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天津市2018高考数学(文)二轮复习检测:题型练8大题专项 函数与导数综合问题 Word版含解析

题型练 8 大题专项(六) 函数与导数综合问题 1.(2017 全国Ⅰ,文 21)已知函数 f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 2.设 f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R. (1)令 g(x)=f'(x),求 g(x)的单调区间; (2)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围. 3.已知函数 f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R). (1)试讨论 f(x)的单调性; (2)若 b=c-a(实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是 (-∞,-3)∪,求 c 的值. 4.已知函数 f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中 a>0. (1)设 g(x)是 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (2)证明:存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一解. 5.已知函数 f(x)=x2-ax,g(x)=ln x,h(x)=f(x)+g(x)(a∈R). (1)若不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. (2)若函数 h(x)有两个极值点 x1,x2. ①求实数 a 的取值范围; ②当 x1∈时,求证:h(x1)-h(x2)>-ln 2. 6.设函数 f(x)=,g(x)=-x+(a+b)(其中 e 为自然对数的底数,a,b∈R,且 a≠0),曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程为 y=ae(x-1). (1)求 b 的值; (2)若对任意 x∈,f(x)与 g(x)有且只有两个交点,求 a 的取值范围. ## 题型练 8 大题专项(六) 函数与导数综合问题 1.解 (1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). ①若 a=0,则 f(x)=e2x,在区间(-∞,+∞)单调递增. ②若 a>0,则由 f'(x)=0 得 x=ln a. 当 x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当 x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.故 f(x)在区间(-∞,ln a)单调递减,在区间 (ln a,+∞)单调递增. ③若 a<0,则由 f'(x)=0 得 x=ln. 当 x∈时,f'(x)<0; 当 x∈时,f'(x)>0. 故 f(x)在区间单调递减,在区间单调递增. (2)①若 a=0,则 f(x)=e2x,所以 f(x)≥0. ②若 a>0,则由(1)得,当 x=ln a 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(ln a)=-a2ln a. 从而当且仅当-a2ln a≥0,即 a≤1 时,f(x)≥0. ③若 a<0,则由(1)得,当 x=ln 时,f(x)取得最小值,最小值为 f=a2. 从而当且仅当 a2≥0, 即 a≥-2 时 f(x)≥0. 综上,a 的取值范围是[-2,1]. 2.解 (1)由 f'(x)=ln x-2ax+2a, 可得 g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞). 则 g'(x)=-2a=, 当 a≤0 时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数 g(x)单调递增; 当 a>0 时,x∈时,g'(x)>0,函数 g(x)单调递增,x∈时,函数 g(x)单调递减. 所以当 a≤0 时,g(x)的单调增区间为(0,+∞); 当 a>0 时,g(x)单调增区间为,单调减区间为. (2)由(1)知,f'(1)=0. ①当 a≤0 时,f'(x)单调递增,所以当 x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值,不合题意. ②当 0<a<时,>1,由(1)知 f'(x)在区间内单调递增, 可得当 x∈(0,1)时,f'(x)<0,x∈时,f'(x)>0. 所以 f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以 f(x)在 x=1 处取得极小值,不合 题意. ③当 a=时,=1,f'(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减, 所以当 x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意. ④当 a>时,0<<1,当 x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当 x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以 f(x)在 x=1 处取极大值,合题意. 综上可知,实数 a 的取值范围为 a>. 3.解 (1)f'(x)=3x2+2ax, 令 f'(x)=0,解得 x1=0,x2=-. 当 a=0 时,因为 f'(x)=3x2>0(x≠0), 所以函数 f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增; 当 a>0 时,x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0,x∈时,f'(x)<0, 所以函数 f(x)在区间,(0,+∞)内单调递增,在区间上单调递减; 当 a<0 时,x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0,x∈时,f'(x)<0, 所以函数 f(x)在区间(-∞,0),内单调递增,在区间内单调递减. (2)由(1)知,函数 f(x)的两个极值为 f(0)=b,fa3+b, 则函数 f(x)有三个零点等价于 f(0)· f=b<0,从而 3 又 b=c-a,所以当 a>0 时,a -a+c>0 或当 a<0 时,a3-a+c<0. 设 g(a)=a3-a+c,因为函数 f(x)有三个零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,-3)∪, 则在(-∞,-3)内 g(a)<0,且在内 g(a)>0 均恒成立,从而 g(-3)=c-1≤0,且 g=c-1≥0,因此 c=1. 此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a], 因 函 数 有 三 个 零 点 , 则 x2+(a-1)x+

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