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华中师大一附中2008届高三年级数学综合检测(一)

高三数学综合检测(一)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。请把答案填在答题卡上。 1.(理) m ? ?1 是直线 mx ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 和直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(文)集合 M ? {( x, y) | y ? 1 ? x2 , x 、 y ? R} , N ? {( x, y) | x ? 1 , y ? R} ,则 M ? N 等于 A.{(1,0)} B. { y | 0 ? y ? 1} C.{1,0} D.Φ

2.如图所示的是 2008 年北京奥运会的会徽,其中的“中国印”由四个色块构成,可以用线段在不穿越其 他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥),如果用三条线段将这四个色块 连接起来,不同的连接方法共有 A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种

3.(理)如左图所示,△ADP 为正三角形,四边形 ABCD 为正方形,平面 PAD⊥平面 ABCD。M 为平面 ABCD 内 的一动点,且满足 MP=MC。则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为右图中的(O 为正方形 ABCD 的中心)

(文)已知过球面上 A、B、C 三点的平面到球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则该球的球面 面积为 8 16 32 64 A. ? B. ? C. D. ? ? 3 9 9 9 1 1 4.已知函数 f(x)满足 2 f ( x) ? ? f ( ) ,则 f(x)的最小值是 | x| x A. 2 2 B.2 C.
2 2 3

D. 2 2

5.如图所示是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像,则 | OA | ? | OB | 等于 A.
c a

B. ?
c a

c a

C. ?

D.无法确定

6.(理)球面上有七个点,其中四个点在同一个大圆上,其余无三点共一个大圆,也无两点与球心共线, 那么经过球心与球面上的任意两点可人选球的大圆有 A.15 个 B.16 个 C.31 个 D.32 个 (文)某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目,如果将这 3 个节目 插入原节目单中,那么不同的插法数为
1

A.504

B.210

C.336

D.120

7.已知函数 f(x)的导函数 f ' ( x) 的图像如左图所示,那么函数 f(x)的图像最有可能的是右图中的

8.(理)已知定义在 R 上的函数 f(x)不恒为零,且满足 f ( x ? 3) ? ? f (3 ? x) , f ( x ? 4) ? ? f (4 ? x) ,则 f(x) B.是偶函数,也是周期函数 D.是偶函数,但不是周期函数 1 (文)已知 a>0,a≠0, f ( x) ? x 2 ? a x ,当 x ? (?1,1) 时,均有 f ( x) ? ,则实数 a 的取值范围是 2 1 1 1 1 A. (0, ] ? [2,??) B. [ ,1) ? (1,4] C. [ ,1) ? (1,2] D. (0, ] ? [4,??) 4 2 2 4 9.如左图所示,在正四棱锥 S-ABCD 中,E 是 BC 的中点,P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动,并且总是 保持 PE⊥AC。则动点 P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可有是右图中的 A.是奇函数,也是周期函数 C.是奇函数,但不是周期函数

10.已知 y=f(x)是奇函数,且满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,当 x ? (0 ,1)时, f ( x) ? log2 内是 A.单调增函数,且 f(x)<0 C.单调增函数,且 f(x)>0 B.单调减函数,且 f(x)>0 D.单调减函数,且 f(x)<0

1 ,则 y=f(x)在(1,2) 1? x

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。请把答案填在题中横线上。
11.圆 x 2 ? y 2 ? 2 上到直线 x ? y ? 4 ? 0 距离最近的点的坐标是_____________。 12.设球 O 的半径为 R,A、B、C 为球面上三点,A 与 B、A 与 C 的球面距离都为 为
2? R ,则球 O 在二面角 B-OA-C 内的那一部分的体积是_____________。 3

? R ,B 与 C 的球面距离 2

13. (1 ? x) n 的展开式中,某一项的系数为 7,则开展式中第三项的系数是____________。 14.若圆锥曲线
x2 y2 ? ? 1 的焦距与 k 无关,则它的焦点坐标是________________。 k ?2 k ?5
1 1 1 , , , ? 2 4 8

15. 由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列, 试在无穷等比数列 中找出一个无穷等比的子数列,使它所有项的和为

1 ,则此子数列的通项公式为_____________。 7
2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. (本小题满分 12 分) 已知定义在区间 [? 函数 f(x)=sinx

?
2

, ? ] 上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x ?

