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江苏省苏州市2017届高三上学期期中调研考试数学试题(WORD版,含答案)


2016—2017 学年第一学期高三期中调研试卷

数 学
注意事项: 1.本试卷共 4 页.满分 160 分,考试时间 120 分钟.

2016.11

2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上,在本试卷上答题无效. 3.答题前,务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案直接填写在答卷纸 相应的位置) ... 1.已知集合 A ? {x 0 ≤ x ≤ 2} , B ? {x ?1 ? x ≤1} ,则 A I B ? 2.若命题 p : ?x ? R, 使x2 ? ax ? 1 ? 0 ,则 ? p : 3.函数 y ? ▲ . ▲ .

1? x 的定义域为 x?2





4.曲线 y ? x ? cos x 在点 ( , ) 处的切线的斜率为

? ?

2 2





5.已知 tan ? ? ? ,则 tan(? ?

4 3

?
4

)?



. ▲ .

a1a9 ? 4 , 6. 已知等比数列 {an } 的各项均为正数, 且满足: 则数列 {log 2 an } 的前 9 项之和为

7.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 8x ,则 f (? ▲ .

19 )? 3

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a 2 ? b 2 ? 2bc , sin C ? 3sin B ,则

A?





?2 x ? 1, x ? 0 9.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有三个零点,则实数 m 的取值范围是 x ? x , x ≤ 0 ? ▲ . cos2? ? 1 ? 10.若函数 y ? tan ? ? (0 ? ? ? ) ,则函数 y 的最小值为 ▲ . sin 2? 2
11.已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

2 )(? ? 0) ,将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 ? 个单位长度后,所得 3 3
▲ .

图象与原函数图象重合,则 ? 的最小值等于

12.已知数列 {an } 满足: an?1 ? a n (1 ? an?1 ), a1 ? 1,数列 {bn } 满足: bn ? an ? an?1 ,则数列 {bn } 的前 10 项的和 S10 ? ▲ .

13.设 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对应的边为 a,b,c,若 A,B,C 依次成等差数列且 a 2 ? c 2 ? kb 2 ,则 实数 k 的取值范围是 14.已知函数 f ( x) ? ▲ .

x?a ,若对于定义域内的任意 x1 ,总存在 x2 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则满足条 ( x ? a) 2
▲ .

件的实数 a 的取值范围是

二、解答题(本大题共 6 个小题,共 90 分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 15.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3 ? ? ? 3 (? ? R)
x ?x

(1)若 f ( x) 为奇函数,求 ? 的值和此时不等式 f ( x) ? 1 的解集; (2)若不等式 f ( x) ≤ 6 对 x ? [0, 2] 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

16.(本题满分 14 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,且满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an log 1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 Sn ? n ? 2n?1 ? 62 成立的正整数 n 的最小值.
2

17.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)若 0 ≤ x ≤

?
3

) ? cos x .

?
2

,求函数 f ( x) 的值域;

(2)设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 A 为锐角且 f ( A) ? 求 cos( A ? B) 的值.

3 ,b ? 2 , c ? 3 , 2

18.(本题满分 15 分) 如图,有一块平行四边形绿地 ABCD,经测量 BC ? 2 百米, CD ? 1 百米, ?BCD ? 120? ,拟过线段 BC 上一点 E 设计一条直路 EF(点 F 在四边形 ABCD 的边上,不计路的宽度),EF 将绿地分成两 部分,且右边面积是左边面积的 3 倍,设 EC ? x 百米, EF ? y 百米. (1)当点 F 与点 D 重合时,试确定点 E 的位置; (2)试求 x 的值,使路 EF 的长度 y 最短.

