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【精选】2019高考数学二轮复习专题三数列第二讲数列的综合应用课件理_图文

专题三 数列 第二讲 数列的综合应用
C目录 ONTENTS

考点一 考点二 考点三 课后训练 提升能力

考情分析 明确方向

卷 考查角度及 年份
别 命题位置

命题分析及学科素养

命题分析

数列在解答题中的考查常从数列的相关项以

及关系式,或数列的前 n 项和与第 n 项的关

等差数列的 系入手,结合数列的递推关系式与等差数列

Ⅱ 通项公式和 或等比数列的定义展开,求解数列的通项、 2018
卷 前 n 项和公 前 n 项和,有时与参数的求解、数列不等式

式·T17

的证明等加以综合.试题难度中等. 学科素养

通过递推关系求通项,根据通项结构选择恰

当的求和方法求和.

考情分析 明确方向

卷 考查角度及 年份
别 命题位置

命题分析及学科素养

等差数列的 命题分析



基本运

数列在解答题中的考查常从数列的相关项



算·T17

以及关系式,或数列的前 n 项和与第 n 项的

关系入手,结合数列的递推关系式与等差数

列或等比数列的定义展开,求解数列的通

2016

等比数列的

项、前 n 项和,有时与参数的求解、数列不

Ⅲ 通项公式、

等式的证明等加以综合.试题难度中等.

卷 an 与 Sn 的关 学科素养

系·T17

通过递推关系求通项,根据通项结构选择恰

当的求和方法求和.

考点一 由递推关系求通项
[悟通——方法结论] 求数列通项常用的方法 (1)定义法:①形如 an+1=an+C(C 为常数),直接利用定义判断 其为等差数列.②形如 an+1=kan(k 为非零常数)且首项不为零, 直接利用定义判断其为等比数列. (2)叠加法:形如 an+1=an+f(n),利用 an=a1+(a2-a1)+(a3- a2)+…+(an-an-1),求其通项公式. (3)叠乘法:形如aan+n 1=f(n)≠0,利用 an=a1·aa21·aa32·…·aan-n 1,求其 通项公式.

考点一 由递推关系求通项
(4)待定系数法:形如 an+1=pan+q(其中 p,q 均为常数,pq(p -1)≠0),先用待定系数法把原递推公式转化为 an+1-t=p(an -t),其中 t=1-q p,再转化为等比数列求解. (5)构造法:形如 an+1=pan+qn(其中 p,q 均为常数,pq(p- 1)≠0),先在原递推公式两边同除以 qn+1,得aqnn+ +11=pq·aqnn+1q,构 造新数列{bn}???其中bn=aqnn???,得 bn+1=pq·bn+1q,接下来用待定系 数法求解.

考点一 由递推关系求通项
[全练——快速解答]

由题意可知,数列{an}满足条件12a1+212a2+213a3+…+21nan=2n+

1.(2018·洛
5,则 n≥2

阳时四,有校12联a1+考21)2已a2+知21数3a3列+{…an+}满2n1-足1a条n-1件=122(an1-+121)+2a25+,213

a3

+n≥…2+,21nan=2n+5,则数列{an}的通项公式为( B )

A两 ∴.式 aan=n相=2减n2+可n1+,得 1 n,≥a22nn,=n2B∈n.+N*5a.-n=2(?????n12-4n+,11),-n=n5≥=1,22,

C当.na=n=1 2时n ,a21=7,∴Da.1=an1=4,2n+2

综上可知,数列{an}的通项公式为 an=?????124n+,1,n=n≥1,2.

考点一 由递推关系求通项
[全练——快速解答]
2.(2018·潮州月考)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1 =2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列{an}的通项公式是________.
解析:法一:由 an+1=2Sn+1 可得 an=2Sn-1+1(n≥2),两式 相减得 an+1-an=2an,即 an+1=3an(n≥2). 又 a2=2S1+1=3, ∴a2=3a1,故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴an=3n-1.