?
4

对称, x ? 当

?
4

时,

? ? (1)求 f (? ) , f (? ) 的值; (2)求 y=f(x)的函数表达式; 2 4 (3)如果关于 x 的方程 f(x)=a 有解,那么将方程在 a 取某一确定值时所求得的所有解的和记为 Ma, 求 Ma 的所有可能取值及相对应的 a 的取值范围。
17. (本小题满分 12 分) (理)袋内装有 35 个球,每个球上都记有从 1 到 35 的一个号码,设号码为 n 的球重
n2 ? 5n ? 15 克, 2

这些球以等可有性从袋里取出(不受重量、号码的影响)。 (1)如果任意取出 1 球,试求其重量大于号码的概率; (2)如果任意取 2 球,试求它们重量相等的概率。 (文)下面是玩掷骰子放球游戏,若掷出 1 点,甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点,乙盒中放一球; 若掷出 4 点、5 点或 6 点,丙盒中放一球。设掷 n 次后,甲、乙、丙各盒内的球数分别为 x、y、z。 (1)当 n=3 时,求 x,y,z 成等差数列的概率; (2)当 n=6 时,求 x,y,z 成等比数列的概率。 18. (本小题满分 12 分)如图,斜三棱柱 ABC—A1B1C1,已知侧面 BB1C1C 与底面 ABC 垂直,且 ?BCA ? 90? , ?B1BC ? 60? ,BC=BB1=2,若二面角 A-B1B-C 为 30? 。 (1)求证:AC⊥平面 BB1C1C; (2)求 AB1 与平面 BB1C1C 所成角的正切值; (3)在平面 AA1B1B 内找一点 P,使三棱锥 P-BB1C 为正三棱锥,并求 P 到平面 BB1C 的距离。
a n 19.本小题满分 12 分) ( 已知 y=f(x)是偶函数, x>0 时,f ( x) ? x ? (a ? 0) , 当 且当 x ? [?3,?1] 时, ? f ( x) ? m x 恒成立,求 m ? n 的最小值。
2x

20. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 且点 P 的横坐标为
1 。 2

1 的图象上两点 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ,若 OP ? (OP ? OP ) , 1 1 2 2 2 ? 2
x

(1)求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值;

(2)若 Sn ?

? f ( n ), n ? N
i
i ?1

n

*

,求 Sn ;

(3)记 Tn 为数列 { 的取值范围。

1 ( S n ? 2 )( S n ?1 ? 2 )

} 的前 n 项和,若 Tn ? a(Sn ?1 ? 2 ) 对一切 n ? N* 都成立,试求 a

x2 y 2 21. (本小题满分 12 分)椭圆 G : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 的两个焦点为 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) ,M 是椭圆上一 a b
点,且满足 F1M ? F2 M ? 0 (1)求离心率 e 的取值范围;

(2)求离心率 e 取得最小值时,点 N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为 5 2 。
3

① 求此时椭圆 G 的方程; ② 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 G 相交于不同的两点 A、B,Q 为 AB 的中点,问:A、B 两点能否 关于过点 P(0,?
3 ) 、Q 的直线对称?若能,求出 k 的取值范围;若不能,请说明理由。 3

高三数学参考答案
一、选择题 1.A 2.C 二、填空题 11. (1,?1) 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 9.A 10.A
?1? 15. ? ? ?8?
n

4 12. ?R 3 9

13.21

14. (0,? 7 ), (0, 7 )

三、解答题

? ? 3 3 2 16.解: (1) f (? ) ? f (? ) ? sin? ? 0 , f (? ) ? f ( ? ) ? sin ? ? 。 2 4 4 4 2
sin x, x ? [ , ? ) 4 (2)当 ? ? x ? 时, f ( x) ? f ( ? x) ? sin( ? x) ? cos x ,f(x)= 。 2 4 2 2 ? ? cos x, x ? [? , ) 2 4

?

?

?

?

?

(3)作函数 f(x)的图象,显然,若 f(x)=a 有解,则 a ? [0,1] 。 ① 0?a?
? 2 ,f(x)=a 有解,Ma= 2 2

② a?

3 2 ,f(x)=a 有三解,Ma= ? 4 2



2 ? a ? 1 ,f(x)=a 有四解,Ma= ? 2

④ a ? 1 ,f(x)=a 有两解,Ma= 17.解: (理) (1)由

? 2

n2 ? 5n ? 15 ? n ,可得 n 2 ? 18n ? 45 ? 0 ,?n ? 6 ? 6 或 n ? 6 ? 6 ,又 n ? N* ,∴n 可 2
30 6 ? 。 35 7

取 1,2,3,9,10,11,12,13,14,15,16, 17,?,35 共 30 个数,则 P ? 1 (2)由

2 n1 n2 n2 n2 ? 5n1 ? 15 ? 2 ? 5n2 ? 15 ,得 1 ? 2 ? 5n1 ? 5n2 ,∵n1≠n2,∴n1+n2=10,从而满足条件的球 2 2 2 2

有(1,9), (2,8), (3,7), (4,6)共 4 对球重量相等,且与顺序无关,? P2 ?

