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2016届江西省吉安市第一中学高三上学期第二次质量检测理数试题 解析版


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的.
2 1.已知集合 M ? x x ? 4 x ? 0 ,N ? x m ? x ? 8 , 若M ?N ? x6? x ? n , 则 m? n ?

?

?

?

?

?

?

A.10 【答案】C

B.12

C.14

D.16

考点:1、一元二次方程的解法;2、集合的基本运算. 2.若复数 z ? (cos ? ? ) ? (sin ? ? )i 是纯虚数,则 tan( ? ? A.-7 【答案】C 【解析】 C.7

3 5 1 B. ? 7

4 5

?

4 1 D.-7 或 ? 7

) 的值为

3 4 5 5 sin ? 4 4 ?? , ? sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ,? tan ? ? cos ? 3 5

试题分析:由于 z ? (cos ? ? ) ? (sin ? ? )i 是纯虚数,? cos ? ?

3 4 , sin ? ? , 5 5

? ? tan? ? tan 4 ? tan?? ? ? ? ? 7 ,故答案为 C. 4 ? 1 ? tan? ? tan ? ? 4
考点:1、复数的概念;2、两角差的正切公式. 3.已知等比数列 ?a n ?的各项都是正数,且 3a1 , A.1 【答案】D B.3 C.6

?

1 a ?a a3 , 2 a2 成等差数列,则 20 19 ? 2 a18 ? a17
D.9

【解析】

考点:等差数列的通项公式和性质应用. 4.给出下列结论:①命题“ ?x ? R, sin x ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, sin x ? 1 ” ; ②命题“ ? ?

?
6

”是“ sin ? ?

1 ”的充分不必要条件; 2

③数列 ?a n ?满足“ an?1 ? 3an ”是“数列 ?a n ?为等比数列”的充分必要条件. 其中正确的是 A.①② 【答案】A 【解析】 试题分析:对于①命题“ ?x ? R, sin x ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, sin x ? 1 ”正确;对于②, 当“ ? ? B.①③ C.②③ D.①②③

?
6

”能得到“ sin ? ?

? ? 1 1 ” ,由“ sin ? ? ”不能得到“ ? ? ” ,命题“ ? ? ” 6 6 2 2

是“ sin ? ?

1 ”的充分不必要条件,正确;对于③,当“ an?1 ? 3an ”不能得到“数列 ?a n ? 2

为等比数列”如 an ? 0 为常数列时,由“数列 ?a n ?为等比数列”不能得到“ an?1 ? 3an ” , 错误,正确的为①②,故答案为 A. 考点:命题的真假性. 5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 为 A. ?

1 2

B.-3

C.

1 3

D.2

【答案】D

考点:程序框图的应用. 6.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 ,数列 ?a n ?是公差为 d 的等差数列,若 a1 ? f (d ? 1) ,
2

a3 ? f (d ? 1) ,则 ?a n ?的通项公式为 an ?
A. 2 n ? 1 【答案】B 【解析】 试题分析: a1 ? f ?d ? 1? ? ?d ?1? ? 2?d ? 1? ? 4 , a3 ? f ?d ? 1? ? ?d ? 1? ? 2?d ? 1? ? 4 ,
2 2 2 2 ? a3 ? a1 ? ?d ? 1? ? 2?d ? 1? ? 4 ? ?d ?1? ? 2?d ?1? ? 4 ? 4d ? 4 ? 2d ,解得 d ? 2 ,

B. 2n ? 1

C. 2n ? 3

D. n ? 2

?

?

a1 ? f ?1? ? 1 ? 2 ? 4 ? 3 ,? an ? a1 ? ?n ?1?d ? 2n ? 1 ,故答案为 B.

考点:等差数列的通项公式. 7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.

16 3

B.

80 3

C.

64 3

D.

