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【最新】高一数学上学期期末复习专题04初等函数II三角函数导学案

第四讲基本初等函数(II)
一、基础知识整合 (一)三角函数的概念 1.任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的图形.我们规 定: 按____________方向旋转形成的角叫做正角, 按____________方向旋转形成的角叫做负 角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个____________. (2)象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的____________重合.角的终边在第几象限,就说 这个角是第几象限角. ①α 是第一象限角可表示为
? ? π ?α |2kπ <α <2kπ + ,k∈Z?; 2 ? ?

②α 是第二象限角可表示为; ③α 是第三象限角可表示为; ④α 是第四象限角可表示为. (3)非象限角 如果角的终边在____________上,就认为这个角不属于任何一个象限. ①终边在 x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α |α =2kπ ,k∈Z}; ②终边在 x 轴非正半轴上的角的集合可记作 __________________________________; ③终边在 y 轴非负半轴上的角的集合可记作 __________________________________; ④终边在 y 轴非正半轴上的角的集合可记作 __________________________________; ⑤终边在 x 轴上的角的集合可记作 __________________________________; ⑥终边在 y 轴上的角的集合可记作_________; ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_____. (4)终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S= ________________________. 2.弧度制 (1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表示,读作弧 度. |α |=________,l 是半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长. (2) 弧 度 与 角 度 的 换 算 : 360° = ________rad , 180° = ________rad , 1° = _____rad≈0.01745rad, 反过来 1rad=____≈57.30°=57°18′. (3)若圆心角 α 用弧度制表示,则弧长公式 l=__________;扇形面积公式 S 扇=______= _____. 3.任意角的三角函数

1

(1)任意角的三角函数的定义 设 α 是一个任意角,它的终边上任意一点 P(x,y)与原点的距离为 r(r>0),则 sinα = _____,cosα =______, tanα =______ (x≠0). x r r ※cotα = (y≠0),secα = (x≠0),cscα = (y≠0). y x y 三角函数 sinα cosα tanα (3)三角函数值在各象限的符号 定义域 ① ② ③

4.三角函数线 如图,角 α 的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,过点 A(1,0)作单 位圆的切线,设它与 α 的终边(当 α 为第一、四象限角时)或其反向延长线(当 α 为第二、 三象限角时)相交于点 T.根据三角函数的定义,有 OM=x=________,MP=y=________,AT ==________.像 OM,MP,AT 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段,这三条与单位圆 有关的有向线段 MP,OM,AT,分别叫做角 α 的、 、 ,统称为三角函数线.

5.特殊角的三角函数值

角α 角α 的 弧度数 sinα



30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

2

cosα tanα ※sin15°= 6- 2 6+ 2 ,sin75°= ,tan15°=2- 3,tan75°=2+ 3,由余角公 4 4

式易求 15°,75°的余弦值和余切值. (二)三角函数同角关系与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义,同角三角函数间有以下两个等式: ①____________________; ②. (2)同角三角函数的关系式的基本用途:①根据一个角的某一三角函数值,求出该角的其他 三角函数值;②化简同角的三角函数式;③证明同角的三角恒等式. 2.三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容: x -α π ±α 2 π ±α 3π 2 ±α 2π ± α (2)诱导公式的规律: 三角函数的诱导公式可概括为:奇变偶不变,符号看象限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶 π 分别是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则正、余弦互 2 变, 正、 余切互变; 若是偶数倍, 则函数名称________. “符号看象限”是把 α 当成________ ?cotα ※ 函数 sinx -sinα cosx cosα tanx -tanα ?cotα ※

? π ? 时,原三角函数式中的角?如 +α ?所在________原三角函数值的符号.注意:把 α 当成 2 ? ?
锐角是指 α 不一定是锐角,如 sin(360°+120°)=sin120°,sin(270°+120°)=- cos120°,此时把 120°当成了锐角来处理.“原三角函数”是指等号左边的函数. (3)诱导公式的作用: 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数, 因此常用于化简和求值, 其一 般步骤是: 任意负角的 三角函数 去负(化负角为正角) ――→ 任意正角的 三角函数 脱周 ――→ 脱去k·360° 0°到360°的 三角函数

化锐 ――→ (把角化为锐角 ) 锐角三角函数
3

3.sinα +cosα ,sinα cosα ,sinα -cosα 三者之间的关系 (sinα +cosα )2=________________; (sinα -cosα )2=________________; (sinα +cosα )2+(sinα -cosα )2=________________; (sinα +cosα )2-(sinα -cosα )2=________________. (三)三角函数图象和性质 1.“五点法”作图 (1)在确定正弦函数 y=sinx 在[0,2π ]上的图象形状时,起关键作用的五个点是, , , , . (2)在确定余弦函数 y=cosx 在[0,2π ]上的图象形状时,起关键作用的五个点是, , , , . 2.周期函数的定义 对于函数 f(x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 ________________,那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.如 果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的 ________________. 3.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域

y=sinx ①________

y=cosx ②________

y=tanx ③_______

图象

值域

④________ 对称轴: ⑥________; 对称中心: ⑦__________

⑤________

R

对称性

对称轴: 无对称轴; ⑧________; 对称中心: 对称中心: ⑩_______ ⑨__________

最小正 周期

? __________ ? __________ ? _______ 单调增区间 单调增区间 ? _________;? _________;单调增区间 单调减区间 单调减区间 ? _______ ? __________ ? __________ 2 1_______ ? ________ ? _______ ○

单调性

奇偶性

(四)三角函数图象变换 1.用五点法画 y=Asin(ω x+φ )在一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ω x+φ )在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示. x ω x+φ y = Asin(ω x + φ) 2.图象变换(ω >0)
4

0

A

0

-A

0

路径①:先向左(φ >0)或向右(φ <0)平移________个单位长度,得到函数 y=sin(x+φ )的 图象;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin(ω x+φ ) 的图象; 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变), 这时的曲线就是 y=Asin(ω x+φ )的图象. 路径②:先将曲线上各点的横坐标变为原来的 ________ 倍 ( 纵坐标不变 ) ,得到函数 y = sinω x 的图象; 然后把曲线向左(φ >0)或向右(φ <0)平移个单位长度, 得到函数 y=sin(ω x +φ )的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变),这时的曲 线就是 y=Asin(ω x+φ )的图象. 3.函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的物理意义 简谐运动的图象所对应的函数解析式 y=Asin(ω x+φ ),x∈[0,+∞),其中 A>0,ω >0. 在物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关: A 就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运 动的周期是 T=,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率 1 由公式 f= =给出, 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; ω x+φ 称为相 T 位;x=________时的相位 φ 称为初相. 【答案】 (一)三角函数的概念 1.(1)旋转 逆时针 顺时针 零角 (2)非负半轴
? ? π ②?α |2kπ + <α <2kπ +π ,k∈Z? 2 ? ? ? ? 3 ③?α |2kπ +π <α <2kπ + π ,k∈Z? 2 ? ? ? ? 3 π ④?α |2kπ + π <α <2kπ +2π ,k∈Z?或{α |2kπ - <α <2kπ ,k∈Z} 2 2 ? ?

(3)坐标轴 ②{α |α =2kπ +π ,k∈Z}
? ? π ③?α |α =2kπ + ,k∈Z? 2 ? ? ? ? 3 ④?α |α =2kπ + π ,k∈Z? 2 ? ?

⑤{α |α =kπ ,k∈Z}

? ? ? ? π kπ ⑥?α |α =kπ + ,k∈Z? ⑦?α |α = ,k∈Z? 2 2 ? ? ? ?

(4){β |β =α +2kπ ,k∈Z}或{β |β =α +k·360°,k∈Z} l π ?180?° 2.(1)半径长 (2)2π π ? ? r 180 ? π ?

5

(3)|α

|r

1 |α 2

|r2

1 lr 2

y x y 3.(1) r r x
? ? π (2)①R ②R ③?α |α ≠kπ + ,k∈Z? 2 ? ?

4.cosα 5.

sinα

y x

tanα

正弦线 余弦线 正切线

角 α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 角 α 的 0 弧 度 数 sinα 0 π 6 1 2 3 2 π 4 2 2 π 3 π 2 2π 3 3 2 1 - 2 - 3 3π 4 2 2 - 2 2 -1 5π 6 1 2 - 3 2 - 3 3 0 -1 0 不 存 在 1 3π 2

π



3 1 2 0 不 3 存 在

0

-1

0

cosα 1

2 1 2 2

tanα 0

3 1 3

0

(二)三角函数同角关系与诱导公式 sinα 1.(1)①sin2α +cos2α =1 ② =tanα cosα 2.(1) 函数 sinx -sinα cosα ?sinα -cosα ±sinα cosx cosα ?sinα -cosα ±sinα cosα tanx -tanα ?cotα ※ ±tanα ?cotα ※ ±tanα

x -α π ±α 2 π ±α 3π ±α 2 2π ±α

(2)不变 锐角 象限 (3)锐角 3.1+2sinα cosα 1-2sinα cosα (三)三角函数图象和性质

2 4sinα cosα

?π ? 1.(1)(0,0) ? ,1? ?2 ?

? 3π ? (π ,0) ? ,-1? ? 2 ?

(2π ,0)
6

?π ? (2)(0,1) ? ,0? ?2 ?

?3 ? (π ,-1) ? π ,0? ?2 ?

(2π ,1)

2.f(x+T)=f(x) 最小正周期 ? ? π 3.①R ②R ③?x|x≠kπ + ,k∈Z? 2 ? ? ⑦(kπ ,0)(k∈Z) π ? ? ⑧x=kπ (k∈Z) ⑨?kπ + ,0?(k∈Z) 2 ? ? ⑩?

④[-1,1] ⑤[-1,1]

⑥x=kπ +

π (k∈Z) 2

?kπ ,0?(k∈Z) ?2π ? ? 2 ?

? 2π

? π

?2kπ -π ,2kπ +π ?(k∈Z) ? ? 2 2? ? ? ?2kπ +π ,2kπ +3π ?(k∈Z) ? ? 2 2 ? ? ?
? [2kπ -π ,2kπ ](k∈Z) ? [2kπ ,2kπ +π ](k∈Z)

?kπ -π ,kπ +π ?(k∈Z) ?奇函数 ? ? ? 2 2? ?
21奇函数 ? 偶函数 ○ (四)三角函数图象变换 1. - x φ ω 0 π 3 -φ π -φ π -φ 2π -φ 2 2 ω ω ω ω π 2 A π 0 3 π 2 -A 2π 0

ω x+φ

y = Asin(ω x + 0 φ) 2.|φ 2π 3. ω

|

1 ω ω 2π

A 0.

