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伴随矩阵的秩和特征值


伴随矩阵的秩和特征值
【摘要】伴随矩阵是矩阵理论和高等代数中的一个基本概念,是许多数学分支 研究的重要工具。 伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有其自身 的特点。而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没 有深入研究。本文将分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,且对伴随矩 阵的秩和矩阵的秩的关系以及伴随矩阵的特征值进行研究。 【关键词】矩阵 可逆矩阵 伴随矩阵 秩 代数余子式 特征值
矩阵的伴随矩阵在高等代数当中具有非常重要的地位。 对于一些它的性质的推论,牵 涉到线性代数当中许多概念和方法。

一 伴随矩阵的基本概念 定义 1.1 设矩阵 B=,将矩阵 B 的元素所在的第 i 行第 j 列元素划去后,剩余的

记为 ?n ? 1?2 各元素按原来的顺序组成 n ? 1 阶矩阵所确定的行列式称为的余子式,

M ij ,称 ?? 1? M ij . 为元素的代数余子式,记为,即
i? j

,i,j=1,2,n . 定义 1.2 假设为矩阵 B= 中元素的代数余子式,矩阵 = 称作 B 的伴随矩阵。 二 伴随矩阵的秩和矩阵的秩的定义 定义 2.1 在矩阵 B 中,任意选取 k 行和 k 列元素,位于这 k 行 k 列交叉点上的元 素构成 B 的一个 k 阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为 B 的一个 k 阶子式. 定义 2.2 一个矩阵 B 中不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵的秩. 定义 2.3 一个矩阵 B 的伴随矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做伴随矩阵的 秩. 伴随矩阵的秩和矩阵的秩的关系 若 B 为 n (n) 阶矩阵,为其伴随矩阵,则 r ()= ; 证明:① 当 r(B)=n 时,B 可逆,== 因此 r ()=n ② 当 r(B)<n 时,r ()==0 r(B)+ r ()n 当 r(B)=n-1 时,r ()1, 又有至少有一个元素不为 0, 即 r ()1, 也就是 r ()1 当 r(B)<n-1 时,B 的所有 n-1 阶式为 0, 所以 =0 ,即 r ()1 三 伴随矩阵的性质

假如是 n(n2)阶 B 的伴随矩阵,因此 (1)B=B=E; (2)=; 证明:由公式(1) ,即 B=E 两边取行列式,得 ===。 当 0 时,有=; 当=0 时,得 B=0, B0 时,X = 0 有非零解,=0, B=0 时,=0,=0,=0. 于是可知,对于任何矩阵 B,都有 =; (3) = B (n>2); (4) 可逆 B 可逆,并且=,== B; (5)= ; (6)如果 B 是对称矩阵,那么也是对称矩阵,也就是说 ; (7)= ; 证明:当 n>2 时, 若 r(B)=n,则=B=B=BE = 若 r(B)n-1,则=0,并且 r()=1 或 r()=0 由于 n>2 所以 r()1<n-1 r=0 =0 =0= 当 n=2 时,假设 B=,则有 ===B (8) =。 证明:分三种情况予以证明 情况一:矩阵 A 和矩阵 B 都是可逆矩阵。 ==()=() ()=。 情况二:如果 B 为可逆矩阵,A 则是任意的 n 阶矩阵。令 ? 是任意参变数。 我们考虑矩阵 A+ ? E。由于 det(A+ ? E)是 ? 的 n 次多项式,所以至多只有 n 个不 同的根: , , , ,kn ; 就是说在λ ? 不等于这 k 个数之一时 A+λ E 是可逆 , 矩阵,就有 = (m) 记左边的矩阵的(i , j)元是(λ ),右边的矩阵的(i , j)元是(λ )。那么它 们都是 ? 的多项式,并且在λ , , , ,时恒有 n 。

(λ )=(λ ) ,1 i , j

所以对参数 ? 来说这些都是等式都是恒成立的。特别地,取 ? =0 它们也都是等

式。换一句话说,当 ? =0 时(m)式也是等式,也就是说= 。 情况三:矩阵 A 与 B 都是任意的矩阵。类似以上证明,但是这次证明要考虑矩阵 B+ ? E。除 ? 的有限个取值外,B+ ? E 都是可逆矩阵。通过以上情况二的证明,=. 如同以上的推理,对参数 ? 来说这都是恒等式。那么,当 ? =0 时,就可以得到 结论 =

四 伴随矩阵的秩的应用 4.1 由 r(B)求 r(的问题 例 1 已知 B= ,求 r(。 解: 方法 1 先求 B 的伴随矩阵, 再通过矩阵的初等行变换将化为阶梯型矩阵, 求其非零行的个数,即 r(。 ==-14 == - 2 =-= - 6 = = -4 =-= -6 == 4 = - =10 ==-5 =-=7 = =1 所以 =. = 所以 r(=3. (注)当 A 为二阶矩阵时,其伴随矩阵 B 遵循“主对角线互换,副对角线变号” 如 B =则 B * ? = 方法 2 因为==-14 所以 = =1960 , 所以可逆,故 r()=3. 方法 3 因为==-14,所以 r(B)=3。故 B 可逆,可逆,由 =,可知可逆,故 r()=3. 方法 4 由伴随矩阵的秩和矩阵的秩的关系,即 若 B 为 n(n 阶矩阵,为其伴随矩阵,则 r()= 因为 ==-14 , 所以 r(B)=3。符合第一种情况,所以 r()=3. 4.2 由 r()求 r(B)的问题 例 2 已知=,求 r(B)。
*

