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广西来宾高级中学2016届高三适应性考试数学(理)试题Word版含答案.doc

来宾高级中学 2016 届高三数学高考前适应性考试 (理科)数学试卷
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? y | y ? ? x ? 5 , B ? x | y ?
2

?

?

?

x ?3 , A? B ? (
D. ?3,5? )

?



A. ?1, ?? ? 2.若复数 z 满足 z

B. ?1, 3?

C. ? 3,5?

?1? i ? ? 1? i ? i ,则的实部为(
B. 2 ? 1 C. 1

A.

2 ?1 2

D.

2 ?1 2


3.下列函数中,既是奇函数又在区间 (0, A. y ? x
3

? ) 上是减函数的是( 2

B. y ? ? sin x

C. y ? 2 x ? 1 )

D. y ? cos x

4.以下四个命题中,真命题的是( A. ?x ? (0,? ) , sin x ? tan x

B. “对任意的 x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“存在 x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 ” C. ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数 D. ?ABC 中, “ sin A ? sin B ? cos A ? cos B ”是“ C ?
7 2 8

?
2

”的充要条件 )

5.若 ?1 ? x ??1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? ? ? a8 x ,则 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a7 的值是( A. ? 2 B. ? 3 C.125 D. ? 131 )

6.执行如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值是( A.2 B.-

1 2

C.-3

D.

1 3

主视图

左视图

7.若向量 a , b 满足 | a |?| b |? 2 , a与b 的夹角为 60?,

a 在 a +b 上的投影等于 (
A.
2

) B.2 C. 3 D.4+2 3

俯视图

8.如图所示,网格纸表示边长为 1 的正方形,粗实线画出的是

某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( A. 6 10 + 3 5 +15 C. 6 10 + 3 5 +15 B. 6 10 +3 5 +14 D. 4 10 + 3 5 +15



9.已知函数 f ( x) ? sin x ? 2 x ,且 a ? f (ln ), b ? f (log 2 ), c ? f (2 0.3 ) ,则( A. c ? a ? b B. a ? c ? b C. a ? b ? c D. b ? a ? c

3 2

1 3



2 10 . 在 某 次 联 考 测 试 中 , 学 生 数 学 成 绩 X ~ N 100,?

?

? ?? ? 0 ?

, 若

P(80 ? X ? 120) ? 0.8, 则 P(0 ? X ? 80) 等于( )
A.0.05 11. 设点 A 、F B.0.1 C.0.15 D.0.2

? c,0? 分别是双曲线

x2 y 2 a2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) x ? 的右顶点、 右焦点 , 直线 a 2 b2 c

交该双曲线的一条渐近线于点 P .若 ?PAF 是等腰三角形 , 则此双曲线的离心率为 ( A. 3 ) B. 3 C.
2

D. 2

12.定义在 R 上的函数

f ? x ? 对任意 x1, x2 ? x1 ? x2 ? 都有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 ,且函数

y ? f ? x ? 1? 的图象关于(1,0)成中心对称,若 s, t 满足不等式
f ? s 2 ? 2s ? ? ? f ? 2t ? t 2 ? ,则当 1 ? s ? 4 时,
A.? ?3, ?

t ? 2s 的取值范围是( ) s ?t
C.? ?5, ?

? ?

1? ? 2?

B.? ?3, ?

? ?

1? 2? ?

? ?

1? ? 2?

D.? ?5, ?

? ?

1? 2? ?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的横线上。 13.已知边长为 3 的正 ?ABC 的三个顶点都在球 O 的表面上,且 OA 与平面 ABC 所成的 角为 30? ,则球 O 的表面积为________.

? y?x ? 14. 设 m ? 1 ,当实数 x , y 满足不等式组 ? y ? 2 x 时, 目标函数 z ? x ? my 的最大值等于 2, ?x ? y ? 1 ?


m 的值是_______.

15.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 c ? cos B ? a ?

1 b , ?ABC 的 2

面积 S ?

3 c ,则边 c 的最小值为_______. 12

16.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? m ,其前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2n ,若对

?n ? N ? , an ? an?1 恒成立,则 m 的取值范围是_______.
三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 设 n ? N * ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 Sn?1 ? Sn ? an ? 2 ,

a1 , a2 , a5 成等比数列.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列

?bn? 满足

bn ? ( 2)1? an ,求数列 ?bn ? 的前项和 Tn . an

18. (本小题满分 12 分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查,下 表是在某单位 得到的数据: 赞同 男 女 合计 50 30 80 反对 150 170 320 合计 200 200 400

(Ⅰ)能否有能否有 97.5% 的把握认为对这一问题的看法与性别有关? (Ⅱ)从赞同“男女延迟退休”的 80 人中,利用分层抽样的方法抽出 8 人,然后从中选出 3 人进行陈述 发言,设发言的女士人数为 X ,求 X 的分布列和期望.