43 3

【答案】B

考点:由三视图求体积. 8.若实数 x, y 满足 ? A.-2 【答案】B

?

y?2

? x ? y ?1 ? 0

,则 z ? C.-4

x? y 的最小值为 x?2
D.-5

B.-3

【解析】 试题分析:作出不等式组对应的平面区域如图: z ? 设k ?

x? y x?2? y?2 y?2 ? ? 1? , x?2 x?2 x?2

y?2 ,则 k 的几何意义为区域内的点到定点 D?2,?2? 的斜率,由图象可知, AD 的 x?2

斜率最小, 由?

?x ? 1 ?y ? 2 2?2 ? ?4 ,则 ,得 ? ,即 A?1,2? ,此时 AD 的斜率 k ? 1? 2 ?y ? 2 ?x ? y ? 1 ? 0
x? y 的最小值为-3,故答案为 B. x?2

z ? 1 ? k ? 1 ? 4 ? ?3 ,
即z ?

考点:线性规划的应用. 【方法点晴】本题主要考查的是利用线性规划求函数的最值,属于中档题.线性规划类问题 的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域,然后确定目标函数的几何意义

x? y x?2? y?2 ? x?2 x?2 y?2 ? 1? 表示的是 ? x, y ? 点与 ?2,?2? 连线的斜率再加上 1,通过数形结合确定目标函数何 x?2 z?
时取得最值.画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证,防止出现错误. 9.已知函数 f ?x ? 1? 是偶函数,当 x ? (1,??) 时,函数 f ?x ? ? sin x ? x ,设 a ? f ( ? ) ,

1 2

b ? f (3) , c ? f (0) ,则 a, b, c 的大小关系为
A. b ? a ? c 【答案】A B. c ? a ? b C. b ? c ? a D. a ? b ? c

又 x ? ?1,??? 时, f ??x ? ? cos x ? 1 ? 0

? 当 x ? ?1,??? 时,函数 f ?x ? ? sin x ? x 单调递减,? b ? a ? c ,故答案为 A
考点:函数的性质及应用. 10.已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点, 4PB ? 5PC ? 3PA ? 0 ,现将一粒红豆随机撒在

?ABC 内,则红豆落在 ?PBC 内的概率是
A.

1 4

B.

1 3

C.

5 12

D.

1 2

【答案】A

考点:几何概型的应用. 11.点 F ?c,0? 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,点 P 为双曲线左支上一点,线 a 2 b2
2

段 PF 与圆 ( x ? ) ? y ?
2

c 3

b2 相切于点 Q ,且 PQ ? 2QF ,则双曲线的离心等于 9
C. 5 D.2

A. 2 【答案】C

B. 3

【思路点睛】本题考查椭圆和双曲线的几何性质和直线和圆的位置关系,属于中档题,在双 曲线的几何性质中,涉及较多的为的为离心率,确定几何量的关系是关键,求双曲线的离心 率两种方法, 一种是直接建立 e 或 e 的范围, 另一种是建立 a , b, c 的齐次关系式, 将 b 用 a, e 表示,令两边同除以 a 或 a 化为 e 的关系式,进而求解,在做题过程中,注意区别椭圆和 双曲线的 a , b, c 关系的不同.
2 12.已知 f ( x) ? a ln(x ? 1) ? x 在区间 ?0,1? 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q ,不等式
2

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 p?q
A. ?15,??? 【答案】A 【解析】 试题分析:由于 率, 因实数 p, q 在区间 ?0,1? ,故 p ? 1 和 q ? 1 在区间 ?1,2? 内, B. (??,15] C.(12,30] D. (-12,15]

f ? p ? 1? ? f ?q ? 1? 表示点 ? p ? 1, f ? p ? 1?? 与点 ?q ? 1, f ?q ? 1?? 连线的斜 p?q

? 不等式
大于 1,

f ? p ? 1? ? f ?q ? 1? ? 1 恒成立,? 函数图象上在区间 ?1,2? 内任意两点连线的斜率 p?q

故函数的导数大于 1 在 ?1,2? 内恒成立, 由函数的定义域知, x ? ?1 ,? f ?? x ? ? 即 a ? 2 x ? 3x ? 1 在 ?1,2? 内恒成立,
2

