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吉林省长春市德惠实验中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2015-2016 学年吉林省长春市德惠实验中学高一(上)期中数学试 卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.函数 y=cosx 最小正周期是( A.1 B. C.π D.2π ) )

2.已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)=( A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} )

3.已知 α 是第二象限角,且 sinα= ,则 tanα=( A. B. C. D.

4.用二分法求函数 f(x)=2x﹣3 的零点时,初始区间可选为( A.(﹣1,0) 5.函数 B.(0,1) C.(2,3) D.(1,2) )

)

的图象是(

A.

B.

C.

D.

6.若 a=log3π,b=log76,c=log20.8,则(

)

A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 7.若 sin2α+sinα=1,则 cos4α+cos2α 的值为( A.0 B.1 C.2 D.3 ) D.(﹣∞,﹣2) ) )

8.函数 f(x)=log A.(0,+∞)

(x2﹣4)的单调递增区间为(

B.(﹣∞,0) C.(2,+∞)

9.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上是减函数的是( A.y=cosx B.y=x2+1 C. |x| D.

10.奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 )

)

11.当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是(

A.(0,



B.(

,1)

C.(1,



D.(

,2)

12.已知函数 则 abc 的取值范围是( A.(1,10) )

,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),

B.(5,6) C.(10,12)

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.log89?log32=__________. 14. =__________.

15.函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f(2)=0,则 x[f(x) ﹣f(﹣x)]<0 的解集为__________. 16.已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x+2)+1 的反函数恒过定点 A,g(x)=ax+2+2 的反 函数恒过定点 B,A、B 两点在一个一次函数图象上,则这个一次函数的解析式为__________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.全集 U=R,集合 A={x|y=log2(1﹣x)},B={y|y=( )|x|},求: (1)A∩B (2)(?UA)∪B. 18.(1)角 α 终边经过点 P0(﹣3,﹣4),求 sinα,cosα,tanα 的值. (2)已知角终边上一点 19.函数 f(x)=log2|sinx|. (1)求函数定义域; (2)求函数值域; (3)写出 f(x)单调增区间(不用说理由). 20.(1)当 x∈[3,7)时,求 y=log (x+1)+1 值域 ,且 sinα= m,求 cosα 的值.

(2)当 x∈(0,2)时,求 y=4x﹣2x+2 值域. 21.已知 f(x)= (1)求函数定义域; (2)若 f(x)为奇函数,求实数 a 的值; .

(3)在(2)的条件下利用定义证明:f(x)在(0,+∞)为减函数. 22.已知 f(x)=2log2(2x+t) (1)t=1 时,解不等式 f(x)≤2log2(x+1) (2)t=4 时,令 g(x)=f(x)﹣2log2(x+1),求 g(x)在 x∈[0,1]上最大值与最小值. (3)当 x∈[0,1]时,f(x)≥log2(x+1)恒成立,求 t 取值范围?

2015-2016 学年吉林省长春市德惠实验中学高一(上)期 中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.函数 y=cosx 最小正周期是( A.1 B. C.π D.2π )

【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用 y=Asin(ωx+φ)的周期等于 T= 【解答】解:函数 y=cosx 最小正周期是 2π, 故选:D. 【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法,利用了 y=Asin(ωx+φ)的周期等于 T= ,属于基础题. ) ,得出结论.

2.已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)=( A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4}

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】根据 A 与 B 求出两集合的并集,由全集 U,找出不属于并集的元素,即可求出所求 的集合. 【解答】解:∵A={1,2},B={2,3}, ∴A∪B={1,2,3}, ∵全集 U={1,2,3,4}, ∴?U(A∪B)={4}. 故选 D 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3.已知 α 是第二象限角,且 sinα= ,则 tanα=( A. B. C. D. )

【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【专题】三角函数的求值. 【分析】 由 α 为第二象限角, 根据 sinα 的值, 利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值, 即可确定出 tanα 的值. 【解答】解:∵α 是第二象限角,且 sinα= , ∴cosα=﹣ 则 tanα= 故选 A 【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 4.用二分法求函数 f(x)=2x﹣3 的零点时,初始区间可选为( A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(2,3) D.(1,2) ) =﹣ . =﹣ ,

【考点】二分法求方程的近似解. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】函数 f(x)=2x﹣3 在区间(1,2)上连续且单调递增,f(1)=﹣1<0,f(2)=1> 0,即可得出结论. 【解答】解:函数 f(x)=2x﹣3 在区间(1,2)上连续且单调递增,f(1)=﹣1<0,f(2) =1>0, f(1)f(2)<0,故用二分法求函数 f(x)=2x﹣3 的零点时,初始的区间大致可选在(1,2) 上. 故选:D. 【点评】本题主要考查函数的零点的定义,注意函数只有满足在零点两侧的函数值异号时, 才可用二分法求函数 f(x)的零点,属于基础题. 5.函数 的图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】幂函数的图像. 【专题】数形结合.

