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巧妙确定三角函数求值中角的范围


高中数学教 与学  

2 0 0 9年  

妙 确 定 三 角 函 数 求 值 中 角 的 范 围 
徐  玲  
( 江苏省 睢宁县 城北 中学 , 2 2 1 2 0 0)  

三角 函数 是 新 教 材 中 的 重 要 内 容 , 三 角 


? .

函数求 值 是 三 角 函数 中 比较 常 见 的 一 类题 

2   一卢 =一   .  

型. 要 解 决 这类 题 , 不 仅 要求 要 掌 握 一些 公 
式, 还 要 会 准 确 确 定 角 的范 围 , 避 免 增 解.  


评 注  根据 , 卢∈( O , 叮 r ) , 可知2  一 卢∈  

( 一  , 2 , r r ) , 而符合条件的角有 三个, 是否都符 



根 据 三 角 函数 值 确 定 
1  

合 题 意 呢 ? 需 要 根 据 t a n 卢 = —   1 和 t a n   = 专 一  
两个三角函数值 , 进一步缩 小 角的范 围 , 才 能 
确 给 出答 案 .  

例 1   已知 t a n (   一卢) =   1, t a n   =  
1  


÷, 且 , 卢 E( 0 , 耵 ) . 求2 c t 一   的值.  
解  ‘ . ‘ t a n   =t a n [ (  —  )+  ]  


二、 根 据三角 函数式 确定  例2   已知 0∈  0 , , f r ) , s i n   0+C O S   0:  



!  i  二 旦 2±   璺 翌  
1一t a n (   一卢) t a n   J B  
1   1  

求c 。 s   2 0 .   解 ? . ? s j n   0。   c 。 s   0:  1
,  



 

Z   一  
?+   ×   3’  
. ? .

( s i n   0¨  
1  


=  1
. 



t a n ( 2 o r 一   )=t a n [   +( ( Y 一卢 )  
一 —

?

n   2O =  1




! 璺 望   ±!  (  二 色 2  
1一t a n   a t a n ( O / 一/ 3 )  
? . ?

s i n   2 0 : 一 争  
<l , 0∈ ( 0, 1 T ) .  

0 <s i n   0+ ( . 。 s   0 :— 1  

蠢  
? . -

? .

芋   : 0 < 3   T f , 订 < 2 0 < 3   ' 1 3 " .  

。<t a n   =了 1<   T o ! ∈( 。 , 1 T ) ,  


故 c 。 s   2 0 = 一 √   一 ( 一 吾 ) 。 : 一  .  
评 注  本题根据 s i n   0+C O S   0:÷ 1  这一 
。 三 角 函数式 , 借 助单 位 同 中的 三角 函数 线 确 
定0   I 的范 围 .  

?
?

?

0 <  < 詈 . 0 < 2   < 詈 ,  


?


?

l< t a n 卢 =一  

<0 ,  

三、 根, 据三角不等式确 定  例3   设  ,   为锐 角 , 且 a=( s i n   ,  
0 s  ) , 西= ( - . c 。 s / 3 , s i n   J B ) , 口+6 = (   ,  

? .

.  

<卢 < 竹,一竹 <一卢 <一   ,  


竹 <2   —J B <一  

t a n ( 2 c t一口) : 1 ,  

) , 求  (   + 卢 )的值.  

第J 2 期 

高中盘 学教 与学  
翌 
6 5 ’  
d 一   =  ,  

解  由题 意 得 

一 一

① 

例5   在 Z X A B C中 , 3 s i nA+ 4 c o s   B =6 ,  

4 s i n   B +3 c o s   A =1 , 求角 C的大小.  
c o s   -s i n   一 一一  

② 
.  

解  由3 s i n   A+ 4 c o s   B :6 , 4 s i n   B+ 3 c o s   A =1 , 两式平方相加 , 得 
2 5+2 4 s i n ( A +B) =3 7,  

① +②  , 得 2—2 s i n (   +卢 )=了 2

即  
? . .  

s i n ( a + p )   争  , )  

?



.  

i n ( A +B):  
A+   +C = 叮 r .  

由 ① 知, s i n   O C —C O S   >0 ,  

又 
。 . .  

s  > s i n ( 詈一 卢 ) .  
詈<  +  < 竹 ,  

s i n ( A +B )   =s i n ( 1 T—C )  
: s i n   C =  
1  

因 口与 p均为锐; 角, 所 以  >   , I T一 / 3 , 即 

2。  

由4 s i n   B = 1— 3 c o s   A > 0, 得 


…A < ÷< ÷ .  



‘ 一 s ( a+ / 3 )一 , 、  

=一   T 

又 0 < A < 百, . ? .  " I T <A <  

评 注  本 题 易 求 出 s i n ( o r + / 3 )  寺 , 由  
a, 卢为锐角得 0 < . 0 [ +   < 竹, 所 以符合 条件  C O S (  + 卢) 有两 个值 . 而这两个值是否符合条 
件 呢? 根据 s i n   —C O S   J B>0 , 巧妙将  + 卢缩 
小 范 围.   四、 根 据 三 角 形 的 内在 约束 条 件确 定 

在 A A B C' 0 < c <  ' 又 s i n c = ÷ .  
所 以 C:   " I T  
o 

评 注  根 据 4 s i n   B+3 c o s   A =1及 s i n   B  

>0条件将 C O S   A缩小 范围 , 从而缩 小 A角范  围, 利用 A+B+C =叮 r , 最后确定 C角范 围.  
五、 根 据 题 目的 隐 含 条 件确 定 

例4
=  

在Z X A B C   r O , 若s i n   A=   , c 。 s  

例6   已知 t a n  , t a n 卢是方程  +3 4 Y x  
+4 =0的两 个 根 , 且a , 卢∈




求 c 。 s   c的值.  