1 ω

?φ ? A ?ω ? ? ?

二、热点题型展示 类型一 角的概念与扇形的弧长与面积问题 例 1.半径为 ? cm ,则 60 圆心角所对的弧长为(
0



?2
A.

3

cm

?
B. 3

cm

2? cm C. 3

2? 2 cm D. 3

【答案】A

? 【解析】圆弧所对的圆心角为 60 即为 3 弧度,半径为 π cm
0

7

l ? ? ?r ?
弧长为

?
3

?? ?

?2
3

cm
故选:A.
2

例 2. 已知扇形的周长为 6cm ,面积是 2cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 【答案】C B.4 C.1 或 4 D.2 或 4



6 ?2R+ ? ? R ? ? ?1 2 ? R ?? ? 2 【解析】 设扇形的圆心角为 ? , 半径为 Rcm , 则 ?2 解得 ? =1 或 ? =4 , 故选 C.
例 3.若 ? 为第一象限角,则 A.第一象限 C.第一、三象限 【答案】C 【解析】当 k 为偶数时,设 一象限; 当 k 为奇数时,设

k ?180? ? ? ? k ? Z?

的终边所在的象限是 ( )

B.第一、二象限 D.第一、四象限

k ? 2m ? m ? Z?

,则 k ?180 ? ? ? ? m ?360 ? ? ? ,则其终边在第

k ? 2m ?1? m ? Z?

,则

k ?180 ? ? ? m ? 360? ? ? 180? ? ? ?

,则其终边

在第三象限.故选 C 【名师点睛】 1.要注意锐角与第一象限角的区别,锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集,即 锐角是第一象限角,但第一象限角不一定是锐角. 2.在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用.如 α =2kπ +30°(k∈Z),β = π k·360°+ (k∈Z)的写法都是不规范的. 2 3.扇形的弧长与面积问题.①直接用公式 l=|α |R 可求弧长,利用 S 弓=S 扇-S△可求弓 形面积. ②关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式, 其中弧度制不仅 形式易记,而且好用,在使用时要注意把角度都换成弧度,使度量单位一致.③弧长、面积 是实际应用中经常遇到的两个量,应切实掌握好其公式并能熟练运用. 类型二 三角函数的定义与三角函数线

3? 3? ? P ? sin , cos 4 4 例 1.已知点 ?

? ? ? 落在角 ? 的终边上,且 ? ??0, 2? ? ,则 ? 的值为(
7? D. 4

)

? A. 4
【答案】D

3? B. 4

5? C. 4

3? 4 ? ?1 tan? ? 3? sin 4 【解析】由题意可得: ,且点 P 位于第四象限, cos
8

7? 据此可得 ? 的值为 4 .选 D.
例 2.已知角 ? 的终边经过点 是( A. )

?3? ? 9,? ? 2? ,且 cos ?? 0,sin ? ? 0

,则实数 ? 的取值范围

??2,3?

B.

? ?2,3?

C.

? ?2,3?

D.

??2,3?

【答案】C 【解析】因为角 α 的终边经过点(3a-9,a+2) ,sinα >0,cosα ≤0,

{
所以

3a ? 9 ? 0 a ? 2>0 ,解得-2<a≤3.选择 A.

例 3.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合. (1)若终边经过点 P(?1, 2) ,求 sin ? cos ? 的值;

(2)若角 ? 的终边在直线 y ? ?3x 上,求

10 sin ? ?

3 cos ? 的值.

?
【答案】 (1)

2 5; (2)0.

r? 【解析】 (1)由题知: x ? ?1, y ? 2 ,
sin ? ?

?? 1?2 ? 2 2

? 5

y 2 2 x ?1 5 2 ? ? 5 cos? ? ? ?? sin ? cos ? ? ? r r 5 , 5 5 5 5. ,

(2)当角 ? 的终边在第二象限时,取终边上一点 ?- 1,3? ,

r? 则: x ? ?1, y ? 3 ,
sin ? ?

?? 1?2 ? 32

? 10

y 3 3 x ?1 10 ? ? 10 cos? ? ? ?? r r 10 10 10 10 ,
3 30 30 ? 10 ? 10 ? 0 cos ? 10 10

10 sin ? ?
所以

, - 3? , 当角 ? 的终边在第四象限时,取终边上一点 ?1
2 2 (- 3) ? 10 则: x ? 1, y ? -3 , r ? 1 ?

sin ? ?

y -3 -3 x 1 10 ? ? 10 cos? ? ? ? r r 10 10 10 10 ,

9

10 sin ? ?
所以

3 - 30 30 ? 10 ? 10 ? 0 cos ? 10 10 3 3 - 30 30 ? 0 10 sin ? ? ? 10 ? 10 ? 0 cos ? cos ? 10 10 .

10 sin ? ?
综上

【名师点睛】 1.三角函数线是任意角的三角函数的几何表示, 利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示 三角函数值的符号及大小, 并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律. 在求三 角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面,三角函数线具有独特的简便性. 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况. 2.牢记各象限三角函数值的符号, 在计算或化简三角函数关系时, 要注意对角的范围以及三 角函数值的正负进行讨论. 3.已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值, 若含有参数, 则要注意 对可能情况进行分类讨论. 4.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线,常使问题变的简单. 类型三 同角三角函数的基本关系及诱导公式

?π ? 3 ? π? ? ?? ? ? ? 0, ? 2 5 ? ? 例 1.已知已知 sin ,α ∈ ? 2 ? ,则 sin(π +α )等于__________
4 【答案】 5 -

3 4 4 ? π? cos? ? , ? ? ? 0, ? ? sin? ? ,sin ? π ? ? ? ? ?sin? ? ? 5 5 5 ? 2? 【解析】由题意得
例 2.已知角 ? 的终边在直线 y ? ?3x 上,则 【答案】0. 【解析】由题意可得 tan? ? ?3 ,对角 ? 的终边分类讨论:

10sin? ?

3 cos? 的值为_______;

当 ? 的终边位于第二象限时,

sin? ?

3 1 3 , cos? ? ? 10sin? ? ?0 10 10 ,则 cos? ; 3 1 3 , cos? ? 10sin? ? ?0 10 10 ,则 cos? ;

当 ? 的终边位于第四象限时,

sin? ? ?

10sin? ?
综上可得

3 ?0 cos? .

1 1 ? ? 3 例 3.若 sin ? cos ? ,则 sin ? cos ? ? (



10

1 A. 3 ?
【答案】A

1 B. 3

1 C. 3 或 1 ?

1 D. 3 或-1

1 1 sin α ? cos α ? ? ? 3 sin α cosα 【解析】 sin α cos α , sin α ? cos α ? 3 sin α cos α ,两边平方得

1 ? 2sin α cos α ? 3(sin α cos α)2
sin α cos α ?



(sin α cos α ? 1)(3sin α cos α ? 1) ? 0







1 1 1 sin 2α ? sin α cos α ? ? 2 2 ,所以 3 .故选 A.

例 4.已知 tan ? ? 3 ,计算:

4 sin ? ? 2 cos ? 2 (1) 5 cos ? ? 3 sin ? ; (2) sin ? cos ? ; (3) (sin? ? cos? )

5 3 8 【答案】 (1) 7 ; (2) 10 ; (3) 5 . 4 sin ? ? 2 cos ? 4 tan ? ? 2 4 ? 3 ? 2 5 ? ? ? 5 ? 3 tan ? 5 ? 3 ? 3 7 ; 【解析】? tan ? ? 3 ,? (1) 5 cos ? ? 3 sin ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? tan ? 3 ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 10 ;

(sin ? ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? tan2 ? ? 2 tan? ? 1 16 8 ? ? tan2 ? ? 1 10 5 .

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ?

?

3? sin(5? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) 2 f (? ) ? ? 3? cos(? ? ) tan( 3? ? ? ) sin(? ? ) 2 2 ; 例 5.已知
(I)化简 f (? ) ;

(Ⅱ)若 ? 是第三象限角,且

cos(

3? 3 ??) ? 2 5 ,求 f (? ) 的值. f (? ) ? 4 5.
11

【答案】 (I) f (? ) ? ? cos? ; (Ⅱ)

【解析】

3? ??) sin ? (? cos ? )sin ? 2 f (? ) ? ? ? ? cos ? ? 3? cos(? ? ) tan(3? ? ? )sin(? ? ) (? sin ? )(? tan ? ) cos ? 2 2 (I) sin(5? ? ? ) cos(? ? ? ) cos(
cos(
(Ⅱ)

3? 3 3 ? ? ) ? ? sin ? ? sin ? ? ? 2 5 ,所以 5,

又由 ? 是第三象限角,所以

cos ? ? ?

4 4 f (? ) ? ? cos ? ? 5. 5 ,故

【名师点睛】 1.诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的 选取. 2.已知一个角的某一个三角函数值,求这个角的其他三角函数值,这类问题用同角三角函 数的基本关 系式求解,一般分为三种情况: (1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的,此类情 况只有一组解. (2)一个角的某一个三角函数值是已知的, 但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出, 解答这类问题, 首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的 情况求解. (3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,此类情况须对字母进行讨论,并注意适当 选取分类标准, 一般有两组解. 3.计算、化简三角函数式常用技巧 (1)减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及 sinα ,cosα 的齐次分式问 题,常采用分 子分母同除以 cosnα (n∈N*),这样可以将被求式化为关于 tanα 的式子. ※(2)巧用 “1”进行变形, 如 1 = sin2α + cos2α = tanα cotα = tan45°= sec2α - tan2α 等. (3)平方关系式需开方时,应慎重考虑符号的选取. (4) 熟 悉 sinα + cosα , sinα - cosα , sinα cosα 三 者 之 间 的 内 在 联 系 , 利 用 (sinα ±cosα )2=1±2sinα cosα 进行和积转换,可知一求二. 类型四 三角函数的图象与性质

例 1.已知

f ? x ? ? Acos ??x ? ? ?

(A?0, ? ?0,

0 ?? ?

?
2 )是定义域为 R 的奇函

数,且当 x ? 3 时, 的值为(

f ? x?


取得最小值 ?3 , 当 ? 取最小正数时,

f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ? 2017?

12

3 A. 2
【答案】B

?
B.

3 2

C. 1

D. ?1

【解析】∵ 数,

f ? x ? ? Acos ??x ? ? ?

(A?0, ? ?0,

0 ?? ?

?
2 )是定义域为 R 的奇函

??
∴ 最小值 ?3 ,

?
2

? kπ

, k ? Z ,∴

??

?