解:方法 1 由于==160 于是可知 r()=3.可逆。 由 B= E,可知 B= 又因为= ,故=16 ,所以=4, 接下来通过矩阵的初等行变换求。 (,E)=

= (E, 所以 = 所以 B==4 = 由于 B= . 故 r(B)=3. 方法 2 由于==16 知=4,故 B 可逆,r(B)=3。 方法 3 由伴随矩阵的秩和矩阵的秩的关系知 r(B)=3。 4.3 由 r()求中的行(列)向量是否线性相关及极大线性无关组问题 例 3 已知

?1 ? (1, ?2,1)T , ?2 ? (?1,1,1)T , ?3 ? (3, ?2, ?5)T ,
A ? (?1 , ?2 , ?3 ) , A* ? (?1, ?2 , ?3 ) ,

求 ?1 , ? 2 , ?3 的线性相关性及极大无关组. 解:
? 1 ?1 3 ? A ? (?1 , ? 2 , ? 3 ) ? ? ?2 1 ?2 ? ? ? ? 1 1 ?5 ? ? ?

A11 ? ?3 A21 ? ?2 A31 ? ?1
*

A12 ? ?12 A22 ? ?8 A32 ? ?4

A13 ? ?3 A23 ? ?2 A33 ? ?1

? ?3 ?2 ?1? A ? ? ?12 ?8 ?4 ? ? (?1 , ?2 , ?3 ) , ? ? ? ?3 ?2 ?1? ? ?

对 A 作矩阵的初等变换将其化为阶梯形矩阵

*

? ? 3 ? 2 ? 1? ?1 ?2 ?1? ?1 0 0 ? ?? 12 ? 8 ? 4? ? ? 4 ?8 ?4 ? ? ? 0 0 0 ? A = ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? 1? ?0 0 0 ? ?1 ?2 ?1? ? ? ? ? ? ?
*

所以

r ( A* ) ? 1 .
故 ?1 , ? 2 , ? 3 线性相关. 所以 ?1 , ? 2 , ? 3 极大线性无关组是 ?1 ? (?3, ?12, ?3) . 4.4 由 r()求 X=0 解的问题 例4 已知 B=,求 X=0。

解:由 B=知 == - 2 =-= - 6 = = -4 =-= -6 == 4 = - =10 ==-5 =-=7 = =1 所以 =. 对 B 作矩阵的初等行变换将其化为阶梯形矩阵 = 所以 r()=3 由于 X=0 ,r()=3=n 故 X=0 有唯一解。X=0 五、伴随矩阵特征值 1.若矩阵 B 是可逆矩阵 引理 1 若 ? 为 B 的特征值,则 0,并且 B 的逆矩阵 的特征值为。
*

证明:如果 ? =0,则由=0,于是有=(-1)n=0 定理 1. 设 ? 为 n 阶可逆矩阵 B 的一个特征值,则为的特征值。

证明:∵ = , 又有为的特征值 故存在非零向量 b,使得=b 也就是 b= 于是有为的特征值。 ②设 n 阶可逆矩阵 B 的特征根为 n 个非零,,则的特征根为, , 。 证明:在 B=的两边左乘 B 由于 B = E

= = 故 (i=1,2, ,n)为的特征根。 若 B 为不可逆矩阵 定理 2 设 n(n2) 阶方阵 B 的秩 B<n ,则 (1) 当秩 B<n-1 时,的特征值为 0,这时 0 是 n 重的; (2) 当秩 B=n-1 时,的特征值为 0 和+,其中 0 作为特征值时是 n-1 重的。 六 伴随矩阵特征值的应用 例 1 设 B= ,求的特征值。 解:首先通过初等行变换将矩阵 B 化为阶梯型矩阵: B 所以 r(B)=3 。 设λ 为 B 的特征值,那么 = = = = 故 B 的特征值为 -3 , 1 , 6 。 又因为= -2,由定理 1 得的特征值为 即的特征值为 - ,- ,-3 。 例 2 设 B= ,求的特征值。 解: 首先通过初等行变换将矩阵 B 化为阶梯型矩阵: B= 所以 r(B)=1 。 由定理 2 得,B 的特征值为 0,且是 3 重的。 例 3 设 B= ,求的特征值。 解: 首先通过初等行变换将矩阵 B 化为阶梯型矩阵: B= 所以 r(B)=2 。 设λ 为 B 的特征值,那么 = = =-3 = 参考文献 【 1】 徐 德 余 .高 等 代 数 ( 第 2 版 ) .成 都 : 四 川 大 学 出 版 社 .2002 【 2】 苏 育 才 .等 .矩 阵 理 论 .北 京 : 科 学 出 版 社 .2006

所以

B

【 3】 杨 子 胥 .高 等 代 数 习 题 解 .山 东 : 山 东 科 学 技 术 出 版 社 .19 【 4】 陈 公 宁 .矩 阵 理 论 与 应 用 .北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 .1990 【 5】杨 闻 起 .伴 随 矩 阵 的 性 质 .宝 鸡 文 理 学 院 学 报 .2004.( 3).20-25 【 6】 石 竟荣,胡仍丽.关于伴随矩阵的讨论.哈尔滨建筑工程学院学报.1994.


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