4 4 ? 。 2 C35 595

4

x ?1 x?0 x?2 x? y?z ?3 ? ? y ? 1 , ? x, z ? N ,① y ? 1 或② y ? 1 或③ y ? 1 , (文) (1)由 n=3, x ? z ? 2y z ?1 x?2 z?0
1 当①时 P ? C3 ? ? ? ? ? ? 1

?1? ?1? ?3? ? 2? ?1? ?6?
2

1

2

1 1 1 1? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ;当②时 P2 ? C3C2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 4 ? 6? ? 3? ? 2? 6 1 4 ,又由①②③情况互斥,故 P=P1+P2+P3= 。 36 9 ?1? ?6?
2

2 当③时 P3 ? C3 ? ? ? ? ? ?

?1? ?3?

2 2 2 (2)由 y 2 ? x ? z ,∴x=y=z=2,此时 P ? C6 ? ? C4 ? ? ? C2 ? ? ?

?1? ?3?

?1? ?2?

2

5 72

18.解: (1)∵面 BB1C1C⊥面 ABC 交线为 BC,AC⊥BC,∴AC⊥面 BB1C1C (2)连 B1C,由(1)知 AC⊥平 BB1C1C,∴∠CB1A 就是 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角。 取 BB1 中点 E,连 CE,AE,在△CBB1 中,BB1=BC=2,∠B1BC= 60? ,∴△CBB1 是正三角形,∴CE⊥BB1 又 AC⊥平面 BB1C1C,∴AE⊥BB1,∴∠CEA 为二面角 A-BB1-C 的平面角,∠CEA= 30? 在 Rt△CEA 中, AC ? CE ? tan30? ? 1,∴在 Rt△AB1C 中, tan ?AB1C ?
AC 1 ? 。 CB1 2

(3) CE 上取点 P1, 在 使

CP 1 则 作 ∵ ? 2 , P1 为△B1BC 的重心即中心, P1P∥AC 交 AE 于 P, AC⊥平面 BB1C1C, PE 1
PP 1 1 1 ? ,? PP ? , 1 AC 3 3

∴PP1⊥面 BB1C1C,即 P 在平面 B1C1C 上的射影是△BCB1 中心。∴P-BB1C 为正三棱锥,且
1 即 P 到平面 BB1C 的距离为 。 3

a a 19.∵f(x)是偶函数,且 x>0, f ( x) ? x ? ,∴x<0 时,?x ? 0 , f ( x) ? f (? x) ? ? x ? ,∵f(x)在 (??,? a ) x x a a ↘,在 (? a ,0) ↗。? x ? [?3,?1] ,? y ? ? x ? ? 2 a ,当且仅当 x ? ? a 时取等号。而 x ? ?3 时, y ? 3 ? ; x 3

x ? ?1时, y ? 1 ? a
1? 若 1 ? a ? 3 ,∴f(x)在 [?3,?1] 上最大值为 3 ?
?m ? n ? 3 ? 2 a ? a 3 a a ,最小值为 2 a ,? m ? f (?3) ? f ? a ? , n ? 2 a , 3 3

2? 若 3 ? a ? 9 , m ?1? a , n ? 2 a ,则 m ? n ? 1 ? a ? 2 a

3? 若 a ? 9 , m ? f (?1) ? 1 ? a , n ? f (?3) ? 3 ?

2a a ,m?n ? ? ?2 3 3

2 a ? 2, a ? 9 3 a 3 ? ? 2 a ,1 ? a ? 3 a 2 3 , 4? 若 0 ? a ? 1 , m ? 3 ? , n ?1 ? a , m ? n ? ? a ? 2 ,?m ? n ? 3 3 1 ? a ? 2 a ,3 ? a ? 9 ? ? 2 a ? 2,0 ? a ? 1 3

(m ? n) min ? 4 ? 2 3 (当 a=3 时取最小值)。

5

1 20. (1)? OP ? (OP ? OP ) ,∴P 是 P1P2 的中点 ? x1 ? x2 ? 1 , 1 2 2
? y1 ? y2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
2 x1 2 ? 2
x1

2 x1 2 x1 ? 2
2 x1 2 ? 2
x1

?

2 x2 2 x2 ? 2
2 2 ? 2
x1

?