C

E

B

D

A

19. (本题满分 16 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 An , 对 任 意 n ? N* 满 足

An?1 An 1 ? ? , 且 a1 ? 1 , 数 列 {bn } 满 足 n ?1 n 2

bn? 2 ? 2bn?1 ? bn ? 0(n ? N*) , b3 ? 5 ,其前 9 项和为 63.
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)令 cn ? 取值范围; (3)将数列 {an },{bn } 的项按照“当 n 为奇数时,an 放在前面;当 n 为偶数时,bn 放在前面”的要求进 行“交叉排列”, 得到一个新的数列: 求这个新数列的前 n 项和 Sn . a1 , b1 , b2 , a2 , a3 , b3 , b4 , a4 , a5 , b5 , b6 , ??? ,

bn an ? ,数列 {cn }的前 n 项和为 Tn ,若对任意正整数 n,都有 Tn ≥ 2n ? a ,求实数 a 的 an bn

20. (本题满分 16 分)

? f ( x), f ( x) ≥ g ( x) 已知 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 1(a ? 0) ,定义 h( x) ? max ? f ( x), g ( x)? ? ? . ? g ( x), f ( x) ? g ( x)
(1)求函数 f ( x) 的极值; (2)若 g ( x) ? xf ?( x) ,且存在 x ?[1,2] 使 h( x) ? f ( x) ,求实数 a 的取值范围; (3)若 g ( x) ? ln x ,试讨论函数 h( x) ( x ? 0) 的零点个数.

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数 学

(附加)

2016.11

注意事项: 1.本试卷共 2 页.满分 40 分,考试时间 30 分钟. 2.请在答题卡上的指定位置作答,在本试卷上作答无效. 3.答题前,请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置. 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 .若 ................... 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图, AB 是圆 O 的直径,弦 BD , CA 的延长线相交于点 E , EF 垂直 BA 的延长线于点 F . 求证: AB 2 ? BE ? BD ? AE ? AC

B.(矩阵与变换) (本小题满分 10 分)

?? ?1? 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? , 并且矩阵 M 将点 (?1,3) 变换为 ?1?

(0,8) .
(1)求矩阵 M; (2)求曲线 x ? 3 y ? 2 ? 0 在 M 的作用下的新曲线方程.

C.(极坐标与参数方程) (本小题满分 10 分)

? x ? r cos? ? 2 已知平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? (? 为参数, r ? 0) .以直角坐标 ? y ? r sin ? ? 2
系原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 2? sin(? ? π ) ? 1 ? 0 .

4

(1)求圆 C 的圆心的极坐标; (2)当圆 C 与直线 l 有公共点时,求 r 的取值范围.

D.(不等式选讲) (本小题满分 10 分) 已知 a, b, c, d 都是正实数,且 a ? b ? c ? d ? 1 ,求证:

a2 b2 c2 d2 1 ? ? ? ≥ . 1? a 1? b 1? c 1? d 5

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试,共设置了 A、B、C 三个测试项目.假定张某通 过项目 A 的概率为 立. (1)用随机变量 X 表示张某在测试中通过的项目个数,求 X 的概率分布和数学期望 E ( X ) (用 a 表示); (2)若张某通过一个项目的概率最大,求实数 a 的取值范围.

1 ,通过项目 B、C 的概率均为 a (0 ? a ? 1) ,且这三个测试项目能否通过相互独 2

23.(本小题满分 10 分) 在 如 图 所 示 的 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , SA ? 底 面 A B C D , ?DAB ? ?ABC ? 90? ,
SA ? AB ? BC ? a , AD ? 3a (a ? 0) ,E 为线段 BS 上的一个动点.

(1)证明:DE 和 SC 不可能垂直; (2)当点 E 为线段 BS 的三等分点(靠近 B)时,求二面角 S ? CD ? E 的余弦值.

S

E B

A C

D

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数 学 参 考 答 案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. {x | 0 ≤ x ≤1} 2. ?x ? R, 使x 2 ? ax ? 1≥ 0 5.7 10.2 6.9 11.3 7. ?2 12. 3. (?2,1] 8. 4.2 9. (? ,0] 14. a ≥ 0

?
3

1 4

10 11

13. (1, 2]

二、解答题(本大题共 6 个小题,共 90 分) 15.(本题满分 14 分) 解:(1)函数 f ( x) ? 3x ? ? ? 3? x 的定义域为 R. ∵ f ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ? 0 对 ?x ? R 恒成立, 即 3 ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? (? ? 1)(3 ? 3 ) ? 0 对 ?x ? R 恒成立, ∴ ? ? ?1 . ..........3 分 x ?x x 2 x 此时 f ( x) ? 3 ? 3 ? 1 即 (3 ) ? 3 ? 1 ? 0 ,
?x x x ?x x ?x