a ? 2 x ? 1 在 ?1,2? 内恒成立, x ?1

由于二次函数 y ? 2 x ? 3x ? 1 在 ?1,2? 上的单调增函数,
2

故 x ? 2 时,二次函数 y ? 2 x ? 3x ? 1 在 ?1,2? 上最大值为 15,? a ? 15 ,故答案为 A
2

考点:1、斜率公式的应用;2、函数恒成立. 【方法点睛】本题考查斜率公式的应用,函数的恒成立问题,以及利用函数的单调性求函数 的最值,属于压轴题,由于由于

f ? p ? 1? ? f ?q ? 1? 表示点 ? p ? 1, f ? p ? 1?? 与点 p?q

?q ? 1, f ?q ? 1??连线的斜率,故函数图象上在区间 ?1,2? 内任意两点连线的斜率大于 1,故有
f ?? x ? ? a 2 ? 2 x ? 1 在 ?1,2? 内恒成立, 即 a ? 2 x ? 3x ? 1 在 ?1,2? 内恒成立, 由此求得 a 的 x ?1

取值范围. 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上) 13.多项式 (2 x ? 【答案】 ? 160

1 6 ) 的展开式中常数项是_______. x

考点:二项式定理的应用. 14.记等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,若 Sk ?1 ? 8 , Sk ? 0 , Sk ?1 ? ?10 ,则正整数

k ? _______.
【答案】9 【解析】

试题分析: ak ? Sk ? Sk ?1 ? ?8 , ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? ?10 , d ? ak ?1 ? ak ? ?2 ,

Sk ?

k ?a1 ? ak ? ? 0 ,? a1 ? ak ? 0 ,? a1 ? 8 ,?ak ? a1 ? ?k ?1?d ? 8 ? 2?k ? 1? ? ?8 , 2

得k ? 9. 考点:1、等差数列的通项公式;2、等差数列的前 n 项和公式. 15.在 ?ABC 中, a , b, c 分别为角 A, B, C 的对边,且角 A ? 60 ,若 S△ ABC ?
0

15 3 ,且 4

5 sin B ? 3 sin C ,则 ?ABC 的周长等于______.
【答案】 8 ? 19

考点:1、三角形的面积公式;2、正、余弦定理的应用. 【方法点睛】本题考查的是三角形的面积公式,正、余弦定理的应用,属于中档题,在解决 三角形的问题中,面积公式 S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 最常用,因为公式中既 2 2 2

有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来;在三角形中,两边和一角知道,该三角 形是确定的,其解是唯一的,利用余弦定理求第三边;若是已知两边和一边的对角,该三角 形具有不唯一性,通常根据大边对大角进行判断;在三角形中,注意 A ? B ? C ? ? 这个隐 含条件的使用,在求范围时,注意根据题中条件限制角的范围.

1,2,3,4?,且下列四个关系:① a ? 1 ;② b ? 1 ;③ c ? 2 ;④ d ? 4 16.若集合 ?a, b, c, d ? ? ?
有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组 ?a, b, c, d ? 的个数是________. 【答案】6 【解析】 试题分析:由题意, a ? 2 时, b ? 1, c ? 4, d ? 3 ; b ? 3, c ? 1, d ? 4 ;

a ? 3 时, b ? 1, c ? 4, d ? 2 ; b ? 1, c ? 2, d ? 4 ; b ? 2, c ? 1, d ? 4 ; a ? 4 时, b ? 1, c ? 3, d ? 2 ,合条件的有序数组 ?a, b, c, d ? 的个数是 6.
考点:集合的相等关系. 【易错点睛】本题考查集合的相等关系,考查分类讨论的数学思想,正确分类是关键,属于 中档题,此类题的易错点是:①分类不严谨;②审题不认真;本题若对“有且只有”这四个 字不敏感,则在解题过程中不易找到突破口,因此,这类题一定要认真审题,分类做到不重 不漏,列出之后,看是否符合题意才不会陷入命题人的陷阱. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( x ? 为 1. (1)求函数 f ?x ? 的单调递增区间; (2)将 f ?x ? 的图象向左平移

?