2 .则 f ? x ? ? ? Asin? x , 当 x ? 3 时, f ? x ? 取得

故 A ? 3 , sin3? ? 1 ,∴

3? ?

?
2

? 2kπ

? , k ? Z ,∴ ? 取最小正数为 6 ,此时:

f ? x ? ? ?3sin

?
6

x
, ∴ 函 数 的 最 小 正 周 期 为 , 12 , 且 ,

f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ?12? ? 0

又 2017 ? 12 ?168 ? 1 ,∴ 故选:B. 例 2. 已 知

f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ??? f ? 2017 ? ? 168 ? 0 ? f ?1? ? ?

3 2。

f ? x? ? A sin ?? ? ?? x

( A?0 ,

x ? ?0 ) ,若两个不等的实数 1 ,

A? ? x2 ? ? x f ? x ? ? ? 2 ?, ?


x1 ? x2

的最小值为 ? ,则

f ? x?

的最小正周期是(



? A. 2
【答案】D

B.

?

C. 2?

D. 3?

【解析】由题意可得

sin ?? x ? ? ? ?

1 2 的解为两个不等的实数 x1 , x2 , x1 ? x2 的最小值为

? ,则
2 2? 6 ,? ? ,T ? ? 3? 2 5? 3 ? x2 ? ? ? 3 6 可令 {

? x1 ? ? ?

?
f ? x?

,故

的最小正周期是 3? ,故选
13

D.

f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0, ? ?
例 3. 已 知 函 数

?
2

), x ? ?

?
4 为 f ( x) 的 零 点 ,

x?

?
4 为

y ? f ( x) 图像的对
? ? 5? ? ? , ? f ( x ) 称轴,且 在 ? 18 36 ? 单调,则 ? 的最大值为(
A.11 【答案】B B.9 C.7

) D.5

x??
【解析】因为

?
4 为 f ( x) 的 零 点 ,

x?

?
4 为 f ( x) 图 像 的 对 称 轴 , 所 以

? ? T ? (? ) ? ? kT 4 4 4 ,即

?
2

?

4k ? 1 4k ? 1 2 ? T? ? 4 4 ? , 所以 ? ? 4k ? 1(k ? N *), 又因为

? ? 5? ? 5? ? ? T 2? , ? ? ? ? ? f ( x) 在 ? 18 36 ? ? 单调,所以 36 18 12 2 2? ,即 ? ? 12 ,由此 ? 的最大值为 9.故
选 B.

?? ? y ? sin ? ? 2 x ? ?4 ? 的单调增区间是( 例 4.函数 3? 3? ? ? k ? ? , k ? ? ?k ? Z ? ? ? 8 8 ? ? A.
3? 7? ? ? k? ? , k? ? ?k ? Z ? ? ? 8 8 ? ? C.
【答案】C



? 5? ? ? k ? ? , k ? ? ?k ? Z ? ? ? 8 8 ? ? B.
? 3? ? ? k? ? , k ? ? ? ? k ? Z ? ? 8 8 ? D. ?

?? ?? ?? ? ? ? y ? sin ? ? 2 x ? ? ?sin ? 2 x ? ? y ? sin ? 2 x ? ? 4 ? 的单调增区间即为 4 ? 的减区间, ?4 ? ? ? 【解析】
?
令2 C. 例 5.函数 y ? sin x ? 4sinx ? 5 的值域为
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
4

?

3? 3? 7? ? 2k? ,? k ?Z k? ? ? x ? k? ? ,? k ?Z 2 8 8 ,解得 故选

A.

?1, ???

B.

?1, ???

C.

?2,10?

D.

?1,10?

【答案】C

14

【解析】令

t ? sinx, t ???1,1?
2

,则原式变为

f ?t ? ? t 2 ? 4t ? 5

f ?t ? ? ?t ? 2? ? 1



??1,1? 递减, f ? ?1? ? 10, f ?1? ? 2 值域为 ?2,10? 选 C

【名师点睛】 1.求三角函数的定义域.①常常归结为解三角不等式(或等式);②经常借助两个工具,即单 位圆中的三角函数线和三角函数的图象, 有时也利用数轴; ③对于较为复杂的求三角函数的 定义域问题,应先列出不等式(组)分别求解,然后利用数轴或三角函数线求交集. 2.求三角函数的值域(最值)时, 代数中求值域(最值)的方法均适用, 注意三角函数的取值范 围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等.对于形如 y=Asin(ω x+ φ )+b(或 y=Acos(ω x+φ )+b),可直接求出 ω x+φ 在区间的范围,然后根据单调性求 解. 3.求三角函数的周期.①通常应将函数式化为只有一个函数名,且角度唯一,最高次数为一 次的形式, 然后借助于常见三角函数的周期来求解. ②注意带绝对值的三角函数的周期是否 减半,可用图象法判定,y=|cosx|的图象即是将 y=cosx 的图象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴的上方去. 4.判断三角函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间,如果是,再验证 f(-x)是否等于-f(x)或 f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非 偶函数.另外,对较复杂的解析式,可选择先化简再判断,也可直接用-x 取代 x,再化简 判断,还可利用 f(-x)±f(x)=0 是否成立来判断其奇偶性. 5.三角函数的单调性. ①三角函数单调区间的确定, 一般先将函数式化为基本三角函数标准式, 然后通过同解变形 或利用数形结合方法求解. ②利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小, 必须先看两角是否同属于这一函 数的同一单调区间内,不属于的,可先化至同一单调区间内.若不是同名三角函数,则应考 虑化为同名三角函数或用差值法(例如与 0 比较,与 1 比较等)求解. ③若函数 y=sin(ω x+φ )中 ω <0,可用诱导公式将函数变为 y=-sin(-ω x-φ )的形 式(目的是将 x 的系数变为正), 将“-ω x-φ ”视为一个整体, 那么 y=-sin(-ω x-φ ) 的增区间为 y=sin(-ω x-φ )的减区间,其减区间为 y=sin(-ω x-φ )的增区间.对于 函数 y=cos(ω x+φ ),y=tan(ω x+φ )(ω <0)等的单调性的讨论同上. 6.三角函数的对称性.①解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法;②对于函数 f(x)= Asin(ω x+φ )+B,如果求 f(x)图象的对称轴,只需解方程 sin(ω x+φ )=±1,也就是令 π ω x+φ = +kπ (k∈Z)求 x; 如果求 f(x)图象的对称中心, 只需解方程 sin(ω x+φ )=0, 2 也就是令 ω x+φ =kπ (k∈Z)求 x; ③对于较复杂的三角函数表达式, 有时可以通过恒等变 换为②的情形. 类型五 三角函数图象的变换 例 1.函数 y =A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则( )

? y ? 2sin(2 x ? ) 6 (A) ? y ? 2sin(2x+ ) 6 (C)

? y ? 2sin(2 x ? ) 3 (B) ? y ? 2sin(2x+ ) 3 (D)
15

【答案】A

? ? 2? T ? 2[ ? ? ( )? ]? ?? ?2 3 6 ? 【解析】由图知, A?2 ,周期 ,所以 ,所以
y ? 2sin(2 x ? ? ) ,

? ? 2? ( , 2) 2 ? 2sin(2 ? ? ? ) sin( ? ?) ? 1 3 3 因为图象过点 3 ,所以 ,所以 ,所以
2? ? ? ? ? 2 k? ? ( k? Z ) 3 2 ,

令 k ? 0 得,

? ??

?

y ? 2sin(2 x ? ) 6 ,所以 6 ,故选 A.

?

π f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 2 在某一个周期内的图象 例 2.某同学用“五点法”画函数 时,列表并填入了 部分数据,如下表:

?x ? ?
x

0

π 2
π 3

π

3π 2
5π 6



A sin(? x ? ? )

0

5

?5

0
f ( x)

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数 析式;

的解

(? ? 0) (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? 个单位长度,得到 y ? g ( x) 的图象.

若 y ? g ( x) 图
5π , 0) 象的一个对称中心为 12 ,求 ? 的最小值. π π f ( x) ? 5sin(2 x ? ) 6 ; 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) 6 . (

16

【解析】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 π ?x ? ? 0 2
x

A ? 5, ? ? 2, ? ? ?
π

π 6 . 数据补全如下表: 3π 2π 2
5π 6

π 12

π 3

7π 12

13 π 12

A sin(? x ? ? )

0

5

0

?5

0

π f ( x) ? 5sin(2 x ? ) 6 . 且函数表达式为 π π f ( x) ? 5sin(2 x ? ) g ( x) ? 5sin(2 x ? 2? ? ) 6 6 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,得

因为 y ? sin x 的对称中心为 ( kπ , 0) , k ? Z .
π kπ π ? kπ x? ? ?? 6 2 12 令 ,解得 , k ?Z . 5π kπ π 5π ( , 0) ? ?? ? y ? g ( x) 12 , 由于函数 的图象关于点 12 成中心对称,令 2 12 2 x ? 2? ?
π kπ π ? ? k ? 1 k ? Z ? ? 0 2 3 解得 , . 由 可知,当 时, 取得最小值 6 . 【名师点睛】 1.根据 y=Asin(ω x+φ ),x∈R 的图象求解析式的步骤: (1)首先确定振幅和周期,从而得到 A 与 ω . (Ⅰ)A 为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半. (Ⅱ)ω 由周期得到:①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴 之间的距离为函数的半个周期; ②函数图象与 x 轴的交点是其对称中心, 相邻两个对称中心

??

1 间的距离也是函数的半个周期;③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的 4 个周期(借助图象很好理解记忆). (2)求 φ 的值时最好选用最值点求. π 峰点:ω x+φ = +2kπ ; 2 π 谷点:ω x+φ =- +2kπ . 2 也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点. 升零点(图象上升时与 x 轴的交点):ω x+φ =2kπ ; 降零点(图象下降时与 x 轴的交点):ω x+φ =π +2kπ (以上 k∈Z). 2.三角函数的图象变换,有两种选择:一是先伸缩再平移,二是先平移再伸缩.特别注意平 移变换时,当自变量 x 的系数不为 1 时,要将系数先提出.对称变换要注意翻折的方向.三 角函数名称不同的图象变换问题,应先利用诱导公式将三角函数名称统一,再进行变换. 3.五点法作函数图象,当明确了函数图象基本特征后,“描点法”是作函数图象的快捷方 式.“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换,不易出错,且图形 简洁.要注意根据 ω x+φ 应满足的五个值,解出 x 的值. 三、易错易混辨析

17

y ? sin(


?
3

?

1 x) 2 的单调递增区间. ?

?
2

? 2 k? ?

?
3

?

【错解】直接根据正弦函数的增区间,列出不等式 解出 x 的范围.