1+ 5 1? 5 或3x ? (舍去) , 2 2 1+ 5 }. ∴解集为 {x | x ? log 3 2
解得 3x ? (2)由 f ( x) ≤ 6 得 3x ? ? ? 3? x ≤ 6 ,即 3x ? 令 t ? 3x ?[1,9] ,原问题等价于 t ? 令 g (t ) ? ?t ? 6t , t ?[1,9] ,
2

..........6 分 ..........7 分

?
3x

≤6,

?
t

≤ 6 对 t ? [1,9] 恒成立,
...........10 分

亦即 ? ≤ ?t 2 ? 6t 对 t ? [1,9] 恒成立,

∵ g (t ) 在 [1,3] 上单调递增,在 [3,9] 上单调递减, ∴当 t ? 9 时, g (t ) 有最小值 g (9) ? ?27 ,∴ ? ≤ ?27 . 16.(本题满分 14 分)

.........14 分

解:(1)∵ a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项,∴ 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 , 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,可得 a3 ? 8 , ∴ a2 ? a4 ? 20 ,∴ ?

........1 分

? a ? 32 2 ? ? a1 ? 2 ? 1 ?a1q ? 8 ,解之得 或 ? 1 , .......4 分 ? 3 q ? q ? 2 a q ? a q ? 20 ? ? ? 1 ? 1 2 ?
..........6 分 ..........7 分 ……①
n n?1

?a ? 2 ∵ q ? 1 ,∴ ? 1 ,∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n . ?q ? 2 (2)∵ bn ? an log 1 an ? 2n log 1 2n ? ?n ? 2n ,
2 2

∴ Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ) ,

2Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 2 ? ?? (n ?1) ? 2 ? n ? 2 ) ,
2 3

……②

②-①得 Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 . ..........12 分 1? 2 ∵ Sn ? n ? 2n?1 ? 62 ,∴ 2n ?1 ? 2 ? 62 ,∴ n ? 1 ? 6 , n ? 5 , .........13 分 ?
∴使 Sn ? n ? 2n?1 ? 62 成立的正整数 n 的最小值为 6. 17.(本题满分 15 分) 解:(1) f ( x) ? (sin x ? 3cos x)cos x ? sin x cos x ? 3 cos x
2

..........14 分

1 3 3 ? 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? . ........2 分 2 2 2 3 2 3 ? ? ? ? 4? ≤ sin(2 x ? ) ≤1 ,.......4 分 由 0 ≤ x ≤ 得, ≤ 2 x ? ≤ ,? 2 3 2 3 3 3 ? 3 3 3 ≤1 ? ]. ∴ 0 ≤ sin(2 x ? ) ? ,即函数 f ( x) 的值域为 [0,1 ? ...6 分 3 2 2 2 ? 3 3 ? ? (2)由 f ( A) ? sin(2 A ? ) ? 得 sin(2 A ? ) ? 0 , 3 2 2 3 ? ? ? 4? ? ? 又由 0 ? A ? ,∴ ? 2 A ? ? ,∴ 2 A ? ? ? , A ? . .....8 分 2 3 3 3 3 3 在 ?ABC 中,由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A=7 ,得 a ? 7 .......10 分 b sin A 21 a b ? ,得 sin B ? , ......12 分 ? a 7 sin A sin B 2 7 ∵ b ? a ,∴ B ? A ,∴ cos B ? , 7 1 2 7 3 21 5 7 ? ? ? ∴ cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ? ? .....15 分 2 7 2 7 14
由正弦定理 18.(本题满分 15 分)

1 解:(1)平行四边形 ABCD 的面积为 S? ABCD ? 2 ? ?1? 2sin120? ? 3 , 2

1 3 当点 F 与点 D 重合时, S?CFE ? CE ? CD ? sin120? ? x, 2 4 3 3 1 ∵ S?CFE ? S? ABCD ,∴ , x ? 1 (百米),∴E 是 BC 的中点. ....3 分 x= 4 4 4 (2)①当点 F 在 CD 上时,

1 1 3 1 ∵ S ?CFE ? CE ? CF ? sin1200 ? S? ABCD ? ,∴ CF ? , 2 4 4 x 2 2 2 在三角形 CDE 中, EF ? CE ? CF ? 2CE ? CF ? cos1200 ,
∴ y ? x2 ?

