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高中数学必修4第一章三角函数综合检测题(人教A版)


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第一章三角函数综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.sin2cos3tan4 的值( A.小于 0 C.等于 0 [答案] A π π 3π [解析] ∵ <2<π, ∴sin2>0, <3<π, ∵ ∴cos3<0, ∵π<4< , ∴tan4>0, ∴sin2cos3tan4<0. 2 2 2 2.若角 600° 的终边上有一点(-4,a),则 a 的值是( A.4 3 C.± 3 4 [答案] B [解析] 由条件知,tan600° = a , -4 B.-4 3 D. 3 ) )

B.大于 0 D.不存在

∴a=-4tan600° =-4tan60° =-4 3. 3.(08· 全国Ⅰ文)y=(sinx-cosx)2-1 是( A.最小正周期为 2π 的偶函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 [答案] D [解析] ∵y=(sinx-cosx)2-1=sin2x-2sinxcosx+cos2x-1=-sin2x, ∴函数 y=(sinx-cosx)2-1 的最小正周期为 π,且是奇函数. π π 4.函数 y=sin?2x-3?在区间?-2,π?的简图是( ? ? ? ? ) )

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[答案] A [解析] x=0 时,y<0,排除 B、D, π x= 时,y=0,排除 C,故选 A. 6 π 5.为了得到函数 y=cos?2x+3?的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( ? ? 5π A.向左平移 个长度单位 12 5π B.向右平移 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6 5π D.向右平移 个长度单位 6 [答案] A π π π [解析] y=cos(2x+ )=sin(2x+ + ) 3 2 3 5π 5π =sin(2x+ )=sin2(x+ ), 6 12 π 由 y=sin2x 的图象得到 y=cos(2x+ )的图象. 3 5π 只需向左平移 个长度单位就可以. 12 6.函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( π π A.?-4,4? ? ? 3π C.?π, 2 ? ? ? [答案] C [解析] 画出函数 y=|sinx|的图象,如图所示. π 3π B.?4, 4 ? ? ? 3π D.? 2 ,2π? ? ? ) )

π 由函数图象知它的单调增区间为?kπ,kπ+2?(k∈Z),所以当 k=1 时,得到 y=|sinx|的 ? ?

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3π 一个单调增区间为?π, 2 ?,故选 C. ? ?

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7.(08· 四川)设 0≤α≤2π,若 sinα> 3cosα,则 α 的取值范围是( π π A.?3,2? ? ? π 4π C.?3, 3 ? ? ? [答案] C [解析] ∵sinα> 3cosα,
?cosα=0 ?cosα>0 ?cosα<0 ? ? ? ∴? 或? 或? , ? ? ? ?tanα> 3 ?tanα< 3 ?sinα=1

)

π B.?3,π? ? ? π 3π D.?3, 2 ? ? ?

π 4π ∴ <α< . 3 3 π π π [点评] ①可取特值检验,α= 时,1=sin > 3cos =0,排除 A;α=π 时,0=sinπ> 3 2 2 2 4π 4π 3 4π 3 4π 4π cosπ=- 3,排除 B;α= 时,sin =- , 3cos =- ,∴sin = 3cos ,排除 3 3 2 3 2 3 3 D , 故 选 C.② 学 过 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 后 , 可 化 一 角 一 函 解 决 , sinα - 3 cosα = π π π 4π 2sin?α-3?>0,∴sin?α-3?>0,∵0≤α≤2π,∴ <α< . ? ? ? ? 3 3 1 8.方程 sinπx= x 的解的个数是( 4 A.5 C.7 [答案] C 1 [解析] 在同一坐标系中分别作出函数 y1=sinπx,y2= x 的图象,左边三个交点,右边 4 三个交点,再加上原点,共计 7 个. B.6 D.8 )

9.已知△ABC 是锐角三角形,P=sinA+sinB,Q=cosA+cosB,则( A.P<Q C.P=Q [答案] B B.P>Q D.P 与 Q 的大小不能确定

)

π π π π π [解析] ∵△ABC 是锐角三角形,∴0<A< ,0<B< ,A+B> ,∴A> -B,B> -A, 2 2 2 2 2
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π ∵y=sinx 在?0,2?上是增函数, ? ? ∴sinA>cosB,sinB>cosA,