1 ? x ? ? 2 k? , k ? Z 2 2 ,

?
【错因分析】没有掌握复合函数确定单调区间的方法,或忽视内层函数 3

?

1 x 2 是减函数.

【预防措施】 进一步明确复合函数单调性确定方法是“同增异减”, 即内外层函数的单调性 相同,则函数为增函数,内外层函数的单调性相反,则函数为减函数.

? 1 1 ? 1 ? y ? sin( ? x) ? ? sin( x ? ) t ? x? 3 2 2 3 ,令 2 3 ,则 y ? ? sin t 的单调递增区 【正解】
3? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ? (k ? Z ) ? y ? s i t n 2 ? 间 是 的 单 调 递 减 区 间 ?2

, 即

?
2

? 2k? ?

1 ? 3? x? ? ? 2k? 2 3 2 ,

5? 11? ? 4k? ? x ? ? 4k? 3 解之得 3 , y ? sin(


?
3

?

11 ? ? 5? ? 1 ? 4 k ? , ? 4k? ?(k ? Z ) x) ? 3 ? 2 的单调递增区间为 ? 3 .

【名师点睛】 求形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )(其中 A≠0,ω >0)的函数的单调区间,可以 通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ω x +φ (ω >0)”视为一个“整 体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的单调区间 对应的不等式方向相同(反). 四、强化训练提高 1.将表的分针拨慢 10 分钟,则分针转过的角的弧度数是( )

? A. 3
【答案】A

? B. 6

?
C.

?
3
D.

?

?
6

? 【解析】 将表的分针拨慢 10 分钟, 则分针逆时针转过 60°, 即分针转过的角的弧度数是 3 .
2.

cos ? ?570?? ?

(

)

18

1 A. 2
【答案】C

?
B.

1 2

?
C.

3 2

D.

3 2

【解析】

cos ? ?570? ? ? cos ? ?720? ? 150? ? ? cos150? ? ?

3 2 .故选:C

1 ?? ? cos ? ? ? ? ? ? 3 ,则 cos ?? ? 2? ? ? () ?2 ? 3.若

4 2 9 A. ?
【答案】B

7 B. 9 ?

7 C. 9

4 2 D. 9










2

1 ?? ? cos ? ? ? ? ? ? 3 ?2 ?

sin ? ? ?


1 3





c

??o? 2? s ?? ?c

2? o ? 2s

? i ?1 ? n?

7 9 ,故选 B.

2 2 ? 3 ? ?? ? ?? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos 5 , ? 是第三象限的角,则 2 2 .4 若 ( )
1 A. 2
【答案】B

sin

? ??

? cos

? ??

?
B.

1 2

C. 2

D. ?2

sin? ? ?
【解析】由题意

3 4 cos? ? ? 5 ,因为 ? 是第三象限的角,所以 5,

? ?? ? sin ? cos cos ? sin ? cos ? sin ? 1 ? sin? 1 2 2? 2 2 ? 2 2 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? cos? 2 sin ? cos cos ? sin cos 2 ? sin 2 2 2 2 2 2 2 因此 . ? ?? ? ?? ? ?
1 sin ? ? cos ? ? , ? ? ? 0, ? ? 5 5.已知 ,则 tan ? ? ( 4 A. 3 ? 3 B. 4 ?

2



4 C. 3

3 D. 4

19

【答案】A

(sin ? ? cos ? ) 2 ?
【 解 析 】 由 题 设

1 24 2 sin ? cos ? ? ? 25 , 则 25

, 故

(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ?

24 49 ? 25 25 ,所以

sin ? ? cos ? ?

7 1 4 3 sin ? ? cos ? ? sin ? ? , cos ? ? ? 5 ,与 5 联立解之可得 5 5 ,故

tan ? ? ?

4 3 ,应选 A.


6.已知函数 y ? cos(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示,则(

? ? 1, ? ?
A.

2? 3 2? 3

? ? 1, ? ? ?
B.

2? 3 2? 3

? ? 2, ? ?
C. 【答案】D

? ? 2, ? ? ?
D.

T 7? ? ? 2? ? ? ? ? ,T ? ? ? ,? ? 2 cos(2 ? ? ? ) ? 1, ? 3 【解析】由图象得 4 12 3 4 ,所以由

? ??


2? 3 ,故选 D.

y ? 4sin(2 x ? ) y ? 4 sin( x ? ) 5 , x ? R 的图象,只需把函数 5 ,x?R 7.为了得到函数
的图象上所有点 的( ) A.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 B.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变

?

?

1 C.横坐标缩短到原来的 2 倍,纵坐标不变

20

1 D.纵坐标缩短到原来的 2 倍,横坐标不变
【答案】C

y ? 4 sin( x ?
【解析】函数 函数

?

1 5 , x ? R 的图象横坐标缩短到原来的 2 倍,纵坐标不变得到 )

y ? 4sin(2 x ? ) 5 , x ? R 的图象,选 C.

?

? ? 2? ? f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? , x ? ? ? , ? ? 12 3 ? 的图象如图所示,若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 8.已知函数


x1 ? x2 ,



f ? x1 ? x2 ?

的值为 (



A.

3

B.

2

C. 1

D. 0

【答案】C

【解析】由题意得,

3 2? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? f ?? ? ? 0 4 ? 3 ? 12 ? , 则 ? ? 2 , 又 ? 12 ? ,即

? ? ? ? ? 2si? n ?2 ? ? ? ??? ? 0 ? ? 12 ? ? ,

??
解得

?

?? ?? ? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 2sin? 2x ? ? ? 2 6? 6 ? ,令 f ? x ? ? 2 ,即 ? ? 6 ,所以 ,

2x ?

?
6

?

?
2, x?

?

解得该函数的对称轴为

x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? 6 ,则 2 6 ,即 3,

21

?? ? ? ? ?? f ? x1 ? x2 ? ? f ? ? ? 2sin ? 2 ? ? ? ? 1 3 6? ?3? ? 所以 ,故选 C.
9.先将函数 y ? 2sin x 的图像纵坐标不变,横坐标压缩为原来一半,再将得到的图像向左

?
平移 12 个单位, 则所得图像的对称轴可以为( )

x??
A. 【答案】D

?
12
B.

x?

11? 12

C.

x??

?
6
D.

x?

?
6

【解析】将函数 y ? 2sin x 的图像纵坐标不变,横坐标压缩为原来一半得 y ? 2sin 2 x ,再

? 向左平移 12 个 y ? 2sin 2( x ?
单 位 得

? ? ? ? ) ? 2sin(2 x ? ) 2x ? ? k? ? 12 6 , 令 6 2 , 即

x?

k? ? ? 2 6 (k ? Z ) , x? ? 6 ,故选 D.

当 k ? 0 时,

y ? sin(2 x ? ) P( , t ) 3 图象上的点 4 向左平移 s( s ? 0 ) 个单位长度得到点 P ' , 10.将函数
若 P ' 位于函数 的图象上,则( )

?

?

t?
A.

1 ? 2 , s 的最小值为 6 1 ? 2 , s 的最小值为 3

t?
B.

? 3 2 , s 的最小值为 6 ? 3 2 , s 的最小值为 3

t?
C.

t?
D.

【答案】A

t ? sin(2 ?
【解析】由题意得,

?

? 1 ? 1 ? )? ( , ) 4 3 2 ,故此时 P ' 所对应的点为 12 2 ,此时向左平

22

? ? ? - ? 移 4 12 6 个
单位,故选 A. 11.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ?? ? ? ? 0) 的最小正周期是 ? ,将函数 f ( x ) 图象

? 向左平移 3 个单
位长度后所得的函数图象过点 P(0,1) ,则函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ()

[?
(A)在区间

? ?

, ] 6 3 上单调递减 , ] 3 6 上单调递减

[?
(B)在区间

? ?

, ] 6 3 上单调递增 , ] 3 6 上单调递增

[?
(C)在区间 【答案】B

? ?

[?
(D)在区间

? ?

【解析】依题 ? ? 2 , f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,平移后得到的函数是 其图象过

y ? sin(2x ? ? ?

2? ) 3 ,

sin(? ?
(0,1) ,∴

? 2? ? f ( x) ? sin(2 x ? ) )=1 ? ?? ? ? ? ? ? 0 6 ,故选 B. 3 6, ,因为 ,∴
x?
的图象关于直线

12.已知函数 如果存在实数

f ? x ? ? sin ??x ? ? ??? ? 0?
x0 ,

? ? ? f ?? ? ? 0 32 对称且 ? 32 ? ,

?

?? ? f ? x0 ? ? f ? x ? ? f ? x0 ? ? 8 ? ,则 ? 的最小值是( ? 使得对任意的 x 都有
A.4 【答案】C B.6 C.8

) D.12

?
【 解 析 】 由 题 设 可 知 2

? ?? ?

?
2

? 2k? ,

3? ? ? ? ? ? 2m? , k , m ? Z 8 4 , 或

?
2

? ?? ?

3? 3? 3? ? ? ? 3? ? 2k? , ?? ? ? 2m? , k , m ? Z ?? ?? 2 8 4 4或8 4 , ,由此可得 8

解之得 ? ? 2 或 ? ? 6 ,故应选 B.

23

f ? x? ?
13.函数 【答案】

sinx sinx

?

cosx cos x

的值域是________.

?2, ?2,0?
sinx ? 0,cosx ? 0,? f ? x? ? sinx sinx sinx sinx ? sinx sinx ? cosx ? 1?1 ? 2 cosx
:

【解析】当 x 在第一象限时,

当 x 在第二象限时,

sinx ? 0,cosx ? 0,? f ? x? ? sinx ? 0,cosx ? 0,?f ? x ? ? sinx 0,cosx 0,?f ? x ? ? cosx cosx

?

cosx ? 1?1 ? 0 cosx

:

当 x 在第三象限时,

?

cosx ? ?1 ? 1 ? ?2 cosx

:

sinx sinx

当 x 在第四象限时,

cosx ? ?1 ? 1 ? 0 cosx

:

f ? x? ?
函数

sinx sinx

?

的值域是

?2, ?2,0?.
? cos2 ? =____.

14.已知 A 是角 ?

1 ?3 4? ? , ? 终边上一点,且 A 点的坐标为 ? 5 5 ? ,则 2sin ? cos ?

25 【答案】 33















3 4 cos ? ? ,sin ? ? 5 5







1 2

?s

i ? ?n

2

?

1 ? 4 3 2 c ? o s 2? ? ? ( 5 5

3 c) 5 .