........4 分

1 ? 1 ≥ 3 ,当且仅当 x ? 1 时取等号, x2 此时 E 在 BC 中点处且 F 与 D 重合,符合题意; ..............8 分 ②当点 F 在 DA 上时, ( x ? FD) 3 1 3 ? ? S? ABCD ? ∵ S梯形CEFD ? ,∴ DF ? 1 ? x , ..........9 分 2 2 4 4 Ⅰ.当 CE ? DF 时,过 E 作 EG∥CD 交 DA 于 G,
在 ?EGF 中, EG ? 1, GF ? 1 ? 2 x, ?EGF ? 60? ,由余弦定理得 y ? 4x2 ? 2x ? 1 ; Ⅱ.当 CE ≥ DF ,过 E 作 EG∥CD 交 DA 于 G, 在 ?EGF 中, EG ? 1, GF ? 2 x ? 1, ?EGF ? 120? ,由余弦定理得 y ? 4x2 ? 2x ? 1 ;

1 3 由Ⅰ、Ⅱ可得 y ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? 4( x ? ) 2 ? , 4 4
∴当 x ?

............13 分

1 3 时, ymin ? , 2 4

3 (百米),符合题意; ....14 分 4 3 1 ∴由①②可知,当 x ? (百米)时,路 EF 最短为 (百米) . ....15 分 2 4
此时 E 在 BC 的八等分点(靠近 C)处且 DF ? 19.(本题满分 16 分) 解:(1)∵

An?1 An 1 1 ?A ? ? ? ,∴数列 ? n ? 是首项为 1,公差为 的等差数列, n ?1 n 2 2 ?n ? A 1 1 1 n(n ? 1) ∴ n ? A1 ? (n ? 1) ? ? n ? ,即 An ? (n ? N* ) , n 2 2 2 2 (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) ∴ an?1 ? An?1 ? An ? ? ? n ? 1(n ? N* ) , 2 2 又 a1 ? 1 ,∴ an ? n(n ? N* ) . .............3 分 ∵ bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 ,∴ 数列 {bn } 是等差数列, 9(b3 ? b7 ) 设 {bn } 的前 n 项和为 Bn ,∵ B9 ? ? 63 且 b3 ? 5 , 2 b ? b3 9 ? 5 ∴ b7 ? 9 ,∴ {bn } 的公差为 7 ......5 分 = ? 1 , bn ? n ? 2(n ? N* ) . 7 ?3 7 ?3 b a n?2 n 1 1 ? ? 2 ? 2( ? ), (2)由(1)知 cn ? n ? n ? an bn n n?2 n n?2
∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? 2(1 ? ?

1 1 1 1 1 ? ??? ? ) 3 2 4 n n?2 1 1 1 1 1 ? 2n ? 2 (? 1 ? ? ? ) 2n ? 3 ? 2( ? ), 2 n? 1 n? 2 n ?1 n ? 2

k (k ? 1) k (k ? 5) ? ? k 2 ? 3k ; 2 2 (2k ? 1)(2k ? 2) 2k (2k ? 5) * ②当 n ? 4k ? 1 (k ? N ) 时, Sn ? A2k +1 ? B2k ? ? 2 2 ? 4k 2 ? 8k ? 1 , 特别地,当 n ? 1 时, S1 ? 1 也符合上式; (2k ? 1)2k 2k (2k ? 5) ③当 n ? 4k ? 1 (k ? N* ) 时, Sn ? A2k ?1 ? B2k ? ? ? 4k 2 ? 4k . 2 2 ?1 2 3 ? 4 n ? 2 n, n ? 2 k ? 2 ? n ? 6n ? 3 , n ? 4k ? 3 , k ? N* . 综上: Sn ? ? ...........16 分 4 ? ? n 2 ? 6n ? 5 , n ? 4k ? 1 ? 4 ? 20.(本题满分 16 分) 解:(1)∵函数 f ( x) ? ax 3 ? 3 x 2 ? 1 ,
①当 n ? 2k (k ? N* ) 时, Sn ? Ak ? Bk ? ∴ f '( x) ? 3ax 2 ? 6 x ? 3 x(ax ? 2) . 令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 或 x2 ? ..........1 分