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 正 方 形 ADEF 与 梯 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ,

AD ? CD, AB / /CD,

AB ? AD ?

1 CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上且不与 E , C 重合. 2

(1)当点 M 是 EC 中点时,求证: BM // 平面ADEF ; (2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 求三棱锥 M ? BDE 的体积.

6 时, 6

20. (本小题满分 12 分) 以椭圆 C :
2 3.

x2 y 2 6 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于 a 2 b2 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 P, Q 两点, A 是椭圆 C 的右顶点,直线

AP、AQ 分别与 y 轴交于点 M、N ,问:以 MN 为直径的圆是否恒过 x 轴上的定点?若恒
过 x 轴上的定点,请求出该定点的坐标;若不恒过 x 轴上的定点,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 x ?

1 ? a ln x(a ? R) . x

(Ⅰ)当 a ? 3 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f ( x) ? x ? 2a ln x , 且 g ( x) 有两个极值点, 其中 x1 ? [0,1] , 求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值.

四、选做题(本大题共 10 分)请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题作答,如果多 做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案 填在答题卡上. 22. (本小题满分 10 分) 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆 于 B, C 两点,弦 CD // AP , AD, BC 相交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC .

(Ⅰ)求证: ?EDF ? ?P ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

23. (本小题满分 10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? .以极点为平面直角坐标 系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? 为参数) . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线 l 的倾斜角

? x ? 1 ? t cos ? (t ? y ? t sin ?

? 的值.

24. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 . (I)若 ?x0 ? R ,使得不等式 f ( x0 ) ? m 成立,求实数 m 的最小值 M ; (Ⅱ)在(I)的条件下,若正数 a, b 满足 3a ? b ? M ,证明:

3 1 ? ? 3. b a

来宾高级中学 2016 届高三数学高考前适应性考试 理科数学参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 D 5 C 6 A 7 C 8 C 9 D 10 B 11 D 12 D

2、 【解析】 由z

?1? i ? ? 1? i ? i =
2 ?1 ,故选 A. 2

2 ? i ,得 z ?

2 ?1 2 ? 1 2 ? i ( 2 ? i)(1 ? i) ? i, = ? 2 2 1? i (1 ? i)(1 ? i)

所以 z 的实部为 4、

5、 【答案】 C 【解析】令 x ? 0 ,得 a0 ? 1 ;令 x ? 1 ,得 ?2 ? a0 ? a1 ? a2 ?? ? a8,即
a1 ? a2 ?? ? a8 ? ? 3 .又 a8

? (?2)7 C77 ? ?128 ,所以 a1 ? a2 ?? ? a7

?? 3 ? a8 ?125 ,

故选 C. 6、 【答案】A 由程序框图知: s ? 2, i ? 1 ; s ?

1? 2 1? 3 1 ? ?3, i ? 2 ; s ? ? ? ,i ? 3 ; 1? 2 1? 3 2

1 1 1? 1 ? (? ) 1 3 ? 2, i ? 5 ??,可知 S 出现周期为 4, 2 ? ,i ? 4 ; s ? s? 1 1 3 1 ? (? ) 1? ) 2 3
当 i ? 2017 ? 4 ? 504 ? 1 时,结束循环输出 S,即输出的 s ? 2 . 7 、 【 答 案 】 : C 【 解 析 】 : 在

a +b











a ? (a ? b ) a 2 ? a ? b ? ? |a?b| (a ? b ) 2
8、 【答案】C

4?2 a ? 2a ? b ? b
2 2

?

6 2 3

? 3.