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∴sinA+sinB>cosA+cosB,∴P>Q. π π π 10.若函数 f(x)=3cos(ωx+φ)对任意的 x 都满足 f?3+x?=f?3-x?,则 f?3?的值是( ? ? ? ? ? ? A.3 或 0 C.0 [答案] D π π [解析] f(x)的图象关于直线 x= 对称,故 f?3?为最大值或最小值. ? ? 3 11.下列函数中,图象的一部分符合下图的是( ) B.-3 或 0 D.-3 或 3 )

π A.y=sin(x+ ) 6 π B.y=sin(2x- ) 6 π C.y=cos(4x- ) 3 π D.y=cos(2x- ) 6 [答案] D [解析] 用三角函数图象所反映的周期确定 ω,再由最高点确定函数类型.从而求得解 析式. π π 由图象知 T=4( + )=π,故 ω=2,排除 A、C. 12 6 π 又当 x= 时,y=1,而 B 中的 y=0,故选 D. 12 π π 12.函数 y=2sin?3-x?-cos?x+6?(x∈R)的最小值为( ? ? ? ? A.-3 C.-1 [答案] C π π [解析] ∵y=2sin?3-x?-cos?x+6? ? ? ? ? π π π π =2cos?2-?3-x??-cos?x+6?=cos?x+6?, ? ? ? ? ? ? B.-2 D.- 5 )

?

?

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∴ymin=-1.

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第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.若 1+sin2θ=3sinθcosθ 则 tanθ=________. 1 [答案] 1 或 2 [解析] 由 1+sin2θ=3sinθcosθ 变形得 2sin2θ+cos2θ-3sinθcosθ=0?(2sinθ-cosθ)(sinθ -cosθ)=0, 1 ∴tanθ= 或 1. 2 14.函数 y= 16-x2+ sinx的定义域为________. [答案] [-4,-π]∪[0,π]
2 ? ?16-x ≥0 [解析] 要使函数有意义,则? , ? ?sinx≥0

?-4≤x≤4 ? ∴? , ? ?2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z)

∴-4≤x≤-π 或 0≤x≤π. 15 . 已 知 集 合 A = {α|30° k· <α<90° k· + 180° + 180° k∈Z} , 集 合 B = {β| - 45° , + k· <β<45° 360° 360° +k· ,k∈Z},则 A∩B=________. [答案] {α|30° 360° +k· <α<45° 360° +k· ,k∈Z} [解析] 如图可知,

A∩B={α|30° 360° +k· <α<45° 360° +k· ,k∈Z}. 16.若 a=sin(sin2009° ),b=sin(cos2009° ),c=cos(sin2009° ),d=cos(cos2009° ),则 a、 b、c、d 从小到大的顺序是________. [答案] b<a<d<c [解析] ∵2009° =5×360° +180° +29° , ∴a=sin(-sin29° )=-sin(sin29° )<0, b=sin(-cos29° )=-sin(cos29° )<0,
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c=cos(-sin29° )=cos(sin29° )>0,

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d=cos(-cos29° )=cos(cos29° )>0, π 又 0<sin29° <cos29° <1< ,∴b<a<d<c. 2 [点评] 本题“麻雀虽小,五脏俱全”,考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数 的单调性等,应加强这种难度不大,对基础知识要求掌握熟练的小综合题训练. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)已知 sinθ= 值. [解析] ∵θ 为第二象限角,∴sinθ>0,cosθ<0. ∴ 1-a 3a-1 1 >0, <0,解之得,-1<a< . 3 1+a 1+a 1-a 3a-1 ,cosθ= ,若 θ 为第二象限角,求实数 a 的 1+a 1+a

又∵sin2θ+cos2θ=1,∴?

?1-a?2+?3a-1?2=1, ? ? ? ?1+a? ? 1+a ?

1 解之,得 a= 或 a=1(舍去). 9 1 故实数 a 的值为 . 9
? ? ? ? 1 1 18.(本题满分 12 分)若集合 M=?θ?sinθ≥2,0≤θ≤π ?,N=?θ?cosθ≤2,0≤θ≤π ?, ? ? ? ? ? ?

求 M∩N. [解析] 解法一:可根据正弦函数图象和余弦函数图象,找出集合 N 和集合 M 对应的 部分,然后求 M∩N. 1 首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线 y= .如图. 2

结合图象得集合 M、N 分别为
? π ? π ? 5π ? M=?θ?6≤θ≤ 6 ?,N=?θ?3≤θ≤π ?. ? ? ? ? ? ? ? π 5π ? 得 M∩N=?θ?3≤θ≤ 6 ?. ? ? ?