2 o

5 s

3

3

| ? |? ? ? ____. f ( x ) ? 2sin( ? x ? ? ) ? ? 0 2) 15.函数 ( , 的图象如图所示, 则 ? ? ____,

?

? 【答案】 2 , 6 .
24

T ?? ?
【解析】 由题意得,

2?

?

?? ? 2
, 又∵

f (0) ? 2sin ? ? 1 ? sin ? ?

1 ? ?? 2, 6, ∴

? 故填: 2 , 6 .
f ? x ? ? sin 2 x ? 3cos x ? 3 ? x ? ?0, ? ? ? ? ? 2 ?? ? ? ? 的最大值是__________. 4 ?
3 3 1 ? 1 ? cos 2 x ? 3cosx ? ? ?cos 2 x ? 3cosx ? 4 4 4, 1 3 t? ? ? 0, 1? 4 ,此时对称轴为 2

16.函数

【答案】1

【解析】

f ? x ? ? sin 2 x ? 3cosx ?



t ? cosx ??01 , ?

y ? ?t 2 ? 3t ?


? 3? f? ? 2 ? ? ?1 f ? x? ? ? 的最大值是 故答案为:1
17.已知函数

y ? tan?x ?? ? 0?

的图像与 y ? m ( m 为常数)的图像相交的相邻两交点间

的距离为 2? ,则 ? = __________.

1 【答案】 2 T ? 2π ? ? ?
【解析】由题意得 18.已知函数

π 1 ? 2π 2

f ? x ? ? sinx

,若存在

x1 , x2 ,

, xn 满足 0 ? x1 ? x2 ?
? f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ? 12

? xn ? 6? ,且
* ( m ? 2 , m? N ) ,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ?
则 m 的最小值 为__________. 【答案】 8 【 解 析 】

y ? sinx

对 任 意 ,

xi , x j ?i j,?
要使

1 , m2 ? , 3 , . . . ,
, 都 有

f ? xi ? ? f ? x j ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 2

m 取得最小值,尽可能多让
0 ? x1 ? x2 ? ... ? xm ? 6?


xi ?i ? 1, 2,3,..., m?

取 得 最 高 点 , 考 虑

25

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ?... ? f ? xm ?1 ? ? f ? xm ? ? 12
条件,

,按下图取值可满足

?m 最小值为 8 ,故答案为 8 .

sin(3? ? ? ) ? 2sin(
19.已知

3? ? ?) 2 ,求下列各式的值.

sin ? ? 4 cos ? (1) 5sin ? ? 2 cos ? ;
2 (2) sin ? ? sin 2? .

1 8 【答案】 (1) 6 ; ( 2) 5 . ? sin(3? ? ? ) ? 2sin(
【解析】 (1)∵

3? ??) 2 ,∴ ? sin ? ? ?2 cos ? ,即 sin ? ? 2cos ? ,

2 cos ? ? 4 cos ? ?2 1 ? ?? 6. 则原式 10 cos ? ? 2 cos ? 12 ?
(2)∵ sin ? ? 2cos ? ,即 tan a ? 2 ,

sin 2 ? ? 2sin ? cos ? tan 2 ? ? 2 tan ? 4 ? 4 8 ? ? ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 4 ?1 5 . ∴原式
f ? x ? ? cos ?? x ? ? ? (? ? 0, ?

?
2

? ? ? 0)

20.设函数

3 ?? ? f ? ?? . 4 2 ? ? ? 的最小正周期为 ,且

(1)求 ? 和 ? 的值; (2)给定坐标系中作出函数

f ? x?



?0, ? ? 上的图像,并结合图像写出函数的单调递减
26

区间(直接写出结果即可,不需要叙述过程) ;

(3)若

f ? x? ?

2 2 ,求 x 的取值范围.

【答案】(1) ? ? 2 ,

? ??

?

? 7? ? ? ? k? ? , k? ? ? , ? k ? Z ?. 24 24 ? 3 ;(2)答案见解析;(3) ?
? ?? ?
3;

【解析】试题分析:(1)由三角函数的性质结合题意可得 ? ? 2 , (2)结合(1)中函数的解析式绘制函数的图象即可;

? 7? ? ? ? k? ? , k? ? ? , ? k ? Z ?. 24 24 ? ? x (3)求解三角不等式可得 的取值范围是
f ? x ? ? cos ?? x ? ? ? ? cos ? 2x ? ? ? , 试题解析:(1)由已知条件可知 ? ? 2. 故
3 3 ?? ? ? ? ? ?? ? f ? ?? cos ? 2 x ? ? ? ? cos ? 2 ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ?sin? ? , 4 2 4 2 2 ? ? ? ? ? ? 又由 得
sin? ? ?
即 (2)

3 ? ,? ? ? . 2 3

27

? 2? ? ? k? ? , k ? ? , ? k ? Z ?. ? ? 6 3 ? ? 函数的单调递减区间

?? 2 ?? ? ? f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? , cos ? 2 x ? ? ? , 3 3 2 ? ? ? ? (3)由(1)知 令
2 k? ?


?
4

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
4

,?k ? Z ?,

2 k? ?


?
12

? 2 x ? 2 k? ?

7? ?k ? Z ?, 12

k? ?


?
24

? x ? k? ?

? 7? ? ? 7? ? k ? Z ? , x ? ? k? ? 24 , k? ? 24 ? , ? k ? Z ? . ? ? 24 即
?

21.已知函数

f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ?

) 2 的部分图象如图所示.

(1)求函数

f ? x?

的解析式;

(2)如何由函数 y ? 2sinx 的通过适当图象的变换得到函数

f ? x?

的图象,写出变换过程;

28

?? ? 1 ?? ? f ? ?? sin ? ? ? ? ?6 ? 的值. (3)若 ? 4 ? 2 ,求

?? ? 7 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 6 ? (2)见解析(3) 8 ? 【答案】 (1)
【解析】分析: (1)直接由函数图象求得 A 和周期,再由周期公式求得 ω ,由五点作图的 第三点求 ? ; (2)由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案;

?? ? 1 ?? ? ? 1 ?? ? f ? ?? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 转化为余弦利用倍角公式 ? 2 6 ? 4 ,然后把 ? 6 (3)由 ? 4 ? 2 求出
得答案.

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 6 ?. ? 试题解析:(1)
? (2)法 1:先将 y ? 2sinx 的图象向左平移 6 个单位,再将所得图象纵坐标不变,横坐标压

?? ? 1 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 6 ? 的图象. ? 缩为原来的 2 倍,所得图象即为
法 2:先将 y ? 2sinx 的图象纵坐标不变,横坐标压缩为原来的

倍,再将所得图象向左平

?? ? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 6 ? 的图象. ? 移 12 个单位,…,所得图象即为
?? ? ? ? ?? ?? ? ? 1 f ? ? ? 2sin ? 2 ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 4 6? ?2 6? 2 , (3)由 ? 4 ? ?? ? ? 1 sin ? ? ? ? ?2 6? 4, 得:

?? 1 7 ?? ? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? 1 ? ? 3? 8 8. ?6 ? ? ?2 6? 而
22.某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们 通过统计每 个月入住的游客人数, 发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性 的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人;

29

③2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)若入住客栈的游客人数 y 与月份

x 之 间 的 关 系 可 用 函 数 y ? Asin ?? x ? ? ? ? b

0? ( A ? 0 ,? ? 0 ,

? ??

)近似描述,求该函数解析式;

(2)请问哪几个月份要准备不少于 400 人的用餐?

【答案】(1)

f ? x ? ? 200sin(

?
6

x?

5? ) ? 300 * 6 ( x ? N ,且 1 ? x ? 12 ;

7, 8, 9, 10 五个月份要准备 400 份以上的食物. (2)只有 6,
【解析】分析: (1)由已知条件求出 A, ? , ? , b 的值,得出函数 知得

f ? x?

的解析式; (2)由已

f ? x ? ? 400,
解不等式求出 x 的范围,再求出月份来。

解析:(1)因为函数为

y ? f ? x? ? Asin(? x ? ? ) ?( b A ? 0,? ? 0, 0 ? ? ?? )

,由①,

T?
周期

2?

?

? 12


?=
所以 由③,

?

6 ;由②, f ? 2 ? 最小, f ?8? 最大,且 f ?8? ? f ? 2? ? 400 ,故 A ? 200 ;

? A ? b ? 100 f ? x ? ? 2, 8? f ? 2? =100 f ?8? =500 在 上递增,且 ,所以 ,所以 A ? b ? 500 ,解 得 {
{ A ? 200 b ? 300 ,

?? ? sin ? ? 2 ? ? ? ? ?1 ?6 ? { ?? ? 5? sin ? ? 8 ? ? ? ? 1 ?= ? f ? 2? f ? 8? 0 ? ? ? ? 6 ? ? 6 , 又 最小, 最大, 所以 , 由于 , 所以
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

f ? x ? ? 200sin(

?
6

x?

5? ) ? 300 * 6 ( x ? N ,且 1 ? x ? 12 ).

200sin(
(2)由条件可知,

?
6

x?

5? ? 5? 1 ) ? 300 ? 400 sin( x ? ) ? 6 6 6 2, ,化简得,

30

2 k? ?
所以

?
6

?

?
6

x?