考点一 由递推关系求通项
法二:由于 an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn+1, 所以 Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1, 所以 Sn+1+12=3???Sn+12???, 所以数列???Sn+12???为首项是 S1+12=32,公比为 3 的等比数列,故 Sn+12=32×3n-1=12×3n, 即 Sn=12×3n-12.

考点一 由递推关系求通项
所以,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-1, 由 n=1 时 a1=1 也适合这个公式,知所求的数列{an}的通项公 式是 an=3n-1. 答案:an=3n-1

考点一 由递推关系求通项
3.(2018·福州模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an -1. (1)证明数列{an}是等比数列; (2)设 bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点一 由递推关系求通项
解析:(1)证明:当 n=1 时,a1=S1=2a1-1,所以 a1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1), 所以 an=2an-1, 所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)知,an=2n-1, 所以 bn=(2n-1)×2n-1, 所以 Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1 ①

考点一 由递推关系求通项
2Tn=1×2+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n② 由①-②得 -Tn=1+2×(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n =1+2×2-12-n-21×2-(2n-1)×2n =(3-2n)×2n-3, 所以 Tn=(2n-3)×2n+3.

考点一 由递推关系求通项
由 an 与 Sn 关系求通项公式的注意事项 (1)应重视分类讨论思想的应用,分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论, 特别注意 an=Sn-Sn-1 中需 n≥2. (2)由 Sn-Sn-1=an 推得 an,当 n=1 时,a1 也适合,则需统一 “合写”.

考点一 由递推关系求通项
(3)由 Sn-Sn-1=an 推得 an,当 n=1 时,a1 不适合,则数列的 通项公式应分段表示(“分写”),即 an=?????SS1n,-nS=n-11,,n≥2.

考点二 数列求和
[悟通——方法结论] 常用求和方法
(1)错位相减法:适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对 应项的乘积组成的数列.把 Sn=a1+a2+…+an 两边同乘以相 应等比数列的公比 q,得到 qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位 相减即可求出 Sn.

考点二 数列求和
(2)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和的形 式,然后通过累加抵消中间若干项的方法.裂项相消法适用于 形如?????anacn+1?????(其中{an}是各项均不为零的等差数列,c 为常数) 的数列. (3)拆项分组法:把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组 合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.

考点二 数列求和

(2017·高 考 全 国 卷 Ⅲ )(12 分 ) 设 数 列 {an} 满 足

(1)求{an}的通项公式;

(2)求数列

的前 n 项和.

考点二 数列求和

[学审题] 条件信息
由?a1+3a2 +…+(2n- 1)an=2n
由??????2na+n 1?????

想到方法

注意什么

an 与 Sn 的关系求解 分 n=1,n≥2 讨论

根据通项结构选裂 裂项时消去项与保留

项求和

项的首尾对应

仅做学习交流,谢谢!
语语文文::初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材,,也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文,,还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材,,小小学学有有1122种种版版本本,,初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订,,和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版,,覆覆盖盖面面比比较较广广,,小小学学约约占占5500%%,,初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋,,小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材,,还还是是先先学学拼拼音音,,后后学学识识字字。。政政治治::小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本,,小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》,,改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史::初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置,,而而是是以以时时间间为为主主线线,,按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版,,你你知知道道多多少少??为为什什么么要要改改版版??跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧!!一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字,,再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的,,但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号,,在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少,,教教学学顺顺序序换换一一换换,,其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字,,就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少,,由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字,,比比如如““地地””字字,,对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生,,在在童童话话书书、、绘绘本本里里 可可以以看看到到,,电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前,,课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字,,比比如如““叉叉””字字,,结结构构比比较较简简单单,,但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中,,增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重,,减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目,,引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中,,有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事,,看看得得出出来来,,语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达,,通通过过读读故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等,,提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育,,把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目,,激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣,,拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担,,其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思,,可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等,,也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事,,表表达达是是不不一一样样的的,,有有人人比比较较精精炼炼,,有有人人比比较较口口语语化化,,儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同,,就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里,,新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的,,一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法,,笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则,,新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候,,就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快,,孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以,,写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音??一一位位语语文文教教研研员员说说,,孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育,, 他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了,,一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字,,很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥,,学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字,,小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的,,学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说::““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文,,先先学学拼拼音音再再识识字字,,刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学,,压压力力会会比比较较大大,,很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感,,家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字,,可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐,,消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材,,字字都都比比较较简简单单,,很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
仅做学习交流,谢谢!

