面

侧棱

多边形面叫做棱锥的底面, 多边形面叫做棱锥的底面,有公共顶点的各三角 底面 形面叫做棱锥的侧面 侧面, 形面叫做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱 锥的侧棱 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点 侧棱, 顶点. 锥的侧棱,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.

下列多面体都是棱锥吗? 下列多面体都是棱锥吗?如何在名称 上区分这些棱锥?如何用符号表示? 上区分这些棱锥?如何用符号表示?
S

A S C B B

D C

D C E F

B

A A S

四面体

一个棱锥至少有几个面?一个N 一个棱锥至少有几个面?一个N棱锥 有分别有多少个底面和侧面? 有分别有多少个底面和侧面?有多少条 侧棱?有多少个顶点? 侧棱?有多少个顶点?

至少有4个面; 个底面, 至少有4个面;1个底面,N个侧 条侧棱, 个顶点. 面,N条侧棱,1个顶点.

用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥,截面与底面的形状关系如何? 棱锥,截面与底面的形状关系如何?

相似多边形

理论迁移

如图,截面BCEF BCEF将长方体分割成 例1 如图,截面BCEF将长方体分割成 两部分,这两部分是否为棱柱? 两部分,这两部分是否为棱柱?
D1
A1

E

C1 B1 C

F D

A



B



例2 一个三棱柱可以分割成几个三棱 锥?
C1 A1 B1

C

B

A

棱台、圆柱、圆锥、 棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征

C1 B1 A1
S

C
D1 C1 B1

B
A1

三棱柱

A
C D C

B

A

B

四棱柱

A

三棱锥(四面体)

知识探究(一):棱台的结构特征 知识探究( ):棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥, 棱锥,截面与底面之间的部分形成另一 个多面体,这样的多面体叫做棱台 棱台. 个多面体,这样的多面体叫做棱台.那 么棱台有哪些结构特征? 么棱台有哪些结构特征? 有两个面是互相平行的相 似多边形, 似多边形,其余各面都是 梯形, 梯形,每相邻两个梯形的 公共腰的延长线共点. 公共腰的延长线共点

参照棱柱的说法,棱台的底面、 参照棱柱的说法,棱台的底面、侧 面、侧棱、顶点分别是什么含义? 侧棱、顶点分别是什么含义?
上底面 顶点 侧面

侧棱

下底面

原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和 上底面,其余各面叫做棱台的侧面 侧面, 上底面,其余各面叫做棱台的侧面,相邻侧面的 公共边叫做棱台的侧棱 侧棱, 公共边叫做棱台的侧棱,侧面与底面的公共顶点 叫做棱台的顶点 顶点. 叫做棱台的顶点

下列多面体一定是棱台吗? 下列多面体一定是棱台吗?如何判 断?





三棱台、四棱台、五棱台、……分 三棱台、四棱台、五棱台、……分 别是什么含义? 别是什么含义?

知识探究( 知识探究(二):圆柱的结构特征

圆柱, 如图所示的空间几何体叫做圆柱 如图所示的空间几何体叫做圆柱, 那么圆柱是怎样形成的呢? 那么圆柱是怎样形成的呢?

以矩形的一边所在直线为旋转轴, 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其 余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 余三边旋转形成的面所围成的旋转体

知识探究( 知识探究(三):圆锥的结构特征

将一个直角三角形以它的一条直角 边为轴旋转一周, 边为轴旋转一周,那么其余两边旋转形 成的面所围成的旋转体是一个什么样的 空间图形? 空间图形?

以直角三角形的一条直角边所在直 线为旋转轴, 线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所 围成的旋转体叫做圆锥 圆锥, 围成的旋转体叫做圆锥,那么如何定义 圆锥的轴、底面、侧面、母线? 圆锥的轴、底面、侧面、母线?

顶点

轴 母线
底面

侧面

母线

旋转轴叫做圆锥的轴 旋转轴叫做圆锥的轴,垂直于轴的边旋转 而成的圆面叫做圆锥的底面 底面, 而成的圆面叫做圆锥的底面,斜边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面 侧面, 成的曲面叫做圆锥的侧面,斜边在旋转中 的任何位置叫做圆锥侧面的母线 母线. 的任何位置叫做圆锥侧面的母线.

知识探究( 知识探究(四):圆台的结构特征

思考1:用一个平行于圆锥底面的平面去 思考1:用一个平行于圆锥底面的平面去 1: 截圆锥,截面与底面之间的部分叫做圆 截圆锥,截面与底面之间的部分叫做圆 圆台可以由什么平面图形旋转而形成? 台.圆台可以由什么平面图形旋转而形成?

