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2013年北京丰台区高三二模理科数学试题及参考答案


丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二) 数学(理科) 第一部分(选择题 共 40 分)

一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数 i (3 ? 4i ) 的虚部为 (A)3 (B) 3i (C)4 (D) 4i

2. 设向量 a=(x,1), b=(4,x),且 a,b 方向相反,则 x 的值是 (A)2 3. ( x ? (A)6 (B)-2 (C) ?2 (D)0

1 4 ) 展开式中的常数项是 x
(B)4 (C)-4 (D)-6

4. 已知数列{an}, 则“{an}为等差数列”是“a1+a3=2a2”的 (A)充要条件 (C)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

5. 下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

?
12

对称的是

x ? (A) y ? sin( ? ) 2 3

x ? (B) y ? sin( ? ) 2 3

(C) y ? sin(2 x ? ) (D) y ? sin(2 x ? ) 3 3 ?0 ? x ? 1, 1 6. 在平面区域 ? 内任取一点 P( x, y ) ,若 ( x, y ) 满足 2 x ? y ? b 的概率大于 ,则 b 的取值范围是 0 ? y ? 1 4 ? (A) (??, 2) (B) (0, 2) (C) (1,3) (D) (1, ??) 7. 用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是 (A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72

?

?

8. 已知偶函数 f(x)(x∈R) ,当 x ? (?2, 0] 时,f(x)=-x(2+x),当 x ?[2, ??) 时,f(x)=(x-2)(a-x)( a ? R ). 关于偶函数 f(x)的图象 G 和直线 l :y=m( m ? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=4 时,存在直线 l 与图象 G 恰有 5 个公共点; ② 若对于 ?m ? [0,1] ,直线 l 与图象 G 的公共点不超过 4 个,则 a≤2; ③ ?m ? (1, ??), ?a ? (4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是 (A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③
1

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 圆 ? ? 2cos ? 的半径是________。

共 110 分)

10.已知变量 x, y 具有线性相关关系,测得 ( x, y ) 的一组数据如下:(0,1),(1, 2),(2, 4),(3,5) ,其回归方程为

? ? 1.4 x ? a ,则 a 的值是 y

。 则 CD

11. 如图, 已知⊙O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D,若 AD=4,BD=3,OC=4, 的长为______。 12. 若双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2 , 则抛物线 a2 3

y 2 ? 8x 的

焦点到 C 的渐近线距离是______。 13. 曲线 f ( x) ? x ?

1 1 在 x ? 处的切线方程是______,在 x=x0 x 2


处的切线

与直线 y ? x 和 y 轴围成三角形的面积为

14. 在圆 x 2 ? y 2 ? 25 上有一点 P(4,3),点 E,F 是 y 轴上两点,且满足 PE ? PF ,直线 PE,PF 与圆交于 C, D,则直线 CD 的斜率是________。

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

16(本小题 13 分)国家对空气质量的分级规定如下表: 污染指数 空气质量 0~50 优 51~100 良 101~150 轻度污染 151~200 中度污染 201~300 重度污染 >300 严重污染

某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下: 34 42 140 101 18 38 73 163 121 154 210 22 40 27 45 36 78 151 23 49 65 103 79 135 207 20 81 16 60 48

根据以上信息,解决下列问题: (Ⅰ)写出下面频率分布表中 a,b,x,y 的值; (Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气质量为优或良
2

的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX. 频率分布表 分组 频数 [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] 合计 14 a 5 b 2 30 频率

7 15
x

1 6
y

1 15
1

17. (本小题 13 分)如图(1),等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC 上, DE ? AB 于 E,现 将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2) ). (Ⅰ)求证:PB ? DE; (Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30° ,求 PE 长.

A

E

P B E D C C B

D

图(1)

图(2)

18.(本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? (Ⅰ)当 a ? ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? a ? R ? . 2

1 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2

(Ⅱ)若 a>0,讨论 f ( x ) 的单调性.

19.(本小题 14 分)已知椭圆 C: 两点,其中点 M (m,

x2 ? y 2 ? 1的短轴的端点分别为 A,B,直线 AM,BM 分别与椭圆 C 交于 E,F 4

1 ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标; (Ⅲ)若?BME 面积是?AMF 面积的 5 倍,求 m 的 值.

3

20.(本小题 14 分)已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an=3n-2,等比数列 ?bn ? 中, b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集 合 A ? x x ? an , n ? N * , B ? x x ? bn , n ? N * , U ? A ? B ,把集合 U 中的元素按从小到大依次排 列,构成数列 ?cn ? . (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列

?

?

?

?

?cn ? 的前 4 项;

(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn ? ,求数列 ?dn ? 的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列

?cn ? 的前 n 项和 S .
n

4

丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二) 数学(理科)
一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 C 6 D 7 B 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 1; 10. 0.9; 11. 2; 12. 2 ; 13. 3x+y-4=0, 2; 14.

4 . 3

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S. 解: (Ⅰ)? 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A.

?2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,

……………………….2 分 ……………………….4 分 …………………….6 分

?sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,? tan A ? 3 ,

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °.
2 2 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos60 , BC ? 7, AC ? 5,
?