( 一 号 , 卫 2 ) , 求 a  

解  ̄ ] C O S  = 吾 , o <  < 丌 , 得  
s i n   B =   .  

+   的值.  

解  。 . 。 l a n  , t a n  是方程 z   +3 √  + 4  


0的两个根 ,  
?
. .

又s i n   A=了 4


知s i n, 4< s i n曰 .  

t a n   O / +t a n卢 =一3  

<0,  

t a n   。 t a n卢 = 4 >0 .  

在I X A B C中 , 由正 弦 定 理 得 0<b , 从 而 得 

从而 t a n  . t a nJ B是方 程   +3  

+4 =  

4 l < 曰 , 所 以 0 <  < 詈 , C O S / 4 :   3 , 从 而  
C O S   C :C O S [ 竹 一( A+B ) J  
:一C O S ( A +B)   。  

0的两 个 负根 .  
。 . .

t a n   <0, t a n卢 <0 .  
,  

?

.  



( 一 号 , 詈 ) ,  

=一c o s   Ac 0 s   B +s i n   As i n   B  
‘  

3  
一  

5  

4  

1 2  



+了 

卢 ∈ ( 一 号 , 0 ) , a + 卢 ∈ ( 一 订 , 0 ) ?  
?

21 ?  

高 中数学教 与学  

2 0 0 9生  

用 向量法 解 决 空 间几何 问题 归类 
张  青  
( 甘肃省 陇南 市 白龙 江林业管 理局 中学 , 7 4 6 0 1 0  

用 向量法解 决立 体几何 问题 , 不 仅摆 脱 
了几何 问题 中的作 辅 助线 的 困难 , 而且 免 去  了寻找满 足定 理 、 公 理所 依据 的 条件 这个 繁  杂过程 , 使计 算 、 证 明更简化 ; 尤 其在 容易 确  立空问直 角坐标 系 时 , 利 用 向量 的坐标 进 行 

又 ? . ? Di E   AI I ) B, D 一
? .



E∥  

,  

D , E∥ 平 面 A   B D .  
C 

运算, 对 于证 明空 间 中线 与面平行 、 线与线 垂  直、 线与面垂 直更 加方便 ; 对于计 算点到平 面 
的距离 、 异面 直线 间 的距 离 的计算 以及异 面  直线问的夹角 、 直 线与平 面的夹角 、 二面角 的 
1  

C  

计算等 , 更 又显示 出其独 到之处. 这部分 内容  也是高考 中 的一个 热 点 问题 , 系统 掌握 这 种 

说明: 本 题也 可 以用 向量坐 标 形式进 行 
运算 和 证 明.  

证明和计算方法 , 对于学好 立体几 何 , 解 决空 
间立体几何 问题 , 提 高学 生 的思维 和解 决 问  题的能力 , 能起到事半功倍的效果.  
1 . 证 明线与面平行 、 异 面直 线 垂 直 、 线 与 
面 垂 直  明.  

( 2 ) 利用 平 面 向量 的基本定 理 , 进行 证 
如图2 , 向量 a , b是平 面 O t 内的两个非共  线 向量 , c 是平面外的直线 Z 的方向向量 , 若存 
在 两个 实 数 , y , 使 得 c=x a+   , 则根 据 平 面 

( 1 ) 直接运 用直线 与平 面平行 的判定 定 
理, 证 明线 与 面平 行 .  

向量的基本定理 , 直线 z 与平 面 o l 平行. 在运用 

这种方法证 明时 , 应注意一点 : c   晚  

例l ( 2 0 0 7年山东高考题 ) 如图1 , 在直 
四棱 柱 A B C D —A   B , C , D , 中, 已知 D C =D D  


2 A D =2 A B, A D   j - DC , A B∥ D C , 设E足 D C  
证 明  ‘ .  D. E =DE —D Dl , DDl=A A 1 ,  
— — —  

的中点 , 求证 : D 。 E∥ 平 面 A , B D .  
1 — — —   — — _ — — — — — —  

Z  

厂 
图 2  

f  

E是 D C的 中点 , D E =- 4 -   D C =A 曰, . 。 . D . E=  
二 
— — —

例2   如图 3 , 已知正方形 A B C D和正方 



— ——  

————} 

AB — A A】 = Al B.  
●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●…

形A B E F所在平面互相垂直 , M、 Ⅳ分别是对角 
? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ‘ ●… ‘ ●…   ● ” 

3 L   t a n ( o  ̄ + / 3 ) =  
? . . 

: 一 篙 
= 一

3   :  
角缩小范围?  

+ 

2 rr
—  

. 

?

2 2?  


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