思考2:与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、 思考2:与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、 2:与圆柱和圆锥一样 底面、侧面、母线, 底面、侧面、母线,它们的含义分别如 何?
上底面 侧面

母线



下底面

理论迁移

将下列平面图形绕直线AB AB旋转 例1 将下列平面图形绕直线AB旋转 一周,所得的几何体分别是什么? 一周,所得的几何体分别是什么?
B B A A 图1 图2 A 图3 B

B

B A

B A 图3

A 图1 B 图2 B A A 图1 图2 图3

B A

棱柱、棱锥、 棱柱、棱锥、棱台是三个基本的多面 圆柱、圆锥、 体,圆柱、圆锥、圆台是三个基本的旋 转体,其中棱柱和圆柱统称为柱体 柱体, 转体,其中棱柱和圆柱统称为柱体,棱 锥和圆锥统称为锥体 锥体, 锥和圆锥统称为锥体,棱台和圆台统称 台体.除此之外, 为台体.除此之外,在我们的生活中还有 一个最常见的空间几何体是什么? 一个最常见的空间几何体是什么? 球是多面体还是旋转体? 球是多面体还是旋转体?球有什么 结构特征? 结构特征?

知识探究( 知识探究(五):球的结构特征

现实生活中有哪些物体是球状几何体? 现实生活中有哪些物体是球状几何体?
NBA

从旋转的角度分析, 从旋转的角度分析,球是由什么图 形绕哪条直线旋转而成的? 形绕哪条直线旋转而成的?

以半圆的直径所在直线为旋转轴, 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆 面旋转一周形成的旋转体叫做球体 球体, 面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简 称球.

半圆的圆心、半径、直径, 半圆的圆心、半径、直径,在球体 中分别叫做球的球心 球的半径 球心、 半径、 中分别叫做球的球心、球的半径、球的 直径,球的外表面叫做球面 球面. 直径,球的外表面叫做球面.那么球的半 径还可怎样理解? 径还可怎样理解?
半径

球面上的点到 球心的距离
直径

O

球心

用一个平面去截一个球, 用一个平面去截一个球,截面是什么 图形? 图形?
O

设球的半径为R 截面圆半径为r 设球的半径为R,截面圆半径为r, 球心与截面圆圆心的距离为d 球心与截面圆圆心的距离为d,则R、r、 三者之间的关系如何? d三者之间的关系如何?

R P r

O d


r = R ?d
2

2

柱体 锥体 台体 球体

棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台

知识探究( 知识探究(六):简单组合体的结构特征 思考1:棱柱、棱锥、棱台都是多面体, 思考1:棱柱、棱锥、棱台都是多面体,但它 1:棱柱 们有本质的区别. 们有本质的区别.如果棱台上底面的大小发生 变化,它与棱柱、棱锥有什么关系? 变化,它与棱柱、棱锥有什么关系? 思考2:现实世界中几何体的形状各种各样, 思考2:现实世界中几何体的形状各种各样, 2:现实世界中几何体的形状各种各样 除了柱体、锥体、 除了柱体、锥体、台体和球体等简单几何体 外,还有大量的几何体是由这些简单几何体 简单组合体. 组合而成的,这些几何体叫做简单组合体 组合而成的,这些几何体叫做简单组合体.你 能说出周围物体所示的几何体是由哪些简单 几何体组合而成的吗? 几何体组合而成的吗?

思考3:试说明下列几何体分别是怎样组 思考3:试说明下列几何体分别是怎样组 3: 成的? 成的?

思考4:一般地, 思考4:一般地,简单组合体的构成有那 4:一般地 几种基本形式? 几种基本形式? 拼接, 拼接,截割 思考5:试说明如图所示的几何体的结构 思考5:试说明如图所示的几何体的结构 5: 特征. 特征.

理论迁移

例1 如图,AB为圆弧BC所在圆的直 如图,AB为圆弧BC所在圆的直 为圆弧BC o 径, BAC = 45 .将这个平面图形绕直线 ∠ AB旋转一周,得到一个组合体,试说明 AB旋转一周,得到一个组合体, 旋转一周 这个组合体的结构特征. 这个组合体的结构特征.
A D B C

如图,四边形ABCD为平行四边形, ABCD为平行四边形 例2 如图,四边形ABCD为平行四边形, EF∥AB, EF<AB AB, EF∥AB,且EF AB,试说明这个简单组合 体的结构特征. 体的结构特征.
E F E F

D

C

D

C

A

B

A

B

已知球的半径为10cm, 已知球的半径为10cm,一个截面圆 10cm 的面积是 36 cm2,则球心到截面圆圆 π 8cm 心的距离是 .

R P r

O d



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