【分析】本题要用函数的性质与图象性质的对应来确定正确的选项,故解题时要先考查函数 性质,单调性奇偶性等,再观察四个选项特征,选出正确答案. 【解答】解:研究函数 由此可以排除 C,D, 又函数的指数 >1,故在(0,+∞)其递增的趋势越来越快,由此排除 B,故 A 正确. 故选 A. 【点评】本题考考点是幂函数的图象,考查幂函数的性质与其图象之间的对应关系,幂函数 形式简单,直接考查其性质的题型较少,本题是一道不可多得的全面考查幂函数性质的题型. 6.若 a=log3π,b=log76,c=log20.8,则( ) 知,其是一个偶函数,且在(0,+∞)上增,在(﹣∞,0)上减,

A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】根据 π>3,6<7,2>1,0.8<1,可知 log3π>1,0<log76<1,log20.8<0,进而比 较出大小. 【解答】解:∵log3π>1,0<log76<1,log20.8<0 ∴a>b>c 故选 A. 【点评】本题主要考查对数函数的性质及图象.是高考的热点. 7.若 sin2α+sinα=1,则 cos4α+cos2α 的值为( A.0 B.1 C.2 D.3 )

【考点】三角函数的化简求值. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】 由条件可得 sinα=1﹣sin2α=cos2α, 故 cos4α+cos2α=sin2α+sinα, 再利用条件求得结果. 【解答】解:∵sin2α+sinα=1, ∴sinα=1﹣sin2α=cos2α, ∴cos4α+cos2α=sin2α+sinα=1, 故选 B. 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,同角三角函数的基本关系的应用, 属于中档题.

8.函数 f(x)=log A.(0,+∞)

(x2﹣4)的单调递增区间为(

) D.(﹣∞,﹣2)

B.(﹣∞,0) C.(2,+∞)

【考点】复合函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】令 t=x2﹣4>0,求得函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),且函数 f (x)=g(t)=log t.根据复合函数的单调性,本题即求函数 t 在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)

上的减区间.再利用二次函数的性质可得,函数 t 在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 上的减区间. 【解答】解:令 t=x2﹣4>0,可得 x>2,或 x<﹣2, 故函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞), 当 x∈(﹣∞,﹣2)时,t 随 x 的增大而减小,y=log t 随 t 的减小而增大,

所以 y=log 故选:D.

(x2﹣4)随 x 的增大而增大,即 f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增.

【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于 中档题. 9.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上是减函数的是( A.y=cosx B.y=x2+1 C. |x| D. )

【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】数形结合;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性和单调性定义对各选项做出判断. 【解答】解:根据奇偶性和单调性的定义对各选项判断如下: A:y=cosx 为偶函数,但是在(0,+∞)不是单调函数; B:y=x2+1 为偶函数,但是在(0,+∞)为增函数; C:y= D:y= 故选 C. |x|=﹣log2|x|为偶函数,且在(0,+∞)是减函数,符合题意; 既不是奇函数又不是偶函数,不合题意;

【点评】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断,涉及三角函数,二次函数,指数函数 和对数函数,属于基础题. 10.奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 )

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到 f(x+8)=f(x),即可得到结论. 【解答】解:∵f(x+2)为偶函数,f(x)是奇函数, ∴设 g(x)=f(x+2), 则 g(﹣x)=g(x), 即 f(﹣x+2)=f(x+2), ∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x+2)=f(x+2)=﹣f(x﹣2), 即 f(x+4)=﹣f(x),f(x+8)=f(x+4+4)=﹣f(x+4)=f(x), 则 f(8)=f(0)=0,f(9)=f(1)=1, ∴f(8)+f(9)=0+1=1, 故选:D. 【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴是解决本 题的关键. 11.当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( A.(0, ) B.( ,1) C.(1, ) ) D.( ,2)

【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质,将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以 解决即可 【解答】解:∵0<x≤ 时,1<4x≤2 要使 4x<logax,由对数函数的性质可得 0<a<1, 数形结合可知只需 2<logax,





对 0<x≤ 时恒成立



解得 故选 B

<a<1

【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质,不等式恒成立问题的一般解法, 属基础题 12.已知函数 则 abc 的取值范围是( A.(1,10) ) D. ,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),

B.(5,6) C.(10,12)

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的图象;对数的运算性质;对数函数 的图像与性质. 【专题】作图题;压轴题;数形结合. 【分析】画出函数的图象,根据 f(a)=f(b)=f(c),不妨 a<b<c,求出 abc 的范围即可. 【解答】解:作出函数 f(x)的图象如图, 不妨设 a<b<c,则

ab=1, 则 abc=c∈(10,12). 故选 C.