) cos( x ? ) ? sin 2 x ? a 的最大值 4 4

?

x ? [0, ] 上有解,求实数 m 的取值范围. 2 5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z ; 【答案】 (1) [ ? (2) ? 3 ? m ? 3 ? 1 . 12 12

?

? 个单位,得到函数 g ?x ? 的图象,若方程 g ?x ? ? m 在 6

试题解析: (1)∵

f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?

?? ? ) ? sin 2 x ? a ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? a ? 2 sin ? 2 x ? ? ? a 2 3? ?
?
3

∴ 2 ? a ? 1 ,∴ a ? ?1 . 由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?

?
2

? 2k? ,解得 ?

5? ? ? k? ? x ? ? k? , 12 12

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z . 12 12 ? (2)∵将 f ?x ? 的图象向左平移 个单位,得到函数 g ?x ? 的图象, 6 ? ? ? 2? ) ?1 ∴ g ( x) ? f ( x ? ) ? 2 sin[ 2( x ? ) ? ] ? 2 sin( 2 x ? 6 6 3 3 ? 2? 2? 5? ?[ , ] , ∵ x ? [0, ] ,∴ 2 x ? 2 3 3 3
所以函数的单调递增区间是 [ ? ∴当 2 x ? 当 2x ?

2? 2? 2? 3 ? 时, sin(2 x ? , g ?x ? 取最大值 3 ? 1 ; )? 3 3 3 2

2? 3? 2? ? ) ? ?1, g ?x ? 取最小值 ? 3 . 时, sin( 2 x ? 3 2 3

? ?3 ? m ? 3 ?1 .
考点:1、三角函数的单调区间;2、三角函数在闭区间上的最值. 【思路点睛】 本题考查三角函数的变换, 三角函数的图象平移, 三角函数在闭区间上的最值, 属于中档题,求函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ? 在区间 ?a, b? 上值域的一般步骤:第一步:把三角 函数式根据三角函数的有关公式进行化简,一般化成形如 y ? A sin??x ? ? ? ? k 的形式,第 二步:由 x 的取值范围确定 ?x ? ? 的取值范围,再确定 sin ??x ? ? ?的取值范围,第三步: 求所给函数的值域(或最值). 18.(本小题满分 12 分)甲、乙两所学校的代表队参加汉字听写大赛.在比赛第二阶段,两 队各剩最后两名队员上场,甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是 名队员通过第二阶段比赛的概率都是

2 4 和 ,乙队两 5 5

3 .通过了第二阶段比赛的队员,才能进入第三阶段比 5

赛(若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛,则该队进入第三阶段比赛人数为 0).所 有参赛队员比赛互不影响,其过程、结果都是彼此独立的. (1)求第三阶段比赛,甲、乙两队人数相等的概率; (2) X 表示第三阶段比赛甲、乙两队的人数差的绝对值,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】 (1)

252 432 ; (2) E ( X ) ? 625 625

试题解析: (1)设 ? 、 ? 分别表示甲、乙通过第二阶段比赛的人数, ? 、? 的可能取值为 0,1,2.

3 1 3 2 4 8 2 1 3 4 14 P (? ? 0) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? , P(? ? 2) ? ? ? , 5 5 25 5 5 25 5 5 5 5 25 2 2 4 3 2 12 3 3 9 P(? ? 0) ? ? ? , P (? ? 1) ? 2 ? ? ? , P (? ? 2) ? ? ? . 5 5 25 5 5 25 5 5 25
设参加第三阶段比赛,甲、乙两队人数相等为事件 A,则

考点:离散型随机变量的分布列和数学期望. 【方法点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及性质,属于中档题;一般地,若离散型随 机变量 X 可能取的不同值为 x1 , x2 , x3 ? xn 的概率 P? X ? xi ? ? pi ,解答此类问题善于灵活 运用两个性质:一是 pi ? 0 ;二是 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? pn ? 1 ,求出分别列后注意运用分布 列的两条性质检验所求的分布列是否正确,解出方程组得出结果.