1 1 ............7 分 ? ). n ?1 n ? 2 1 1 4 1 1 ? )? ?0, 设 Rn ? 3 ? 2( ? ) ,则 Rn ?1 ? Rn ? 2( n ? 1 n ? 3 ( n ? 1)( n ? 3) n ?1 n ? 2 ∴数列 {Rn} 为递增数列, .............9 分 4 ∴ ( Rn )min ? R1 ? , 3 4 ∵对任意正整数 n,都有 Tn ? 2n ≥ a 恒成立,∴ a ≤ . ..........10 分 3 n(n ? 1) n(n ? 5) (3)数列 ?an ? 的前 n 项和 An ? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn ? . 2 2
∴ Tn ? 2n ? 3 ? 2(

x
f '( x) f ( x)

2 ,∵ a ? 0 ,∴ x1 ? x2 ,列表如下: a 2 2 2 (??, 0) 0 (0, ) ( , ??) a a a
? ↗

? ? 0 ↘ 极小值 ↗ 2 8 12 4 ∴ f ( x) 的极大值为 f (0) ? 1 ,极小值为 f ( ) ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 . .......3 分 a a a a 3 2 (2) g ( x) ? xf ?( x) ? 3ax ? 6 x ,∵存在 x ?[1, 2] 使 h( x) ? f ( x) ,

0

极大值

∴ f ( x) ≥ g ( x) 在 x ?[1, 2] 上有解,即 ax3 ? 3x 2 ? 1≥ 3ax3 ? 6 x 2 在 x ?[1, 2] 上有解,

1 3 .............4 分 ? 在 x ?[1, 2] 上有解, x3 x 1 3 3x 2 ? 1 ?3 x 2 ? 3 ( x ? [1, 2] ) y ' ? ? 0 对 x ?[1, 2] 恒成立, 设y? 3 ? ? ,∵ x x x3 x4 1 3 1 3 ∴ y ? 3 ? 在 x ?[1, 2] 上单调递减,∴当 x ? 1 时, y ? 3 ? 的最大值为 4, x x x x ∴ 2a ≤ 4 ,即 a ≤ 2 . .........7 分 2 4 (3)由(1)知, f ( x) 在 (0, ??) 上的最小值为 f ( ) ? 1 ? 2 , a a
即不等式 2a ≤

①当 1 ?

4 ? 0 ,即 a ? 2 时, f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, a2 ∴ h( x) ? max{ f ( x), g ( x)} 在 (0, ??) 上无零点. .........8 分 4 ②当 1 ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 时, f ( x)min ? f (1) ? 0 ,又 g (1) ? 0 , a h ( x ) ? max{ f ( x), g ( x)} 在 (0, ??) 上有一个零点. ∴ .........9 分 4 ③当 1 ? 2 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时,设 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 1 ? ln x (0 ? x ? 1) , a 1 1 ∵ ? '( x) ? 3ax2 ? 6 x ? ? 6 x( x ? 1) ? ? 0 ,∴ ? ( x) 在 (0,1) 上单调递减, x x 1 a 2e 2 ? 3 1 ? 0 ,∴存在唯一的 x0 ? ( ,1) ,使得 ? ( x0 ) ? 0 . 又 ? (1) ? a ? 2 ? 0, ? ( ) ? 3 ? 2 e e e e Ⅰ.当 0 ? x ≤ x0 时, ∵ ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ≥? ( x0 ) ? 0 ,∴ h( x) ? f ( x) 且 h( x) 为减函数, 又 h( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? ln x0 ? ln1 ? 0, f (0) ? 1 ? 0 ,∴ h( x) 在 (0, x0 ) 上有一个零点; Ⅱ.当 x ? x0 时, ∵ ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ( x0 ) ? 0 ,∴ h( x) ? g ( x) 且 h( x) 为增函数, ∵ g (1) ? 0 ,∴ h( x) 在 ( x0 , ??) 上有一个零点; 从而 h( x) ? max{ f ( x), g ( x)} 在 (0, ??) 上有两个零点. .........15 分 综上所述,当 0 ? a ? 2 时, h( x) 有两个零点;当 a ? 2 时, h( x) 有一个零点;当 a ? 2 时, h( x)
..........16 分

有无零点.