【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.log89?log32= . 【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】利用对数换底公式和运算法则求解. 【解答】解:log89?log32 = = = . 故答案为: . 【点评】本题考查对数式化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意对数换底公式和运 算法则的合理运用. 14. 【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值. 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解. 【解答】解: cos )= = . =cos ?(﹣cos )(﹣ = .

故答案为: . 【点评】本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用,属于基础题. 15.函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f(2)=0,则 x[f(x) ﹣f(﹣x)]<0 的解集为(﹣2,0)∪(0,2). 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】综合题;数形结合;综合法;函数的性质及应用. 【分析】易判断 f(x)在(﹣∞,0)上的单调性及 f(x)图象所过特殊点,作出 f(x)的草 图,根据图象可解不等式. 【解答】解:∵f(x)在 R 上是奇函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数, 由 f(2)=0,得 f(﹣2)=﹣f(2)=0, 即 f(﹣2)=0, 由 f(﹣0)=﹣f(0),得 f(0)=0, 作出 f(x)的草图,如图所示: 由图象,得 x[f(x)﹣f(﹣x)]<0?xf(x)<0 ? 或 ,

解得 0<x<2 或﹣2<x<0, ∴xf(x)<0 的解集为:(﹣2,0)∪(0,2), 故答案为:(﹣2,0)∪(0,2)

【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作出函数的草 图是解题关键.

16.已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x+2)+1 的反函数恒过定点 A,g(x)=ax+2+2 的反 A、 B 两点在一个一次函数图象上, 函数恒过定点 B, 则这个一次函数的解析式为 y=﹣ x﹣ . 【考点】反函数;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】计算题;数形结合;函数的性质及应用. 【分析】根据原函数与其反函数的图象关于直线 y=x 对称,若原函数图象若过定点 P,则其反 函数的图象必过 P',其中 P,P'关于直线 y=x 轴对称. 【解答】解:因为,函数 f(x)=loga(x+2)+1 的图象恒过定点(﹣1,1), 所以,其反函数 f﹣1(x)的图象恒过定点 A(1,﹣1), 又因为,函数 g(x)=ax+2+2 的图象恒过定点(﹣2,3), 所以,其反函数 g﹣1(x)的图象恒过定点 B(3,﹣2), 设过 AB 两点的一次函数为 y=kx+b, 则 ,解得 k=﹣ ,b=﹣ ,

故一次函数的解析式为:y=﹣ x﹣ . 【点评】本题主要考查了互反两函数图象间的对称关系,以及一次函数解析式的求解,属于 简单题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.全集 U=R,集合 A={x|y=log2(1﹣x)},B={y|y=( )|x|},求: (1)A∩B (2)(?UA)∪B. 【考点】交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】分别化简集合 A,B,根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:A={x|y=log2(1﹣x)}=(﹣∞,1),B={y|y=( )|x|}=[1,+∞), (1)A∩B=?, (2)(?UA)=[1,+∞), ∴(?UA)∪B=[1,+∞). 【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算,基本知识的考查.

18.(1)角 α 终边经过点 P0(﹣3,﹣4),求 sinα,cosα,tanα 的值. (2)已知角终边上一点 【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】(1)由条件利用任意角的三角函数的定义,求得要求式子的值. (2)由条件利用任意角的三角函数的定义,并结合 sinα= cosα 的值. 【解答】解:(1)∵角 α 终边经过点 P0(﹣3,﹣4),∴x=﹣3,y=﹣4,r=|OP0|=5, ∴sinα= =﹣ ,cosα= =﹣ ,tanα= = . ,∴m2=5, m= ,求得 m2 的值,可得 ,且 sinα= m,求 cosα 的值.

(2)已知角终边上一点

,且 sinα=

m=

∴cosα=

=﹣

=﹣



【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题. 19.函数 f(x)=log2|sinx|. (1)求函数定义域; (2)求函数值域; (3)写出 f(x)单调增区间(不用说理由). 【考点】复合函数的单调性;函数的定义域及其求法;函数的值域. 【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】(1)对于函数 f(x)=log2|sinx|,由 sinx≠0,求得 x 的范围,可得函数的定义域. (2)根据|sinx|∈( 0,1],求得 log2|sinx|的值域,可得 f(x)的值域. (3)根据函数 y=|sinx|>0 时的增区间,求得函数 f(x)=log2|sinx|的增区间. 【解答】解:(1)对于函数 f(x)=log2|sinx|,由 sinx≠0,可得 x≠kπ, 故函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}. (2)由于|sinx|∈( 0,1],故 log2|sinx|∈(﹣∞,0], 即 f(x)的值域为(﹣∞,0].