5? 5? ? 2k? ? (k ? Z ) 12k ? 6 ? x ? 12k ?10 ? k ? Z ? 6 6 ,解得 .因为

x ? N* ,

7, 8, 9, 10 .即只有 6, 7, 8, 9, 10 五个月份要准备 400 份以上的食物. 且 1 ? x ? 12 ,故 x ? 6,

31

20 XX—2 019 学 年度 第一学 期生物 教研组 工作 计划

指 导思想 以 新一轮 课程改 革为抓 手,更 新教育 理念, 积极推 进教学 改革。 努力实 现教学 创新, 改革教 学和学 习方式 ,提高 课堂教 学效益 ,促进 学校的 内涵性 发展。 同时, 以新课 程理念 为指导 ,在全 面实施 新课程 过程中 ,加大 教研、 教改力 度,深 化教学 方法和 学习方 式的研 究。正 确处 理改革与 发展、 创新与 质量的 关系, 积极探 索符合 新课程 理念的 生物教 学自如 化教学 方法和 自主化 学习方 式。 主 要工作 一 、教研 组建设 方面: 1、 深入学 习课改 理论, 积极实 施课改 实践。 、 以七年 级新教 材为“ 切入点 ”,强 化理论 学习和 教学实 践。 、 充分发 挥教研 组的作 用,把 先进理 念学习 和教学 实践有 机的结 合起来 ,做到 以学促 研,以 研促教 ,真正 实现教 学质量 的全面 提升。 2、 强化教 学过程 管理, 转变学 生的学 习方式 ,提高 课堂效 益,规 范教学 常规管 理,抓 好“五 关”。 (1 )备课 关。要 求教龄 五年以 下的教 师备详 案,提 倡其他 教师备 详案。 要求教 师的教 案能体 现课改 理念。 (2 )上课 关。 (3 )作业 关。首 先要控 制学生 作业的 量,本 着切实 减轻学 生负担 的精神 ,要在 作业批 改上狠 下工夫 。 (4 )考试 关。以 确保给 学生一 个公正 、公平 的评价 环境。 (5 )质量 关。 3、 加强教 研组凝 聚力, 培养组 内老师 的团结 合作精 神,做 好新教 师带教 工作。 二 、常规 教学方 面: 1 加 强教研 组建设 。兴教 研之风 ,树教 研氛围 。特别 要把起 始年级 新教材 的教研 活动作 为工作 的重点 。 2、 教研组 要加强 集体备 课,共 同分析 教材,研 究教法 ,探讨 疑难问 题,由备 课组长 牵头每 周集体 备课一 次,定 时间定 内容, 对下一 阶段教 学做到 有的放 矢,把 握重点 突破难 点. 3、 教研组 活动要 有计划 、有措 施、有 内容, 在实效 上下工 夫,要 认真落 实好组 内的公 开课教 学。 4、 积极开 展听评 课活动 ,每位 教师听 课不少 于 20 节,青 年教师 不少于 4 0 节, 兴“听 课,评 课”之 风,大 力提倡 组内, 校内听 随堂课 。 5、 进一步 制作、 完善教 研组主 页,加 强与兄 弟学校 的交流 。 我 们将继 续本着 团结一 致,勤 沟通, 勤研究 ,重探 索,重 实效的 原则, 在总结 上一学 年经验 教训的 前提下 ,出色 地完成 各项任 务。 校 内公开 课活动 计划表 日 期周次 星期节 次开课 人员拟 开课内 容 10 月 127 四 2 王 志忠生 物圈 10 月 137 五 4 赵 夕珍动 物的行 为 12 月 114 五 4 赵 夕珍生 态系统 的调节 12 月 2818 四 4 朱 光祥动 物的生 殖 镇 江新区 大港中 学生物 教研组 xx- 9 20X X 下学 期生物 教研组 工作计 划范文 20X X 年秋 季生物 教研组 工作计 划 化 学生物 教研组 的工作 计划 生 物教研 组工作 计划 下 学期生 物教研 组工作 计划 年 下学期 生物教 研组工 作计划 20X X 年化 学生物 教研组 计划 20X X 年化 学生物 教研组 计划 中 学生物 教研组 工作计 划 第 一学期 生物教 研组工 作计划 20 XX—2 019 学 年度 第二学 期高中 英语教 研组 工作计 划

XX —XX 学 年度第 二学期 高中英 语教研 组工作 计划 一 .指导 思想: 本 学期, 我组将 进一步 确立以 人为本 的教育 教学理 论,把 课程改 革作为 教学研 究的中 心工作 ,深入 学习和 研究新 课程标 准,积 极、稳 妥地实 施和推 进中学 英语课 程改革 。以新 课程理 念指导 教研工 作,加 强课程 改革, 紧紧地 围绕新 课程实 施过程 出现的 问题, 寻求解 决问题 的方 法和途径 。加强 课题研 究,积 极支持 和开展 校本研 究,提 高教研 质量, 提升教 师的研 究水平 和研究 能力。 加强教 学常规 建设和 师资队 伍建设 ,进一 步提升 我校英 语教师 的英语 教研、 教学水 平和教 学质量 ,为我 校争创 “三星 ”级高 中而发 挥我组 的力量 。 二 .主要 工作及 活动: 1. 加强理 论学习 ,推进 新课程 改革。 组 织本组 教师学 习《普 通高中 英语课 程标准 》及课 标解度 ,积极 实践高 中英语 牛津教 材,组 织全组 教师进 一步学 习、熟 悉新教 材的体 系和特 点,探 索新教 材的教 学模式 ,组织 好新教 材的研 究课活 动,为 全组教 师提供 交流、 学习的 平台和 机会。 2. 加强课 堂教学 常规, 提高课 堂教学 效率。 强 化落实 教学常 规和“ 礼嘉中 学课堂 教学十 项要求 ”。做 好集体 备课和 二备以 及反思 工作。 在认真 钻研教 材的基 础上, 抓好上 课、课 后作业 、辅导 、评价 等环节 ,从而 有效地 提高课 堂教学 效率。 加强教 学方法 、手段 和策略 的研究 ,引导 教师改 进教学 方法的 同时, 引导学 生改 进学习方 法和学 习策略 。 3. 加强课 题研究 ,提升 教科研 研究水 平;加 强师资 队伍建 设,提 升教师 的教学 能力。 组 织教师 有效开 展本组 的和全 校的课 题研究 工作做 到有计 划、有 研究、 有活动 、有总 结,并 在此基 础上撰 写教育 教学论 文,并 向报刊 杂志和 年会投 稿。 制 订好本 组本学 期的校 公开课 、示范 课、汇 报课计 划,并 组织好 听课、 评课等 工作。 三 .具体 安排: 二 月份: 制订好 教研组 工作计 划、课 题组工 作计划 和本学 期公开 课名单 。 三 月份:1 、组织 理论学 习。 2、 高一英 语教学 研讨活 动。 3、 组织好 高三第 一次模 考、阅 卷、评 卷和总 结等工 作。 四 月份:1 、组织 好高三 英语口 语测试 。 2、 高三英 语复习 研讨会 。 五 月份:1 、组织 好高三 第二次 模考、 阅卷、 评卷和 总结等 工作。 2、 协助开 展好我 校的区 级公开 课。 六 月份:1 、组织 好高考 的复习 迎考工 作。 2、 收集课 题活动 材料。 20 19 学 年春季 学期小 学语 文组教 研计划

一 、指导 思想 坚 持以《 基础教 育课程 改革纲 要》为 指导, 认真学 习贯彻 课程改 革精神 ,以贯 彻实施 基础教 育课程 改革为 核心, 以研究 课堂教 学为重 点,以 促进教 师队伍 建设为 根本, 以提高 教学质 量为目 标,全 面实施 素质教 育。 本 学期教 研组重 点加强 对教师 评课的 指导, 使教师 的评课 规范化 ,系统 化,定 期举行 主题教 学沙龙 和“会 诊式行 动研究 ”,促 进新教 师的成 长,加 快我镇 小学语 文教师 队伍成 长速度 和小学 语文教 育质量 的全面 提高。 结合区 里的活 动安排 ,开展 各项有 意义的 学生活 动,培 养提 高学生的 语文素 养,调 动启发 学生的 内在学 习动机 。 二 、工作 目标 1、 以课改 为中心 ,组织 教师学 习语文 课程标 准,转 变教学 观念, 深入课 堂教学 研究, 激发学 生主动 探究意 识,培 养学生 创新精 神和实 践能力 ,努力 提高学 生语文 素养。 2、 进一步 加强语 文教师 队伍建 设,让 “语文 研究小 组”, 充分发 挥学科 带头人 、骨干 教师的 示范作 用,重 视团队 合作智 慧、力 量。开 展“师 徒结对 ”活动 ,以老 带新, 不断提 高教师 的业务 素质。 3、 组织教 师开展 切实有 效的说 课沙龙 、评课 沙龙, 提高教 师说课 能力, 和评课 能力, 能够结 合主题 教研活 动,对 典型课 例进行 互动研 讨,开 展教例 赏析活 动。 4、 加强教 研组集 体备课 ,每周 以段为 单位组 织一次 集体备 课,分 析教材 ,赏析 重点课 文,进 行文本 细读, 交流教 学心得 。让备 课不再 是走场 ,形式 主义, 而是真 真实实 为提高 课堂效 率服务 ,提高 教师的 素质服 务。 5、 根据上 学期制 定的语 文常规 活动计 划,开 展形式 多样的 学习竞 赛活动 、过关 活动, 激发学 生学习 语文的 兴趣, 在自主 活动中 提高学 生的综 合实践 能力, 促进个 性和谐 发展。 6、 加强 学习质 量调查 、检测 工作, 及时分 析,寻 找得失 ,确保 完成各 项教学 指标。 三 、主要 工作及 具体措 施 ( 一)骨 干教师 示范、 把关, 当好“ 领头羊 ”。 1、 本学期 ,语文 研究小 组成员 继续充 分发挥 学科带 头人、 骨干教 师的示 范作用 ,重视 团队合 作智慧 、力量 。教研 组将围 绕“探 索实效 性语文 课堂教 学模式 ”这个 主题, 深入开 展精读 课文教 学有效 性研讨 活动。 低段( 1-2 年 级)则 继续进 行识字 教学的 有效性 的探讨 。分层 、有 序地开展 教研活 动,使 教研活 动更成 熟、有 效,切 实提高 我校语 文老师 的专业 水平。 2、 开展“ 师徒结 对”活 动,以 老带新 ,不断 提高教 师的业 务素质 。 ( 二)年 轻教师 取经、 学习, 争取出 成绩。 1、 为了提 高教学 质量, 促成新 教师迅 速成长 ,1—5 年教龄 新教师 每一学 期上 1 堂模仿 课和一 堂校内 研讨课 。上模 仿课的 内容可 以通过 观看名 师的关 盘、视 频或者 教学实 录等途 径,根 据个人 教学需 要,有 选择性 地进行 局部模 仿,从 而使新 教师形 成个人 的教学 风格 。 20 19 年 高二历 史第二 学期 教学工 作计划 范文 1