2 x1 2 x1 ? 2

?

21? x1 21? x1 ? 2

?

?

2 2? 2 ?2
x1

?

?

? 1 ,? y p ?

1 1 ( y1 ? y2 ) ? 。 2 2

1 2 n ?1 n (2) 由(1)知 x1 ? x2 ? 1 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? y1 ? y2 ? 1 , f (1) ? 2 ? 2 ,Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? f( ) n n n n n n ?1 2 1 Sn ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ? f ( ) n n n n 1 n ?1 2 n?2 n ?1 1 相加得 2Sn ? f (1) ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( ) ? f ( )] ? f (1) n n n n n n

? 2 f (1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n ? 3 ? 2 2 ,? Sn ?

n ?3? 2 2 。 2

(n-1 个 1) (3)∵

1 1 4 1 1 ? ? ? 4( ? ) n?3 n?4 (Sn ? 2)(Sn?1 ? 2) n ? 3 ? n ? 4 (n ? 3)(n ? 4) 2 2

Tn 2n 2 1 1 1 1 1 1 n ? ? , Tn ? a( S n ?1 ? 2 ) ? a ? , Tn ? 4[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2 16 4 5 5 6 n?3 n?4 n?4 S n ?1 ? 2 (n ? 4) n? ?8 n

?n ?

2 2 1 16 1 ? ? ,∴ a ? 。 ? 8 ,当且仅当 n=4 时,取“=” ? , 16 8?8 8 n 8 n? ?8 n

21. (1) 解: 设点 M 的坐标为(x,y), F1M ? ( x ? c, y) ,F2 M ? ( x ? c, y) , F1M ? F2 M ? 0 得 x 2 ? c 2 ? y 2 ? 0 , 则 由
即 x2 ? c2 ? ? y 2 ,



又由点 M 在椭圆上,得 y 2 ? b 2 ?

b2 b2 2 x ,代入①得 c 2 ? c 2 ? 2 x 2 ? b 2 ,即 2 a a

x2 ? a2 ?

a 2b 2 a 2b 2 a2 ? c2 2 1 ? 1 , 0 ? 2 ? 1 ? 1 ,解得 , ? 0 ? x 2 ? a 2 , ? 0 ? a 2 ? 2 ? a 2 ,即 0 ? ? e ?1 2 2 2 c c c e

又 ?0 ? e ? 1, ?

2 ? e ? 1。 2
x2 y2 2 时,椭圆方程可表示为 2 ? 2 ? 1 。设点 H(x,y)是椭圆上的一点,则 2 2b b

(2)①当离心率 e 取最小值

| HN |2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? (2b2 ? 2 y 2 ) ? ( y ? 3) 2 ? ?( y ? 3) 2 ? 2b2 ? 18(?b ? y ? b) 。
b b | 若 0<b<3, 0 ? ?b ? ?3 当 y ? ?b 时, HN |2 有最大值 b 2 ? 6b ? 9 , 则 由题意知: 2 ? 6b ? 9 ? 50 , ? 5 2 ? 3

或 b ? ?5 2 ? 3 ,这与 0<b<3 矛盾,若 b ? 3 ,则 ?b ? 3 ,当 y ? ?3 时, | HN |2 有最大值 2b 2 ? 18 由题意知: 2b 2 ? 18 ? 50 , b 2 ? 16 ,符合题意∴所求椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1。 32 16
6

② 设直线 l 的方程为 y=kx+m,代入

x2 y2 ? ? 1 中,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? (2m2 ? 32) ? 0 ,由直线 l 与 32 16

椭圆 G 相交于不同的两点知 ? ? (4km) 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 32) ? 0 ,? m 2 ? 32k 2 ? 6 , ②
1 于过点 P、Q 的直线对称,必须 k PQ ? ? 。 k

要使 A、B 两点关

m 3 ? 2 x1 ? x2 2km m 3 设 A( x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 xQ ? , yQ ? kxQ ? m ? ,? k PQ ? 1 ? 2k , ?? 2km 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2

m 3 ? 2 2 3 ? ? 1 , m ? 1 ? 2k , ③ ? 1 ? 2k 2km k 3 ? 1 ? 2k 2

由②、③得

47 (1 ? 2k 2 ) 2 ,又 k ? 0 , ? 32k 2 ? 16 , ? 0 ? k 2 ? 2 3

??

94 94 94 94 ,故当 k ? (? ? k ? 0或0 ? k ? ,0) ? (0, ) 时,A、B 两点关于过点 P、Q 的直线对称。 2 2 2 2

7


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