19.(本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 ABB1 A1 为矩形, AB ? 2 ,

AA 1 的中点, BD 与 AB1 交于点 O ,且 CO ⊥平面 ABB 1A 1. 1 ? 2 2 , D 是 AA
(1)证明: BC ? AB1 ; (2)若 OC ? OA ,求直线 CD CD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

【答案】 (1)证明略; (2)

15 . 5

试题解析: (1)由题意 tan?ABD ? 又 0 ? ?ABD , ?AB1 B ?

AD 2 AB 2 ? , tan?AB1 B ? , ? AB 2 BB1 2

?
2

,∴ ?ABD ? ?AB1B ,

∴ ?AB1 B ? ?BAB1 ? ?ABD ? ?BAB1 ? ∵ ?AOB ?

?
2



?
2

,∴ AB1 ? BD .又 CO ? 平面 ABB1 A1 ,∴ AB1 ? CO ,

∵ BD 与 CO 交于点 O ,∴ AB1 ? 平面 CBD ,

又 BC ? 平面 CBD ,∴ AB1 ? BC . (2)如图,分别以 OD , OB1 , OC 所在直线为 x, y , z 轴,以 O 为坐标原点,建立如图所 示的空间直角坐标系 O ? xyz ,则 A(0,?

2 3 2 6 2 3 ), ,0) , B(? ,0,0) , C (0,0, 3 3 3

D(

6 ,0,0) , 3

AB ? (?

2 6 2 3 2 3 2 3 6 2 3 , ,0) , AC ? (0, , ) , CD ? ( ,0,? ), 3 3 3 3 3 3

? 2 6 2 3 ? x? y?0 ? ? ? 3 ? n ? AB ? 0 3 设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ,即 ? , ? ? 2 3 y? 2 3 x?0 ?n ? AC ? 0 ? 3 ? 3
令 y ? 1 ,则 z ? ?1 , x ?

2 2 ,1,?1) , ,所以 n ? ( 2 2

考点:1、直线与平面垂直的判定;2、直线与平面所成的角. 20.(本小题满分 12 分)已知动点 S ?x, y ? 到直线 l : x ? 2 2 的距离是它到点 T ( 2 ,0) 的距

离的 2 倍. (1)求动点 S 的轨迹 C 的方程; (2)设轨迹 C 上一动点 P 满足: OP ? ?OM ? 2?ON ,其中 M , N 是轨迹 C 上的点,直 线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? 点,求 QE1 ? QE2 的值.

1 3 3 ,0) , E2 ( ,0) 为两定 ,若 Q(? , ? ) 为一动点, E1 (? 2 2 2

【答案】 (1) 【解析】

x2 y2 ? ?1; (2) QE1 ? QE2 ? 2 . 4 2

试题分析:本题考查抛物线方程,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理运用,考查学生 分析问题解决问题的能力,属于难题,求轨迹方程的常用方法,①直接法:直接利用条件建 立 x, y 之间的关系 F ?x, y ? ? 0 ②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程;③定义法:先根据条件得出动点的轨迹 是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;④相关点法:动点 P?x, y ? 依 赖于另一个动点 Q?x0 , y0 ? 的变化而运动,常利用代入法求动点 P?x, y ? 的轨迹方程.

考点:1、求轨迹方程;2、椭圆的概念和几何性质. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 g ( x ) ? f ( x ) ? 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直. (1)求实数 a 的值; (2)若函数 g ?x ? 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3)设 x1 、 x 2 ( x1 ? x2 )是函数 g ?x ? 的两个极值点,若 b ? 值. 【答案】 (1) a ? 1 ; (2) (3,??) ; (3) 【解析】 试题分析: (1)利用导数的几何意义求曲线在点 ?0,1? 处的切线方程,注意这个点的切点,利 用导数的几何意义求切线的斜率 k ? f ??1? ; (2)函数 y ? f ?x ? 在某个区间内可导,则若

1 2 x ? bx ,函数 f ?x ? ? x ? a ln x 在 x ? 1 2

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小 2

15 ? 2 ln 2 8

f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区间

试题解析: (1)? f ?x ? ? x ? a ln x ∴ f ?( x ) ? 1 ?

a . x

∵与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? y? x?1 ? 1 ? a ? 2 ,? a ? 1 . (2)∵ g ( x) ? ln x ?