9、 【答案】D【解析】? f ?( x) ? cos x ? 2 ? 0 在 R 上恒成立,即 f ( x) ? sin x ? 2 x 是 R 上 的减函数,而 0 ? ln

3 1 ? 1, log 2 ? 0, 20.3 ? 1 ,故 b ? a ? c ,故选 D. 2 3

10、 【答案】B【解析】由题意知 P(80 ? ? ? 120) ? 0.8 ,则由正态分布图象的对称性可知,

1 P(0 ? X ? 80) ? 0.5 ? ? P(80 ? X ? 120) ? 0.1,故选 B. 2
11 、 【答案】 D 【解析】显然

PF ? PA , PF ? AF

, 所以由 ?PAF 是等腰三角形得

a 2 ab a2 ab , ) ,所以 ( ? a) 2 ? ( ) 2 ? ( c ? a) 2 , PA ? AF .易知 A (a , 0) , P ( c c c c
a a a a c?a 1 1 e ?1 ? ( ) 2 ( a ? c ) 2 ? ( ) 2 (c 2 ? a 2 ) ? (c ? a ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? 1. ?1? 2 ? 2 ? c c e e e ?1 c c c?a
解得 e ? 2 .故选 D. 12 、 【 答 案 】 D 【 解 析 】 不 妨 设 x1 ? x2 , 则 x1 ? x2 ? 0 . 由

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 ,知 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x) 为减函数.因为函数 y ? f ( x ? 1) 的

图 象 关 于 (1, 0) 成 中 心 对 称 , 所 以 y ? f ( x) 为 奇 函 数 , 所 以
2 2 f (s 2 ? 2s) ? ? f (2t ? t 2 ) ? f (t 2 ? 2t ) ,所以 s ? 2 s ? t ? 2t ,即 ( s ? t )( s ? t ? 2) ? 0 .因



1 t ? 2s 3s 3 ,而在条件 ?( s ? t )(s ? t ? 2) ? 0 下,易求得 t ?[? ,1] 所 ? 1? ? 1? ? t 1 ? s ? 4 s 2 s?t s?t ? 1? s t s 1 2

以 1 ? ?[ , 2] ,所以

3 t 1? s

t ? 2s 1 3 3 1 ?[?5, ? ] ,故 ? [ , 6] ,所以 1 ? ? [?5, ? ] ,即 t s ?t 2 2 2 1? s

选 D. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

13. 【答案】16? 【解析】设正 ?ABC 的外接圆圆心为 O1 ,易知 AO1 中, OA ?

? 3 ,在 Rt ?OO1A

O1 A ? 2 ,故球 O 的表面积为 4? ? 22 ? 16? . cos 30?

5 14. 【答案】 【解析】根据不等式组画出可行域为图 2 1 z 中阴影部分,目标函数可写为 y ? ? x ? ,因为 m m

m ? 1 ,所以 ?1 ? ? 1 ? 0 ,将函数 y ? ? 1 x 的图象
m
m

1 2 平移经过可行域时,在 G 点 ( , ) 处 y 取最大值, 3 3
此时 z ? 2 ,所以有 2 ?

1 2m 5 ,解得 m ? . ? 3 3 2

15. 【解析】由正弦定理得 sin C ? cos B ? sin A ?

1 1 sin B ? sin( B ? C ) ? sin B ,所以 2 2

1 3 1 1 2p ,又 S = ab sin C = sin B cos C ? sin B ? 0 , cos C = - ,故 C = c ,所以 2 2 3 2 12

c = 3ab ,由余弦定理得 c2 = 9a2b2 = a2 +b2 + ab ? 3ab ,所以 ab ?
16.

1 ,所以 c ? 1 . 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.解: 【答案】 (1) an 【解析】(1)由 Sn?1

? 2n ?1; (2) T

n

? (2n ? 3)2n?1 ? 6 .

? Sn ? an ? 2 得: an?1 ? an ? 2(n ? N * ) ,

∴数列 ?an ? 是以 a1 为首项,2 为公差的等差数列,由 a1 , a2 , a5 成等比数列得
(a1 ? 2) ? = a1 ( a1 +8),解得 a1 =1,∴ an

? 2n ?1(n ? N *) .

(2)由(1)可得 bn 即 Tn

? (2n ?1) ? ( 2) 2n ? (2 n ?1)2 n ,∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn?1 ? bn ,

? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ... ? (2n ?1) ? 2n ①,

2Tn ? 1? 22 ? 3? 23 ? ... ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ②,

①-②可得

?Tn ? 2 ? 2(22 ? 23 ? ... ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1, ∴ T ? (2n ? 3)2n?1 ? 6 . n
400 ? (50 ?170 ? 30 ?150)2 ? 6.25 80 ? 320 ? 200 ? 200

18.解: 【解析】 (Ⅰ)根据题中的数据计算: k ?

因为 6.25>5.024,所以有 97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关 (Ⅱ)由已知得抽样比为

8 1 = ,故抽出的8人中,男士有5人,女士有3人.根据题意, X 80 10

服从超几何分布, P( X ? k ) ?