? 49 ? AB2 ? 25 ? 5 AB, ? AB2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),………….10 分
? S?ABC ? 1 1 3 AB ? AC ? sin 60? ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2
…………………….13 分

16(本小题 13 分)国家对空气质量的分级规定如下表: 污染指数 空气质量 0~50 优 51~100 良 101~150 轻度污染 151~200 中度污染 201~300 重度污染 >300 严重污染

某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下: 34 42 140 101 18 38 73 163 121 154 210 22 40 27 45 36 78 151 23 49 65 103 79 135 207 20 81 16 60 48

根据以上信息,解决下列问题: (Ⅰ)写出下面频率分布表中 a,b,x,y 的值; (Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气质量为优或良
5

的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX. 频率分布表 分组 频数 [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] 合计 14 a 5 b 2 30 频率

7 15
x

1 6
y

1 15
1

1 1 解: (Ⅰ) a ? 6, b ? 3, x ? , y ? , 5 10

………………………….4 分

(Ⅱ)由题意,该市 4 月份空气质量为优或良的概率为 P=
4

4 2 2 ? ? ,………..5 分 15 5 3

1 8 ?1? ? 2? ?1? 1 P( X ? 0) ? C ? ? ? ? , P( X ? 1) ? C4 ?? ??? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? 81 ? 3 ? 81
0 4

3

8 32 ? 2? ?1? ?2? 1 2 3 P( X ? 2) ? C4 ? ? ? ? ? ? ? , P( X ? 3) ? C4 ?? ? ? ? , 27 81 ? 3 ? ? 3? ? 3? 3 ? 2 ? 16 P( X ? 4) ? C ? ? ? ? . ? 3 ? 81
4 4 4

2

2

3

………………………….10 分

? X 的分布列为:
X P 0 1 2 3 4

1 81

8 81

8 27

32 81

16 81

………………………….11 分

2 2 8 ? X~B(4, ), ? EX ? 4 ? ? . 3 3 3

………………………….13 分

17. (本小题 13 分)如图(1),等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC 上, DE ? AB 于 E,现 将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2) ). ? (Ⅰ)求证:PB DE; (Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30° ,求 PE 的长.

6

A

E

P B E D C C B

D

图(1)

图(2) ……………….2 分

解: (Ⅰ)? DE ? AB ,? DE ? BE ,DE ? PE,

? BE ? PE ? E , ? DE ? 平面 PEB,
? PB ? 平面PEB ,? BP ? DE;
……………………….4 分

(Ⅱ) ?PE ? BE, PE ? DE,DE ? BE ,所以,可由 DE,BE,PE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系(如 图) ,???????????????????????5 分

? 设 PE=a,则 B(0,4-a ,0),D(a,0,0),C(2,2-a,0),P(0,0,a),????????7 分
??? ? ??? ? PB ? (0, 4 ? a, ?a) , BC ? (2, ?2,0) ,????????8 分
设面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z) ,
?? ? ?(4 ? a) y ? az ? 0, 令 y ? 1 , ? n ? (1,1, 4 ? a ) , ????10 分 ?? a ? 2 x ? 2 y ? 0,

z

…………….10 分 y

??? ? ? PD ? (a,0, ?a) ,

……………………….12 分 x

? BC 与平面 PCD 所成角为 30° ,
??? ? ? ? sin 30? ? cos PD, n
. ……………………….11 分

a ? (4 ? a) 2a 2 ? 2 ?
解得:a=

(4 ? a) 2 a2

?

1 , 2

4 4 ,或 a=4(舍),所以,PE 的长为 .……………………….13 分 5 5 1 2 18.(本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? ax ? (2a ? 1) x ? a ? R ? . 2 1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2
(Ⅱ)若 a>0,讨论 f ( x ) 的单调性.
7

解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} , 当a ? ?

……………………….1 分 ……………………….2 分

( x ? 2)( x ? 2) 1 时, f ?( x) ? ? , 2x 2

令 f ?( x) ? 0, 在[1,e]上得极值点 x ? 2, x

[1,2)

2 0

(2, e]

f ?( x ) f ( x)

?


?
减 ……………………….4 分

2 ln 2 ? 1

1 e2 f (1) ? ? , f (e) ? 2 ? , 4 4

……………………….5 分

? f (1) ? f (e), ? f ( x)max ? f (2) ? 2 ln 2 ? 1, f ( x) min ? f (1) ? ? . ………………….7 分
(Ⅱ) f ?( x) ? ①0 ? a ?

1 4

( x ? 2)(ax ? 1) , x

……………………….8 分

1 1 1 时,由 f ?( x ) >0 得 0<x<2 或 x> ,所以 f(x)的单调增区间是(0,2), ( , ??) , a a 2 1 1 ,所以 f(x)的单调减区间是(2, ); a a
……………………….10 分

由 f ?( x ) <0 得 2<x< ②a ?

1 时, f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,且当且仅当 f ?(2) ? 0 , 2
……………………….11 分

? f ( x) 在(0,+?)单调递增;
③当 a ?