解法二:利用单位圆中的三角函数线确定集合 M、N. 作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示.

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由单位圆中的三角函数线知
? π 5π ? M=?θ?6≤θ≤ 6 ?, ? ? ? ? π ? N=?θ?3≤θ≤π ?. ? ? ? ? π 5π ? 由此可得 M∩N=?θ?3≤θ≤ 6 ?. ? ? ?

1 19.(本题满分 12 分)已知 cosx+siny= ,求 siny-cos2x 的最值. 2 1 1 [解析] ∵cosx+siny= ,∴siny= -cosx, 2 2 1 ∴siny-cos2x= -cosx-cos2x 2 1 3 =-?cosx+2?2+ , ? ? 4 1 ∵-1≤siny≤1,∴-1≤ -cosx≤1, 2 1 解得- ≤cosx≤1, 2 1 3 所以当 cosx=- 时,(siny-cos2x)max= , 2 4 3 当 cosx=1 时,(siny-cos2x)min=- . 2 1 [点评] 本题由-1≤siny≤1 求出- ≤cosx≤1 是解题的关键环节,是易漏掉出错的地 2 方. 3 1 20.(本题满分 12 分)已知 y=a-bcos3x(b>0)的最大值为 ,最小值为- . 2 2 (1)求函数 y=-4asin(3bx)的周期、最值,并求取得最值时的 x; (2)判断其奇偶性.

[解析] (1)∵y=a-bcos3x,b>0,

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?y ∴? ?y

max=a+b=

3 2 1 2

min=a-b=-

?a=1 ? ,解得? 2 , ?b=1 ?

∴函数 y=-4asin(3bx)=-2sin3x. 2π ∴此函数的周期 T= , 3 2kπ π 当 x= + (k∈Z)时,函数取得最小值-2; 3 6 2kπ π 当 x= - (k∈Z)时,函数取得最大值 2. 3 6 (2)∵函数解析式 f(x)=-2sin3x,x∈R, ∴f(-x)=-2sin(-3x)=2sin3x=-f(x), ∴y=-2sin3x 为奇函数. 21.(本题满分 12 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示.试依图推出:

(1)f(x)的最小正周期; (2)f(x)的单调递增区间; (3)使 f(x)取最小值的 x 的取值集合. T 7 π 3 [解析] (1)由图象可知, = π- = π, 2 4 4 2 ∴T=3π. 7 5 (2)由(1)可知当 x= π-3π=- π 时,函数 f(x)取最小值, 4 4 5 π ∴f(x)的单调递增区间是?-4π+3kπ,4+3kπ?(k∈Z). ? ? 7 (3)由图知 x= π 时,f(x)取最小值, 4 7 又∵T=3π,∴当 x= π+3kπ 时,f(x)取最小值, 4 所以 f(x)取最小值时 x 的集合为
? ? ? 7 ?x x= π+3kπ,k∈Z ?. ? 4 ? ?

22.(本题满分 14 分)函数 f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x 的最小值为 g(a)(a∈R). (1)求 g(a); 1 (2)若 g(a)= ,求 a 及此时 f(x)的最大值. 2
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=1-2a-2acosx-2(1-cos2x) =2cos2x-2acosx-(2a+1)

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[解析] (1)由 f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x

a a2 =2?cosx-2?2- -2a-1.这里-1≤cosx≤1. ? ? 2 a a a2 ①若-1≤ ≤1,则当 cosx= 时,f(x)min=- -2a-1; 2 2 2 a ②若 >1,则当 cosx=1 时,f(x)min=1-4a; 2 a ③若 <-1,则当 cosx=-1 时,f(x)min=1. 2

?1 a ? 因此 g(a)=?- 2 -2a-1 ?1-4a (a>2) ?
2

(a<-2) (-2≤a≤2) .

1 (2)∵g(a)= . 2 1 1 ∴①若 a>2,则有 1-4a= ,得 a= ,矛盾; 2 8 a2 1 ②若-2≤a≤2,则有- -2a-1= , 2 2 即 a2+4a+3=0,∴a=-1 或 a=-3(舍). 1 ∴g(a)= 时,a=-1. 2 1 1 此时 f(x)=2?cosx+2?2+ , ? ? 2 当 cosx=1 时,f(x)取得最大值为 5.

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