C3k C53?k , k ? 0,1, 2,3 ??????8分 C83
0 1 2 3

X 的分布列为:

X
P

5 28

15 28

15 56

1 56

X 的数学期望为 E ? X ? ? 0 ?

5 15 15 1 9 ??????12 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 28 28 56 56 8

19. 解: 【解析】 : (1)由题意:以点 D 为坐标原点, DA 方向为 x 轴, DC 为 y 轴, DE 为 轴建立空间直角坐标系,则 A ∴ BM

? 2,0,0?, B ? 2,2,0?, C ?0,4,0?, E ?0,0,2?, M ?0,2,1? ,

???? ?

???? ? ? ?2,0,1? ,平面 ADEF 的一个法向量 DC ? ? 0, 4,0 ? ,

???? ? ???? ???? ? ???? BM ? DC ? 0 ,∴ BM ? DC ,即 BM // 平面ADEF .

(2)设 EM

???? ?

??? ? ? tEC ? t ? 0,4, ?2 ? ? ?0,4t, ?2t ? ,故点 M ? 0,4t,2 ? 2t ?? 0 ? t ? 1? ,
?

设平面 BDM 的一个法向量 n1 ? ?x, y, z ? ,则

??? ? ? ???? ? ? DB ? n1 ? 2 x ? 2 y ? 0, DM ? n1 ? 4ty ? ? 2 ? 2t ? z ? 0 .
令 y ? ?1 ,则 n1

?? ? ?? ? 2t ? ? ?1, ?1, ABF n ,易知平面 的一个法向量 ? 2 ? ?1,0,0 ? , 1? t ? ?
1 2? 4t 2 ?
2

?? ?? ? n1 ? n2 ?? ?? ? ∵ cos ? n1 , n2 ? ? ?? ?? ? ? n1 ? n2

6 1 ,解得 t ? , 6 2

?1 ? t ?

∴ M ?0,2,1? 为 BC 的中点, S ?DBM ? ∴ VM ? BDE ?

1 S ?CDM ? 2 , B 到面 DEM 的距离 h ? 2 , 2

1 4 ? S ?DEM ? h ? . 3 3

x2 2 ; 20.解: 【答案】 (1) ? y ? 1 (2)以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) ,(1, 0) . 3
【解析】 (1)依题意,得

c 6 ? , ab ? 3, 又a 2 ? b 2 ? c 2 , a 3

?a ? 3, 解得 ? 故椭圆 C 的标准方程为 ? ? ?b ? 1,

x2 ? y 2 ? 1. 3

x02 ? y02 ? 1 (1) (2) A( 3,0) ,设 M (0, m) , N (0, n) , P( x0 , y0 ) ,则由题意,可得 , 3 ???? ? ??? ? AM ? (? 3, m) . AP ? ( x ? 3, y ) 且 Q(? x0 , ? y0 ) , 0 0 ,
因为 A, P, M 三点共线,所以 AP ?

??? ? ???? ? AM ,故有 ( x0 ? 3)m ? ? 3y0 ,解得 m ?

? 3 y0 x0 ? 3



同理,可得 n ?

???? ? ??? ? ? 3 y0 .假设存在满足题意的 x 轴上的定点 R(t , 0) ,则有 RM ? RN ,即 x0 ? 3

???? ? ???? ???? ? ??? ? RM ? RN ? 0 .因为 RM ? (?t , m) , RN ? (?t, n) ,所以 t 2 ? mn ? 0 ,即
t2 ?

3y 2 2 ? 3 y0 ? 3 y0 整理得 t 2 ? ? 2 0 , 又由 (1) , 得 3 y0 ? ? 0, x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 3

? 3 ? x02 , 所以 t 2 ? 1 ,

解得 t ? 1 或 t ? ?1 . 方法二: (1)同方法一;

故以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) , (1, 0) .

(2)①当直线 l 的斜率不存在时,有 P(0,1) ,Q(0, ?1) , M (0,1) , N (0, ?1) ,此时以 MN 为直径的圆经过 x 轴上的点 (?1, 0) 和 (1, 0) ; ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ,

? x2 2 3 3k 3 3k ? ? y ? 1, ,解得 P( , ) , Q(? 联立方程组 ? 3 ,? ). 2 2 2 2 3 k ? 1 3 k ? 1 3 k ? 1 3 k ? 1 ? y ? kx, ?
设 M (0, m) , N (0, n) 又直线 AP 的斜率 k1

?

k 1 ? 3k 2 ? 1

,直线 AM 的斜率 k2

??

m , 3

因为 A, P, M 三点共线,所以 k1 ? k2 ,解得得 m ?