1 2 1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 x ? (b ? 1) x ,∴ g ?( x) ? ? x ? (b ? 1) ? , 2 x x
2

由题意知 g ?( x) ? 0 在 (0,??) 上有解,? x ? 0 ,设 u( x) ? x ? (b ?1) x ? 1 ,则 u?0? ? 1 ? 0

b ?1 ? b ?1 ? ?0 ? ?? 所以只需 ? ,故 b 的取值范围是 (3,??) . 2 b ? 3 或 b ? ? 1 2 ? ? ?? ? (b ? 1) ? 4 ? 0
(3)∵ g ?( x) ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? x ? (b ? 1) ? ,所以令 g ?( x) ? 0 . x x

∴ x1 ? x2 ? b ? 1 , x1 x2 ? 1. ∵ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ln x1 ?

1 2 1 2 x1 ? (b ? 1) x1 ] ? [ln x2 ? x2 ? (b ? 1) x2 ] 2 2

? ln

x1 1 2 x 1 x x 2 ? ( x1 ? x2 ) ? (b ? 1)(x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) , x2 2 x2 2 x2 x1
1 1 x1 (0 ? t ? 1) , h(t ) ? ln t ? (t ? )( 0 ? t ? 1) , 2 t x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ,所以设 t ?

1 1 1 (t ? 1) 2 ? 0 ,所以 h ?t ? 在(0,1)单调递减, ∴ h?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? t 2 t 2t 2
又b ?

7 25 2 ,∴ (b ? 1) ? , 2 4

即 ( x1 ? x2 ) ? (
2 2

x1 ? x2 2 1 25 . ) ?t? ?2? x1 x2 t 4
1 1 15 ? 2 ln 2 , , h(t ) ? h( ) ? 4 4 8

2 ∵0<t<1,∴ 4t ? 17t ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? t ?

故所求的最小值是

15 ? 2 ln 2 . 8

考点:1、导数的几何意义;2、函数单调性的应用;3、函数的极值和最值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 x ? 3? t ? ? 2 ( t 为参数) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? .在以原点 O 为 ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 坐标为 (3, 5 ) ,圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值. 【答案】 (1) x ? y ? 3 ? 5 ? 0 , x 2 ? ( y ? 5 ) 2 ? 5 ; (2) 3 2

(2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ? 即 t ? 3 2t ? 4 ? 0 ,由于 ? ? (3 2 )2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,
2

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

故可设 t1 , t 2 是上述方程的两实数根,所以 ? 1

?t ? t 2 ? 3 2 ? t1t 2 ? 4



又直线 l 过点 P(3, 5 ) , A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t 2 , 所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 . 考点:1、参数方程与普通方程的互化;2、直线与圆的综合问题. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2 , g ( x) ? ? x ? 2 ? 3 . (1)解不等式: g ( x) ? ?2 ; (2)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? m ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1) x ? 7 ? x ? 3?; (2) m ? ?

?

1 . 2

(2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2x ?1 ? x ? 2 ?1,

? ? ? 3x ? 2, x ? ?2 ? 3 1 ? 则 h( x) ? ?? x ? 2,?2 ? x ? ,所以 h ( x ) ? . 2 2 ? 1 ? 3 x, x ? ? 2 ?

所以对应任意 x ? R ,不等式 f ( x) ? g ( x) ? m ? 2 恒成立,得 m ? 2 ? 所以最后 m 的取值范围是 m ? ?

1 3 ,得 m ? ? , 2 2

1 . 2

考点:1、含绝对值不等式的解法;2、恒成立的问题.


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