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考点二 数列求和

[规范解答] (1)因为 a1+3a2+…+(2n -1)an=2n, 故当 n≥2 时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).
(2 分)

两式相减得(2n -1)an=2,

所以 an=2n2-1(n≥2).

(4 分)

又由题设可得 a1=2,满足上式,

从而{an}的通项公式为 an=2n2-1.

(6 分)

考点二 数列求和
(2)记{2na+n 1}的前 n 项和为 Sn. 由(1)知2na+n 1=?2n+1?2?2n-1?=2n1-1-2n1+1.
(10 分) 则 Sn=11-13+13-15+…+2n1-1-2n1+1=2n2+n 1.
(12 分)

考点二 数列求和
1.分类讨论思想在数列求和中的应用 (1)当数列通项中含有(-1)n 时,在求和时要注意分 n 为奇数与 偶数处理. (2)对已知数列满足aan+n 2=q,在求{an}的前 n 项和时分奇数项和 偶数项分别求和. 2.学科素养:通过数列求和着重考查学生逻辑推理与数学运 算能力.

考点二 数列求和
[练通——即学即用]

1.由 +已5题2知+意函…,数+a1f9+(9n2a)-=2+1?????0n- a032+?2n当-2…?当n10为+n02奇 为a+10数 偶01=0时 数112时 ?2=,-?-,22(-1+且222+a)n+=32(+f3(+n3)22+-)-f4(2n…-+-412),

则(9a91++a120+0)a+3+(1…01++a11000=0)(=B- ()1 + 2 + … + 99 + 100) + (2 + 3

A.+0…+100+101)=B-.11+00101=100,故选 B.

C.-100

D.10 200

考点二 数列求和
[练通——即学即用]

2.∵已a知n=数(-列1{a)nn(}3的n-通2项),公∴式a是1+ana=2+(-…1+)n(a31n0-=2-),1+则4a-1+7a+2+10… +-a10…等-于2(5 +A 2)8 = ( - 1 + 4) + ( - 7 + 10) + … + ( - 25 + 28) =

A.3×155=15.

B.12

C.-12

D.-15

考点二 数列求和
3.(2018·张掖诊断)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an=-3Sn +4,bn=-log2an+1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn=2bn+n 1+n?n1+1?,其中 n∈N*,若数列{cn}的前 n 项和 为 Tn,求 Tn.

考点二 数列求和
解析:(1)由 a1=-3a1+4,得 a1=1, 由 an=-3Sn+4, 知 an+1=-3Sn+1+4, 两式相减并化简得 an+1=14an, ∴an=???14???n-1, bn=-log2an+1=-log2???14???n=2n.

考点二 数列求和
(2)由题意知,cn=2nn+n?n1+1?. 令 Hn=12+222+233+…+2nn,① 则12Hn=212+223+…+n-2n 1+2nn+1,② ①-②得, 12Hn=12+212+213+…+21n-2nn+1=1-n2+n+12. ∴Hn=2-n+2n 2.

考点二 数列求和
又 Mn=1-12+12-13+…+n1-n+1 1=1-n+1 1=n+n 1, ∴Tn=Hn+Mn=2-n+2n 2+n+n 1.

考点三 数列的综合应用
[悟通——方法结论] 数列中的综合问题,大多与函数、方程、不等式及解析几何交 汇,考查利用函数与方程的思想及分类讨论思想解决数列中的 问题,用不等式的方法研究数列的性质,数列与解析几何交汇, 主要涉及点列问题.