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 .若 ................... 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(几何证明选讲,本小题满分 10 分) 证明:连接 AD ,∵ AB 为圆的直径,∴ AD ? BD , 又 EF ? AB ,则 A, D, E , F 四点共圆, ∴ BD ? BE ? BA? BF . 又 ?ABC ∽ ?AEF , AB AC ∴ ,即 AB ? AF ? AE ? AC , ? AE AF .............5 分

∴ BE ? BD ? AE ? AC ? BA ? BF ? AB ? AF ? AB ? ( BF ? AF ) ? AB2 . .....10 分 B.(矩阵与变换,本小题满分 10 分) ?a b ? ? a b ? ?1? ?1? ? a b ? ? ?1? ?0? 解:(1)设 M ? ? ,由 ? ? 8? ? 及 ? ?? ? ? ? ?, ? ? ? ? ?c d ? ? c d ? ?1? ?1? ? c d ? ? 3 ? ?8?

?a ? b ? 8 ?a ? 6 ?c ? d ? 8 ?b ? 2 ?6 2? ? ? 得? ,解得 ? ,∴ M ? ? ?. ? 4 4? ??a ? 3b ? 0 ?c ? 4 ? ? ??c ? 3d ? 8 ?d ? 4


................4

(2)设原曲线上任一点 P ( x, y ) 在 M 作用下对应点 P '( x ', y ') ,

2 x '? y ' ? x? ? ? x ' ? ?6 2? ? x ? ?x ' ? 6x ? 2 y ? 8 则? ??? ,即 ? ,解之得 ? , ? ? ? ? y '? ? 4 4 ? ? y ? ? y ' ? 4x ? 4 y ? y ? ?2 x '? 3 y ' ? 8 ? 代入 x ? 3 y ? 2 ? 0 得 x '? 2 y '? 4 ? 0 , 即曲线 x ? 3 y ? 2 ? 0 在 M 的作用下的新曲线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 . C.(极坐标与参数方程,本小题满分 10 分) ? x ? r cos ? ? 2 解:(1)由 C : ? 得 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 , y ? r sin ? ? 2 ? ∴曲线 C 是以 (2, 2) 为圆心, r 为半径的圆,
∴圆心的极坐标为 (2 2, ) .

......10 分

?

4

.............5 分

(2)由 l : 2 ? sin(? ? π) ?1 ? 0 得 l : x ? y ? 1 ? 0 ,

4

| 2 ? 2 ? 1| 5 ? 2, 2 2 5 ∵圆 C 与直线 l 有公共点,∴ d ≤ r ,即 r ≥ ..........10 分 2. 2 D.(不等式选讲,本小题满分 10 分) a2 b2 c2 d2 ? ? ? ) 证明:∵ [(1 ? a ) ? (1 ? b) ? (1 ? c) ? (1 ? d )]( 1? a 1? b 1? c 1? d
从而圆心 (2, 2) 到直线 l 的距离为 d ?

≥( 1? a ?