一 、指导 思想 高 二的历 史教学 任务是 要使学 生在历 史知识 、历史 学科能 力和思 想品德 、情感 、态度 、价值 观各方 面得到 全面培 养锻炼 和发展 ,为高 三年级 的文科 历史教 学打下 良好的 基础, 为高校 输送有 学习潜 能和发 展前途 的合格 高中毕 业生打 下良好 基础。 高 考的文 科综合 能力测 试更加 强调考 生对文 科各学 科整体 知识的 把握、 综合分 析问题 的思维 能力、 为解决 问题而 迁移知 识运用 知识的 能力。 教师在 教学中 要体现 多学科 、多层 次、多 角度分 析解决 问题的 通识教 育理念 。教师 要认真 学习和 研究教 材 ,转变 教学观 念,紧 跟高考 形 势的发展 ,研究 考试的 变化, 力争使 高二的 教学向 高三教 学的要 求靠拢 。 按 照《教 学大纲 》和《 考试说 明》的 要求, 认真完 成高二 阶段的 单科复 习工作 。坚持 学科教 学为主 ,落实 基础知 识要到 位,适 当兼顾 史地政 三个学 科的综 合要求 ,培养 提高学 生学科 内综合 的能力 。从学 生的实 际出发 ,落实 基础, 提高学 科思维 能力和 辩证唯 物主义 、历史 唯物 主义的理 论水平 。 二 、教学 依据和 教材使 用 根 据国家 对人才 培养的 需要和 普通高 校对考 生文化 素质的 要求, 参照《 历史教 学大纲 》和 xx 年《考 试说明 》进行 教学。 使用人 教社 x x 版高 中《世 界近现 代史》 下册( 选修) 为教材 。以人 教社新 版《世 界近现 代史教 学参考 书》下 册为教 参。教 学中要 注意教 学大纲 和《考 试说 明》的具 体要求 ,针对 性要强 。根据 新形势 下的考 试要求 ,教学 中应重 视对知 识系统 和线索 的梳理 ,重视 知识间 的横向 ,加深 对历史 知识理 解和运 用。 三 、教学 内容 《 世界近 现代史 》下册 提供了 自一战 后至上 个世纪 九十年 代的历 史发展 史实, 教师可 以根据 自己学 校和学 生的情 况自行 调整, 灵活安 排教学 内容。 提倡教 师尝试 多种形 式的教 学模式 ,积极 启发培 养学生 的历史 思维能 力。 四 、教学 安排 1. 每周 2 课时, 本学期 共 21 周 ,约 4 2 课时 。 月 下旬前 要复习 完世界 近现代 史下册 的前三 章。期 中安排 区统一 测试。 月 底提供 全册书 的练习 题一套 ,仅供 参考使 用。 4. 本学期 有《高 二历史 》单元 练习册 (海淀 区教师 进修学 校主编 ,中国 书店出 版)辅 助教学 ,由教 师组织 学生进 行练习 ,希望 教师及 时纠正 教学中 存在的 问题。 中 学-学年 度第二 学期教 学工作 计划 初 二物理 第二学 期教学 计划 1 201 9 年第 二学期 教学工 作计划 范文 小 学第二 学期教 学工作 计划范 本 201 9 学年 第二学 期教学 工作计 划 20X X 年体 育活动 第二学 期教学 工作计 划范文 第 二学期 教学工 作计划 范文 20X X 年高 一地理 第二学 期教学 工作计 划范文 20X X 年高 一历史 第二学 期教学 工作计 划范文 20X X~20X X 学年 度第二 学期教 学工作 计划

20 19 年 春学期 课题研 究计 划

研 究目标 1、 在四年 级科学 教学中 继续深 入实施 苏教版 小学科 学“生 命世界 ”主题 单元探 究活动 设计与 实施的 研究, 重点是 对《呼 吸和血 液循环 》 、 《它 们是怎 样延续 后代的 》这两 个单元 的探究 活动进 行重构 ,寻找 出更切 合学生 实际的 科学探 究活动 。在活 动的设 计中提 炼出一 定的教 学 策略。 2、 对前一 阶段的 研究情 况进行 总结与 反思, 在研究 中不断 修改与 完善实 验方案 ,提高 研究的 有效性 。 3、 在研究 过程中 实施探 究活动 设计的 成果分 析,并 撰写研 究报告 。 4、 取得一 定数量 和质量 的科研 成果。 (如教 学设计 、研究 课、教 学随笔 、论文 等) 5、 做好课 题结题 的准备 工作。 研 究措施 : 1、 依托课 题博客 ,构建 交流平 台。 课 题博客 的内容 在研究 过程中 不断积 累,这 为我们 的课题 研究搭 建了一 个较好 的交流 平台, 同时也 为后期 研究奠 定了坚 实的基 础。在 平时研 究的过 程中要 不断将 研究的 内容充 实到课 题博客 中,做 到信息 上传的 常态化 ,要把 一些文 字资料 、图片 资料、 音响资 料及时 上传, 使得 博客内容 丰富, 能反映 课题研 究的全 过程。 2、 借助他 山之石 ,提高 理论素 养。 各 成员自 选一本 与课题 有关的 书籍, 自学、 吸收、 消化, 结合自 己的教 学实践 ,写出 心得体 会,然 后与课 题组成 员一起 学习、 探讨。 定期分 享一些 相关的 研究信 息。 3、 参加市 课题组 教师专 题会议 ,落实 课题的 研究目 标和重 点,清 醒认识 到自我 实验现 状(优 势与不 足) , 明晰个 人的研 究任务 ,理清 工作思 路和研 究重点 ,有效 地开展 研究实 验。 4、 整理和 提炼研 究成果 ,形成 有过程 ,有效 益,有 精品, 有价值 的课例 、论文 、改进 意见等 等。 5、 写教案 分析, 在深思 中推动 课题研 究 2 01 9 年春 季学期 四年 级数学 教学计 划

一 、学生 的基本 情况分 析: 全 班共 40 人,其 中男生 15 人 ,女生 2 5 人。 学生的 数学基 础较一 般,多 数学生 能掌握 所学内 容,少 部分学 生由于 反映要 慢一些 ,学习 方法死 板,没 有人进 行辅导 ,加之 缺乏学 习的主 动性, 不能掌 握学习 的内容 。能跟 上课的 学生, 课上活 泼,发 言积极 ,上课 专心听 讲,完 成 作业认真 ,学习 比较积 极主动 ,课后 也很自 觉,当 然与家 长的监 督分不 开。部 分学生 解答问 题的能 力较强 ,不管 遇到什 么题, 只要读 了两次 ,就能 找到方 法,有 的方法 还相当 的简捷 。有的 学生只 能接受 老师教 给的方 法,稍 有一点 变动的 问题就 处理不 了。个 别学生 是老师 怎么教 也 不会。 二 、教材 分析 本 册的教 学内容: (1) 混合运 算和应 用题; ( 2)整 数和整 数四则 运算; ( 3)量 的计量; (4) 小数的 意义和 性质; ( 5)小 数的加 法和减 法; (6 )平行 四边形 和梯形 本 册的重 点:混 合运算 和应用 题是本 册的一 个重点 ,这一 册进一 步学习 三步式 题的混 合运算 顺序, 学习使 用小括 号,继 续学习 解答两 步应用 题的学 习,进 一步学 习解答 比较容 易的三 步应用 题,使 学生进 一步理 解和掌 握复杂 的数量 关系, 提高学 生运用 所学知 识解决 得意的 实际 问题的能 力,并 继续培 养学生 检验应 用题的 解答的 技巧和 习惯。 第二单 元整数 和整数 的四则 运算, 是在前 三年半 所学的 有关内 容的基 础上, 进行复 习、概 括,整 理和提 高。先 把整数 的认数 范围扩 展到千 亿位, 总结十 进制计 数法, 然后对 整数四 则运算 的意义 ,运算 定律加 以概括 总 结,这样 就为学 习小数 ,分数 打下较 好的基 础。第 四单元 量的计 量是在 前面已 学的基 础上把 所学的 计量单 位加于 系统整 理,一 方面使 学生所 学的知 识更加 巩固, 一方面 使学生 为学习 把单名 数或复 名数改 写成用 小数表 示的单 名数做 好准备 。 三 、教学 目标 ( 一)知 识与技 能: 1、 使学生 认识自 然数和 整数, 掌握十 进制计 数法, 会根据 数级正 确地读 、写含 有三级 的多位 数。 2、 使学生 理解整 数四则 运算的 意义, 掌握加 法与减 法、乘 法与除 法之间 的关系 。 3、 使学生 理解加 法和乘 法的运 算定律 ,会应 用它们 进行一 些简便 运算, 进一步 提高整 数口算 、笔算 的熟练 程度。 4、 使学生 理解小 数的意 义和性 质,比 较熟练 地进行 小数加 法和减 法的笔 算和简 单口算 。 5、 学生初 步认识 简单的 数据整 理的方 法,以 及简单 的统计 图表; 初步理 解平均 数的意 义,会 求简单 的平均 数。 6、 使学生 进一步 掌握四 则混合 运算顺 序,会 比较熟 练地计 算一般 的三步 式题, 会使用 小括号 ,会解 答一些 比较容 易的三 步计算 的文字 题。 7、 使学生 会解答 一些数 量关系 稍复杂 的两步 计算的 应用题 ,并会 解答一 些比较 容易的 三步计 算的应 用题; 初步学 会检验 的方法 。 8、 结合有 关内容 ,进下 培养学 生检验 的好习 惯,进 行爱祖 国,爱 社会主 义的教 育和唯 物辩证 观点的 启蒙教 育 ( 二)过 程与方 法 1 . 经历 从实际 生活中 发现问 题、提 出问题 、解决 问题的 过程, 体会数 学在日 常生活 中的作 用,初 步形成 综合运 用数学 知识解 决问题 的能力 。 2. 初步了 解运筹 的思想 ,培养 从生活 中发现 数学问 题的意 识,初 步形成 观察、 分析及 推理的 能力。 ( 三)情 感态度 价值观 1. 体会学 习数学 的乐趣 ,提高 学习数 学的兴 趣,建 立学好 数学的 信心。 2. 养成认 真作业 、书写 整洁的 良好习 惯。 四 、教学 措施: 1. 加强思 想教育 、学习 目的性 教育, 使学生 进一步 端正学 习态度 。 2. 以学生 为主体 ,提倡 启发式 教学, 注重尝 试教学 ,激发 学生求 知欲。 3. 重视抓 课堂教 学改革 ,采用 多种方 法调动 学 2 01 9 年高 二下学 期体 育教师 工作计 划范 文