3k 3k 2 ? 1 ? 1



同理,可得 n ? ?

3k 3k 2 ? 1 ? 1

, 假设存在满足题意的 x 轴上的定点 R(t , 0) ,则有

RM ? RN ,
直线 RM 的斜率 k3 ? ?

m n ,直线 RN 的斜率 k 4 ? ? , t t

所以 k3k4 ? ?1 ,故有 t 2 ? ?mn ,即 t 2 ? 整理,得 t 2 ? 1 ,解得 t ? 1 或 t ? ?1 ,

3k 3k 2 ? 1 ? 1

?

3k 3k 2 ? 1 ? 1



综合①②,可知以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) , (1, 0) . 21.解: 【解析】 (Ⅰ) f ( x) 的定义域 (0,??) ,

1 3 2 x 2 ? 3x ? 1 1 ' 当 a ? 3 时, f ( x) ? 2 x ? ? 3ln x , f ( x) ? 2 ? 2 ? ? x x x x2
1 1 ' 或 x ? 1 ;令 f ( x) ? 0 得, ? x ? 1 , 2 2 1 1 故 f ( x) 的递增区间是 (0, ) 和 (1, ??) ; f ( x) 的递减区间是 ( ,1) . 2 2 1 (Ⅱ)由已知得 g ( x) ? x ? ? a ln x ,定义域为 (0,??) , x
令 f ( x) ? 0 得, 0 ? x ?
'

g ?( x) ? 1 ?

1 a x 2 ? ax ? 1 ,令 g ?( x) ? 0 得 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,其两根为 x1 , x2 , ? ? 2 2 x x x

?a 2 ? 4 ? 0 ? 且 ? x1 ? x2 ? ? a ? 0 , ?x ? x ? 1 ? 0 ? 1 2

22.解: 【解析】 (Ⅰ)∵ DE 2 ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF ∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ????????2 分 又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?EDF ? ?P ,又 ?DEF ? ?PEA ,∴ ?EDF ∽ ?EPA ,

EA EP ? ,∴ EA ? ED ? EF ? EP ,又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP . EF ED 9 ∵ DE 2 ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2 ,∴ EC ? ,∵ CE : BE ? 3 : 2 ,∴ BE ? 3 ,解得 2 27 15 EP ? .∴ BP ? EP ? EB ? .∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA2 ? PB ? PC 4 4

2 ∴ PA ?

15 27 9 15 3 ? ( ? ) ,解得 PA ? . 4 4 2 4
2

2 23.解: 【答案】 (1) ? x ? 2 ? ? y ? 4 ; (2) ? ?

?
4



3? . 4

【解析】 (1)由 ? ? 4cos? 得 ? 2 ? 4? cos ? . ∵ x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,
2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,即 ? x ? 2 ? ? y ? 4 . 2 2 2 ? x ? 1 ? t cos ? , 代入圆的方程得 ? t cos ? ? 1? ? ? t sin ? ? ? 4 , ? y ? t sin ?

(2)将 ?

化简得 t 2 ? 2t cos ? ? 3 ? 0 . 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ? 1

?t ? t2 ? 2cos ? , ?t1t2 ? ?3.



AB ? t1 ? t2 ?

?t1 ? t2 ?
??

2

? 4t1t2 ? 4cos2 ? ? 12 ? 14 .

∴ 4cos2 ? ? 2 , cos ?

2 ? 3? ,? ? 或 . 2 4 4

24.解: 【解析】 (Ⅰ)由题意,不等式 2x ?1 ? 2x ? 3 ? m 有解, 又因为 2x ?1 ? 2x ? 3 ? 2x ?1( - 2x ? 3) ? 4 ,由题意只需 m ? ( 2x ?1 ? 2x ? 3 )min ? 4 , 所以实数 m 的最小值 M = 4 .(Ⅱ)由(Ⅰ)得 3a ? b ? 4 所以

? 3 1 1 b ? 1 ? 9a b ? 3 1 ? 1 ? 9a ,当且 2 ? ? 6 ? ? ? ? 3a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ??3 b a b a 4 a? 4? ?b a? 4 ? b ? ?
9a b ? 即 3a ? b ? 2 时等号成立 b a

仅当


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