(3)由于函数 y=|sinx|>0 时的增区间为(kπ,kπ+ 故函数 f(x)=log2|sinx|的增区间为(kπ,kπ+

],k∈Z,

],k∈Z.

【点评】本题主要考查复合函数的定义域、值域、单调性,对数函数、正弦函数的定义域、 值域、单调性,体现了转化的数学思想,属于中档题.

20.(1)当 x∈[3,7)时,求 y=log

(x+1)+1 值域

(2)当 x∈(0,2)时,求 y=4x﹣2x+2 值域. 【考点】函数的值域. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】(1)由 x 的范围可以得出 x+1 的范围,根据对数函数 的单调性便可得出

的范围,进一步便可得出 y 的范围,即得出该函数的值域; (2)配方得到 y=(2x﹣2)2﹣4,由 x 的范围可以求出 2x 的范围,而根据 2x 的范围即可得出 y 的范围,即得出该函数的值域. 【解答】解:(1)∵x∈[3,7]; ∴x+1∈[4,8]; ∴ 即 ∴﹣2≤y≤﹣1; ∴该函数的值域为[﹣2,﹣1]; (2)y=(2x)2﹣4?2x=(2x﹣2)2﹣4; ∵x∈(0,2); ∴2x∈(1,4); ∴(2﹣2)2﹣4≤y<0; 即﹣4≤y<0; ∴该函数的值域为[﹣4,0). 【点评】考查函数值域的概念及求法,根据不等式的性质求函数值域的方法,对数函数和指 数函数的单调性,配方求二次式子的范围的方法. ; ;

21.已知 f(x)= (1)求函数定义域;



(2)若 f(x)为奇函数,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下利用定义证明:f(x)在(0,+∞)为减函数. 【考点】函数奇偶性的性质;函数的定义域及其求法;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)根据分母不等 0,求出 x 的范围,可得函数的定义域; (2)根据 f(x)为奇函数,f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,代入特殊值,可得实数 a 的值; (3)设 x1,x2∈(﹣∞,0)且 x1<x2,结合对数函数的图象和性质,判断 f(x1),f(x2) 的大小,结合函数单调性的定义,可得答案. 【解答】解:(1)由 2x﹣1≠0 得:x≠0, 故函数 f(x)= 的定义域为{x|x≠0};

(2)若 f(x)为奇函数, 则 f(﹣1)=﹣f(1),



=﹣



解得:a=1, 经检验当 a=1 时,f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,满足 f(x)为奇函数; (3)设 x1,x2∈(﹣∞,0)且 x1<x2, 则 <0, ,

∴f(x1)﹣f(x2)= ∴f(x1)>f(x2).



=

>0,

根据函数单调性的定义知函数 f(x)在(﹣∞,0)上为减函数 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域,函数的单调性,函数的奇偶性,是函数图象和 性质的综合应用. 22.已知 f(x)=2log2(2x+t)

(1)t=1 时,解不等式 f(x)≤2log2(x+1) (2)t=4 时,令 g(x)=f(x)﹣2log2(x+1),求 g(x)在 x∈[0,1]上最大值与最小值. (3)当 x∈[0,1]时,f(x)≥log2(x+1)恒成立,求 t 取值范围? 【考点】对数函数的图像与性质;指、对数不等式的解法. 【专题】综合题;配方法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)运用对数函数的单调性解不等式; (2)运用函数的单调性求值域; (3)运用配方法求最值. 【解答】解:(1)因为 t=1,所以不等式 f(x)≤2log2(x+1)可化为,

log2(2x+1)≤log2(x+1),等价为:

,解得 x∈(﹣ ,0],

即原不等式的解集为(﹣ ,0]; (2)当 t=4 时,f(x)=2log2(2x+4), g(x)=f(x)﹣log2(x+1)=2log2(2x+4)﹣2log2(x+1) =2log2 =2[1+log2(1+ )],

所以,函数 g(x)为[0,1]上的减函数, 因此,g(x)max=g(0)=4,g(x)min=g(1)=2log23, 故 g(x)的最小值为 2log23,最大值为 4; (3)当 x∈ [0,1]时,f(x)≥log2(x+1)恒成立, 即 2x+t≥ 所以,t≥[ 而﹣2x+ ,分离变量 t 得,t≥ ﹣2x]max, =﹣2(x+1)+ ∈[1, +2=﹣2( ], ﹣ )2+ , ﹣2x,

其中 x∈[0,1],所以 所以,当 =1 时,[

﹣2x]max=1,

因此,实数 t 的取值范围为[1,+∞). 【点评】本题主要考查了函数最值的求法,不等式恒成立问题的解法,同时考查对数函数的 单调性的运用,以及运算求解能力,属于中档题.


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