考点三 数列的综合应用

因为

(a1n)=(20n1+181·德,州所模以拟O→)A已n =知(点n ,On为+1 坐1 ) 标,原所点以,c点os


Aθnn(=n,|OO→aAAn)nn(|·|nii|



∈ 是向 N*量)n为2nO+→+函1A?n1数n+ 与1 1fi(?x2的),=夹因x角+1为,1则的数0图≤列象θn???上≤csionπ的s θ,θ任nn???所意的一前以点2s,0in1向5 θ项量n =的i=和1(为0-,1(c)o,Cs2θθnn) =

A.2n2+n?n+1B1.?2,22 00所1145以

cos sin

θn= θn

n?Cn1+.122?=0011n156-n+1 1,所以Dcs.ions1θθ11+csions

θ2 θ2

+…+csions

θ2 θ2

001155=1-12+12-13+…+2

0115-2

0116=1-2

0116=22

015 016.

考点三 数列的综合应用
(2)(2018·日照模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:2Sn+an =1. ①求数列{an}的通项公式; ②设 bn=?1+an2?a?n1++1 an+1?,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: Tn<14.

考点三 数列的综合应用
解析:①因为 2Sn+an=1,所以 2Sn+1+an+1=1, 两式相减可得 2an+1+an+1-an=0,即 3an+1=an,即aan+n 1=13, 又 2S1+a1=1,所以 a1=13, 所以数列{an}是首项、公比均为13的等比数列. 故 an=13·(13)n-1=(13)n,数列{an}的通项公式为 an=(13)n. ②证明:因为 bn=?1+an2?a?n1++1 an+1?,

考点三 数列的综合应用

所以

bn



2·?13?n+1 [1+?13?n][1+?13?n+1]



2 3n+1
3n+1 3n+1+1 3n · 3n+1



?3n+1?2··?33nn+1+1?=3n+1 1-3n+11+1.

故 Tn=b1+b2+…+bn=(31+1 1-32+1 1)+(32+1 1-33+1 1)+…

+(3n+1 1-3n+11+1)=14-3n+11+1<14.

所以 Tn<14.

考点三 数列的综合应用
数列与不等式的交汇多为不等式恒成立与证明,在求解时要注 意等价转化即分离参数法与放缩法的技巧应用.

考点三 数列的综合应用
[练通——即学即用]
设等比数列{an}的公比为 q,且 q>0,
1.∵(a22001158q·2宝=鸡a2摸015底q+)正2a2项01等5,比数列{an}中,a2 017=a2 016+2a2 015,
∴q2-q-2=0,∴q=2 或 q=-1(舍去),
若又amaa1nq=m-11·6aa1q21n,-1则=m146+a21,n1的最小值等于( B ) A.∴ ∴5 1???2m4m++n-n12???=·m1+66,n=∴16m???5B++.321n4m3-n+2=mn4???,m+n=6, C.≥3 16???5+2 4mn·mn ???=D32,. 6当且仅当 m=4,n=2 时等号成立.故m4 +
n1的最小值为32.

考点三 数列的综合应用
2.(2018·烟台模拟)设函数 f(x)=23+1x(x>0),数列{an}满足 a1 =1,an=f(an1-1),n∈N*,且 n≥2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对 n∈N*,设 Sn=a11a2+a21a3+a31a4+…+ana1n+1,若 Sn≥43nt 恒 成立,求实数 t 的取值范围.

考点三 数列的综合应用
解析:(1)由 an=f(an1-1)得,an-an-1=23,n∈N*,n≥2, 所以{an}是首项为 1,公差为23的等差数列. 所以 an=1+23(n-1)=2n3+1,n∈N*. (2)因为 an=2n3+1,所以 an+1=2n3+3, 所以ana1n+1=?2n+1?9?2n+3?=92(2n1+1-2n1+3). 则 Sn=a11a2+a21a3+a31a4+…+ana1n+1=92(13-2n1+3)=2n3+n 3.

考点三 数列的综合应用
故 Sn≥43nt 恒成立等价于2n3+n 3≥43nt ,即 t≤2n4+n23恒成立. 令 g(x)=2x4+x2 3(x>0),则 g′(x)=8?2xx?x++33?2?>0, 所以 g(x)=2x4+x23(x>0)为单调递增函数. 所以当 n=1 时,2n4+n23取得最小值,且(2n4+n23)min=45. 所以 t≤45,即实数 t 的取值范围是(-∞,45].


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