a b c d ? 1? b ? ? 1? c ? ? 1? d ? )2 1? a 1? b 1? c 1? d
............5 分

? (a ? b ? c ? d ) 2 ? 1 ,
又 (1 ? a) ? (1 ? b) ? (1 ? c) ? (1 ? d ) ? 5 ,

a2 b2 c2 d2 1 ? ? ? ≥ . ............10 分 1? a 1? b 1? c 1? d 5 22.(本题满分 10 分) 解:(1)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3. 1 1 2 P( X ? 0) ? (1 ? )C0 (1 ? a)2 ; 2 (1 ? a) ? 2 2 1 1 1 1 2 P( X ? 1) ? C0 (1 ? a2 ) ; 2 (1 ? a) ? (1 ? )C2 a(1 ? a) ? 2 2 2 1 1 2 2 1 P( X ? 2) ? C1 (2a ? a2 ) ; 2 a(1 ? a) ? (1 ? )C2 a ? 2 2 2 1 2 2 1 2 P( X ? 3) ? C2 a ? a . 2 2 从而X的分布列为 0 3 X 1 2 1 1 1 a2 (2a ? a 2 ) (1 ? a)2 (1 ? a 2 ) P 2 2 2 2 X的数学期望为 1 1 1 a 2 4a ? 1 E ( X ) ? 0 ? (1 ? a) 2 ? 1 ? (1 ? a 2 ) ? 2 ? (2a ? a 2 ) ? 3 ? ? . ......5分 2 2 2 2 2


(2) P( X ? 1) ? P( X ? 0) ? [(1 ? a2 ) ? (1 ? a)2 ] ? a(1 ? a) ,

1 1 ? 2a , P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? [(1 ? a2 ) ? (2a ? a2 )] ? 2 2 1 1 ? 2a 2 P ( X ? 1) ? P ( X ? 3) ? [(1 ? a 2 ) ? a 2 ] ? . 2 2 ? ? a (1 ? a ) ≥ 0 ? 1 1 ? 1 ? 2a 由? ≥ 0 和 0 ? a ? 1 ,得 0 ? a ≤ ,即 a 的取值范围是 (0, ] . ....10 分 2 2 ? 2 ? 1 ? 2a 2 ≥0 ? ? 2
23.(本题满分 10 分) 解:(1)∵ SA ? 底面 ABCD , ?DAB ? 90? ,∴AB、AD、AS 两两垂直. 以 A 为原点, AB 、 AD 、 AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系(如 图), ...............1 分

1 2

则 S (0,0, a) , C (a, a,0) , D(0,3a,0) (a ? 0) , ∵ SA ? AB ? a 且 SA ? AB ,∴设 E ( x,0, a ? x) 其中 0 ≤ x ≤ a , ∴ DE ? ( x, ?3a, a ? x) , SC ? (a, a, ?a) , 分

??? ?

??? ?

................2

??? ? ??? ? 假设 DE 和 SC 垂直,则 DE ? SC ? 0 , 即 ax ? 3a 2 ? a 2 ? ax ? 2ax ? 4a 2 ? 0 ,解得 x ? 2a , 这与 0 ≤ x ≤ a 矛盾,假设不成立,所以 DE 和 SC 不可能垂直.
(2)∵E 为线段 BS 的三等分点(靠近 B),∴ E ( a,0, a) .

........4 分

设平面 SCD 的一个法向量是 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 CDE 的一个法向量是 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , ?? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ?n1 ? CD ? 0 ∵ CD ? (?a,2a,0) , SD ? (0,3a, ?a) ,∴ ? ?? , ? ??? ? ? ?n1 ? SD ? 0 ? ? ? ??ax1 ? 2ay1 ? 0 ? x1 ? 2 y1 即? ,即 ? ,取 n1 ? (2,1,3) , ............6 分 ?3ay1 ? az1 ? 0 ? z1 ? 3 y1 ?? ? ??? ? ?n2 ? CD ? 0 ??? ? ??? ? 2 ? 1 ∵ CD ? (?a,2a,0) , DE ? ( a, ?3a, a) ,∴ ? ?? , ? ???? 3 3 ? ?n2 ? DE ? 0

? ? ?

2 3

1 3

?? ?

? ? ax2 ? 2ay2 ? 0 ?? ? ? x ? 2 y2 ? 即 ?2 ,即 ? 2 ,取 n2 ? (2,1,5) , ............8 分 1 ax2 ? 3ay2 ? az2 ? 0 ? z 2 ? 5 y2 ? 3 ?3 设二面角 S ? CD ? E 的平面角大小为 ? ,由图可知 ? 为锐角, ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? n1 ? n2 4 ? 1 ? 15 2 105 ? ? ?? ? ? ∴ cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ? , ? 21 | n1 | ? | n2 | 14 ? 30
即二面角 S-CD-E 的余弦值为

2 105 . 21

............10 分


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