1 1 1 时,由 f ?( x ) >0 得 0<x< 或 x>2,所以 f(x)的单调增区间是(0, ), (2, ??) , a a 2 1 1 <x<2,所以 f(x)的单调减区间是( ,2). a a
……………………….13 分

由 f ?( x ) <0 得

19.(本小题 14 分)已知椭圆 C: 交于 E,F 两点,其中点 M (m,

x2 ? y 2 ? 1的短轴的端点分别为 A,B(如图),直线 AM,BM 分别与椭圆 C 4

1 ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标; (Ⅲ)若?BME 面积是?AMF 面积的 5 倍, 解 : ( Ⅰ ) 依 题 意 知 求 m 的值.

a ? 2 , c ? 3 ,? e ? 3 ;
2

……………………… 3 分
8

(Ⅱ)? A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

1 ),且 m ? 0 , 2

………………………4 分

? 直线 AM 的斜率为 k1= ?

1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , 2m 2m 2m
……………6 分

3 ? 直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

? x2 ? y 2 ? 1, ? 由? 4 得 ? m 2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 , 1 ?y ? ? x ? 1, 2m ?

? x ? 0, x ?

4m ? 4m m 2 ? 1 ? , ? E ? 2 , 2 ?, m2 ? 1 ? m ?1 m ?1 ?

………………………8 分

? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 9 ? m2 x 2 ? 12mx ? 0 , ? ? y ? 3 x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

12m 12m 9 ? m2 ? ; ,?F ? , 2 2 ? ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9?

………………………10 分

(Ⅲ)? S?AMF ?

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME , 2 2
| ME | | MF |

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,

………………..12 分

?

5m m ? , 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2

? m?0,

?整理方程得

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ?1) ? 0 , m ?1 m ? 9
2

又? m ? ? 3 ,? m ? 3 ? 0 , ? m ? 1 ,? m ? ?1 为所求.
2

2

………………14 分

20.(本小题 14 分)已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an=3n-2,等比数列 ?bn ? 中, b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集 合 A ? x x ? an , n ? N * , B ? x x ? bn , n ? N * , U ? A ? B ,把集合 U 中的元素按从小到大依次排 列,构成数列 ?cn ? . (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列

?

?

?

?

?cn ? 的前 4 项;

(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn ? ,求数列 ?dn ? 的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列

?cn ? 的前 n 项和 S .
n

9

解: (Ⅰ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q,

? b1 ? a1 ? 1, b4 ? a3 ? 1 ? 8 ,则 q3=8,? q=2,? bn=2n-1,

………………..2 分

? 数列 ?an ? 的前 4 项为 1,4,7,10,数列{bn}的前 4 项为 1,2,4,8, ? 数列 ?cn ? 的前 4 项为 1,2,4,7;
………………..3 分

(Ⅱ)据集合 B 中元素 2,8,32,128 ? A,猜测数列 ?dn ? 的通项公式为 dn =22n-1. ………………..4 分

? dn=b2n ,? 只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A( n ? N ? ).
证明如下:

? b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3× 4n-1,即 b2n+1=b2n-1+3× 4n-1,
若 ? m∈N*,使 b2n-1=3m-2,那么 b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若 b2n-1∈A,则 b2n+1∈A.因为 b1∈A,重 复使用上述结论,即得 b2n-1∈A( n ? N ? ) 。 同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即 b2n+2=b2n+3×2×4n-1,因为“3×2× 4n-1” 数列 ?an ? 的公差 3 的整数倍,所以说明 b2n 与 b2n+2 (n ? N ? ) 同时属于 A 或同时不属于 A, 当 n=1 时,显然 b2=2 ? A,即有 b4=2 ? A,重复使用上述结论, 即得 b2n ? A,? dn =22n-1; ???????????????8 分 ………………..9 分

(Ⅲ) (1)当 n=1 时,所以因为 b1 ? a1 ? 1 ,所以 S1=1;

(2)当 n≥2 时,由(Ⅱ)知,数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A,则 ?k ? N ? ,且 k<n,使得

Sn ? ? ai ? ? b2i
i ?1 i ?1

n?k

k

(n ? k )(a1 ? an?k ) b2 (1 ? 4k ) (n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) ? ? ? ? 2 1? 4 2 3
……………….. 11 分

.

下面讨论正整数 k 与 n 的关系: 数列 ?cn ? 中的第 n 项不外如下两种情况: ① b2k ? cn 或者② an?k ? cn , 若①成立,即有 3(n ? k ) ? 2 ? 22k ?1 ? 3(n ? k ? 1) ? 2 , 若②成立,即有 22k ?1 ? 3(n ? k ) ? 2 ? 22k ?1 ,

?有

22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 或者 , ?n? ?n? 3 3 3 3
10

显然

22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 2 = [k ? ? (22 k ? 2 ? 1)] ? N*,所以 . ?n? 3 3 3 3

?1, n ? 1 综上所述, Sn ? ? . ? (n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) 22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 ? ? , n ? ( , )( k , n ? N ) ? 2 3 3 3 ?
………………..14 分

11


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