一 、教学 工作的 计划 (1 )学生 情况分 析:本 学期本 人任教 高一年 的学生 选项为 两个女 子武术 教学班 和一个 男子武 术教学 班,都 是新生 进入平 山中学 的,高 二年选 项为女 子武术 教学班 ,都出 现一些 人数参 差不齐 的现象 ,但也 基本上 是上个 学期选 项时的 基本情 况,对 于学习 时起到 这个项 目的连 续 性有一定 的帮助 。学习 时也能 了解到 教师的 教学意 图,这 样方便 教学的 总体安 排,也 可在一 定程度 上增加 一些技 术难度 与要求 。 (2 )教材 与教辅 分析: ① 分析教 材与教 辅的内 容与结 构:这 个学期 采用 2 个学分 同时选 项,这 样有利 于全学 期的学 习计划 与安排 ,不用 再教基 本功, 本学期 本人计 划在高 一年的 教学内 容是田 径与基 本体操 (广播 操)及 初级长 拳结合 进行教 学,高 二选项 安排校 本课程 “武术 剑”里 的一个 套路进 行教 学,再结 合表演 的方式 配合进 行的实 用技能 进行教 学,这 样有利 于学生 的学习 兴趣, 从内容 与结构 上的安 排是注 重学生 的学习 过程, 特别是 动作的 到位, 学不在 多,而 在精。 ② 分析教 材的特 点与重 点、难 点:教 材的特 点为有 利于学 生的学 习,兴 趣比较 浓,对 于学习 过程比 较注重 ,方便 学生的 素质不 同者的 学习; 重点在 于武德 ,这是 本个项 目开设 的重点 ,也是 教学过 程中最 重最重 的重点 ,让学 生知道 学习的 基本意 图,也 让学生 能自我 控制; 难点 在于如何 去掌握 套路的 实用技 能,提 高学以 致用, 能有防 身的本 领。 ③ 提出教 学任务 :在全 面发展 体能的 基础上 ,进一 步发展 灵敏、 力量, 速度和 有氧耐 力,武 德的培 养;引 导学生 学会合 理掌握 练习与 讨论的 时间, 了解实 现目标 时可能 遇到的 困难。 在不断 体验进 步和成 功的过 程中, 表现出 适宜的 自信心 ,形成 勇于克 服困难 积极向 上,乐 观开 朗的优良 品质; 认识现 代社会 所必需 的合作 和竞争 意识, 在武术 学习过 程中学 会尊重 和关心 他人, 将自身 健康与 社会需 要相, 表现出 良好的 体育道 德品质 ,结合 本身项 目去了 解一些 武术名 人并能 对他们 进行简 单的评 价;加 强研究 性的学 习,去 讨论与 研究技 能的实 用性, 加强同 学 之间的讨 论交流 的环节 。 (3 )教学 目标: ① 总体目 标:建 立“健 康第一 ”的理 念,培 养学生 的健康 意识和 体魄, 在必修 田径教 学的基 础上进 一步激 发学生 学习“ 初级长 拳”、 “剑” 的兴趣 ,培养 学生的 终身体 育意识 ,以学 生身心 健康发 展为中 心,重 视学生 主体地 位的同 时关注 学生的 个体差 异与不 同需求 ,确保 每一 个学生都 受益, 以及多 样性和 选择性 的教学 理念, 结合学 校的实 际情况 ,设计 本教学 工作计 划,以 满足学 生选项 学生的 需求, 加深学 生的运 动体验 和理解 ,保证 学生在 高一年 田径必 修基础 上再加 上“长 拳”来 引导男 女生学 习体育 模块的 积极性 ,再结 合高二 年的 “剑” 选项课 的学 习中修满 2 学分 。加强 学习“ 长拳” 以及“ 剑”的 基本套 路,提 升学习 的的兴 趣,提 升学生 本身的 素质, 特别是 武德的 培养。 ② 具体目 标: 运 动参与 :a 养成 良好的 练武的 锻炼习 惯。b 根据科 学锻炼 的原则 ,制定 并实施 个人锻 炼计划 。c 学 会评价 体育锻 炼效果 的主要 方法。 运 动技能 :a 认识 武术运 动项目 的价值 ,并关 注国内 外重大 体赛事 。b 有 目的的 提高技 术战术 水平, 并进一 步加强 技、战 术的运 用能力 。c 学 习并掌 握社会 条件下 活动的 技能与 方法, 并掌握 运动创 伤时和 紧急情 况下的 简易处 理方法 。 身 体健康 :a 能通 过多种 途径发 展肌肉 力量和 耐力。 b 了解 一些疾 病等有 关知识 ,并理 解身体 健康在 学习、 生活中 和重要 意义。 c 形成 良好的 生活方 式与健 康行为 。 心 理健康 :a 自觉 通过体 育活动 改变心 理状态 ,并努 力获得 成功感 。b 在 武术练 习活动 中表现 出调节 情绪的 意愿与 行为。 c 在具 有实用 技能练 习中体 验到战 胜困难 带来喜 悦。 社 会适应 :a 在学 习活动 中表现 出良好 的体育 道德与 合作创 新精神 。b 具 有通过 各种途 径获取 体育与 健康方 面知识 和方法 的能力 。 (4 )教学 措施: 采 用教师 示范与 讲解, 学生讨 论,练 习,教 师评价 ,再进 行个别 指导, 后进行 学生练 习,最 后进行 展示与 学生的 综合评 价相结 合的方 式方法 ,培养 学生的 良好的 学习习 惯、学 习方法 更好地 完成教 学任务 ,达到 教学目 标;实 行培优 扶中辅 差, ,采 用学习 小组的 建立, 加强学 习 小组的相 互学习 、相互 讨论、 相互研 究的功 能,提 升学习 的效率 ;加强 多边学 科的整 合,特 别是加 强心理 健康的 教育, 加强运 动力学 、运动 医学等 进行学 习,以 提升学 生的运 动自我 保护意 识与能 力。 二 、教学 研究的 计划 (1 )课题 研究: 加强校 本课程 “剑” 、“平 山初级 长拳” 的开发 与教学 ;做好 “趣味 奥运会 进入校 园”课 题的开 题准备 。做为 “青春 期健康 教育进 入校园 ”课题 组的成 员,协 助课题 组进行 研究, 开展活 动。 (2 )校本 教研: 加强校 本课程 的开发 ,加强 体育备 课组的 教研能 力,做 为备课 组长的 我与其 他老师 加强讨 论校本 的研究 与开发 ,本次 校本开 发重点 放在“ 剑”、 “初级 长拳” 、“花 样篮球 ”三个 项目上 ,有所 侧重。 (3 )论文 撰写: 结合课 题研究 的内容 进行撰 写。 (4 )校际 、教研 组、备 课组教 研活动 :做为 晋江市 兼职中 学体育 教研员 及校际 组成员 ,积极 参加校 际组开 展的各 项活动 ,加强 提升在 校际组 的教研 水平, 做好兼 职教研 员的本 职工作 ,协助 教研员 开展教 研活动 ;积极 参加教 研组的 各项活 动,提 升教研 水平; 做为备 课组长 的 我,我计 划是积 极组织 本组老 师一起 提高高 中的课 改力度 与水平 ,集中 老师的 备课时 间与讨 论在备 课过程 中出现 的一系 列问题 ,针对 选项会 出现的 问题进 行沟通 ,加强 学习过 程的评 价,协 调选项 内容的 评价标 准及认 证过程 。 高 二下学 期语文 备课组 工作计 划 高 二下学 期化学 教学计 划 高 二下学 期语文 教学工 作计划 关 于高二 下学期 班主任 工作计 划范文 20X X 学年 高二下 学期班 主任工 作计划 范文 20X X 高二 下学期 班主任 工作计 划 高 二下学 期工作 计划范 文 20X X 年高 二下学 期地理 教学计 划 高 二下学 期物理 教学计 划 2 高 二下学 期语文 教学计 划

生积极性 ,要求 作业在 课堂上 完成, 并及时 反馈。 4. 做好后 进生的 辅导工 作,实 施“课 内补课 ”的方 法,组 织互帮 互学。 5. 培养学 生的分 析、比 较和综 合能力 。 6. 培养学 生的抽 象、概 括能力 。 7. 培养学 生的迁 移类推 能力。 8. 培养学 生思维 的灵活 性。 五 、课时 安排 四 年级下 学期数 学教学 安排了 7 2 课时 的教学 内容。 各部分 教学内 容教学 课时大 致安排 一 、混合 运算和 应用题 (11 课 时) 1、 混合运 算 2 课 时 2、 两、三 步计算 的应用 题 8 课 时 3、 整理和 复习 1 课时 二 、整数 和整数 四则运 算(18 课时) 1、 十进制 计数法 2 课时 2、 加法的 意义和 运算定 律 3 课 时 3、 减法的 意义和 运算定 律 3 课 时 4、 乘法的 意义和 运算定 律 4 课 时 5、 除法的 意义 4 课时 6、 整理和 复习 2 课时 三 、量的 计量(6 课时) 1、 常用的 计量单 位 2 课 时 2、 名数的 改写 4 课时 四 、小数 的意义 和性质 (17 课 时) 1、 小数的 意义和 读写法 2 课时 2、 小数的 性质和 小数的 大小比 较 3 课 时 3、 小数点 位置移 动引起 小数大 小的变 化 4 课 时 4、 小数和 复名数 3 课时 5、 求一个 小数的 近似数 2 课时 6、 整理和 复习 2 课时 五 、小数 的加法 和减法 (3 课时 ) 小 管家 1 课时 六 、三角 形、平 行四边 形和梯 形(10 课时) 1、 角的度 量 1 课 时 2、 垂直和 平行 2 课时 3、 三角形 2 课时 4、 平行四 边形和 梯形 3 课时 5、 整理和 复习 2 课时 七 、总复 习(6 课 时) XX 年 2 月 26 日 向纵深发 展。 6、 做好论 文的撰 写、参 评工作 。 活 动安排 : 二 月份: 课例展 示交流 。王钧 、李汪 俊、罗 建上研 究课; 课题成 员进行 子课题 研究交 流。 三 月份: 课例展 示交流。 (姚爱 祥)组 织课题 学习, 程中华 、戴辉 文、孙 小娟上 研究课 ;课题 成员进 行子课 题研究 交流。 四 月份: 课例展 示交流。 (姚爱 祥)组 织课题 学习, 刘华波 、曹辉 、钱芸 上研究 课;课 题成员 进行子 课题研 究交流 。 五 月份: 课题研 究小结 2、 组织年 轻教师 开展会 诊式课 堂教学 诊断活 动、同 课异构 活动、 同构异 教活动 ,有效 ,切实 提高我 校年轻 语文老 师的专 业水平 ,获得 快速成 长。 3、 选拔教 龄 2— —3 年 新教师 参加区 教研室 组织的 区新生 代课堂 教学比 赛,并 做好指 导、培 训工作 。 ( 三)教 研形式 稳中有 变,踏 实而生 动。 1、 继续组 织两周 一次的 专题学 习沙龙 和互动 式评课 沙龙, 结合教 研活动 的主题 组织好 教师学 习、交 流。听 展示课 的教师 对听课 内容进 行精心 、系统 的评点 ,写成 评课稿 ,在两 周一次 的互动 式教学 研讨沙 龙中进 行交流 、探讨 。与往 年不同 的是, 在保证 互动评 课活动 开展同 时 ,不影响 正常教 学,本 学期安 排 8 次 集体评 课活动 ,其他 评课通 过 qq 群来交 流、研 讨。

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