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lehu4477com:2019年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛

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2019 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛
试题参考答案及评分标准 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 7 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步 骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分。)

1.已知复数 m 满足 m ? 1 m

? 1,则 m2008

?1 m 2009

?

0.

2.设 f (x) ? 1 cos2 x ? 3 sin x cos x ? 2 , x ?[? ? , ? ],则 f (x) 的值域为 [2, 2 3] .

2

2

64

4

? ? 3.设等差数列 an

的前 n 项和为 S n ,若 S15

? 0, S16

?

0 ,则

S1 a1

, S2 a2

,?, S15 a15

中最大的是

S8 a8



4.已知 O 是锐角△ABC 的外心, AB ? 6, AC ? 10 ,若 AO ? xAB ? y AC ,且 2x ?10y ? 5 ,则

cos?BAC ? 1 . 3

5.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别是棱 A1D1 和 CC1 的

中点.则四面体 O ? MNB1的体积为

7 48



6.设 A ? B ? C ? {1,2,3,4,5,6},且 A ? B ? {1,2},{1,2,3,4} ? B ? C ,则符合条件的 ( A, B,C) 共有

1600 组.(注: A, B, C 顺序不同视为不同组.)

7.设 y ? sin x ? cosx ? tan x ? cot x ? sec x ? cscx ,则| y | 的最小值为 2 2 ?1 .

8.设 p 是给定的正偶数,集合 Ap ? {x | 2 p ? x ? 2 p?1, x ? 3m, m ? N} 的所有元素的和是 22 p?1 ? 2p?1 .

二、解答题(本题满分 64 分,第 9 题 14 分,第 10 题 15 分,第 11 题 15 分,第 12 题 20 分。)

9.设数列 {an }( n

?

0)

满足

a1

?

2

, am?n

?

am?n

?

m

?

n

?

1 2

(a2m

?

a2n ) ,其中 m, n ? N, m

?

n.

(1)证明:对一切 n ? N ,有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ;

(2)证明: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1.

a1 a2

a2009

证明

(1)在已知关系式 am?n

? am?n

?m?n

?

1 2 (a2m

? a2n ) 中,令 m

?

n ,可得 a0

?

0;

令 n ? 0,可得

a2m ? 4am ? 2m



令 m ? n ? 2 ,可得

1 a2n?2 ? a2 ? 2 ? 2 (a2n?4 ? a2n )



由①得 a2n?2 ? 4an?1 ? 2(n ? 1) , a2 ? 4a1 ? 2 ? 6 , a2n?4 ? 4an?2 ? 2(n ? 2) , a2n ? 4an ? 2n ,

代入②,化简得 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 .

------------------------------------------7 分

(2)由 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ,得 (an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2 ,故数列{an?1 ? an } 是首项为

a1 ? a0 ? 2 ,公差为 2 的等差数列,因此 an?1 ? an ? 2n ? 2 .

n

n

? ? 于是 an ? (ak ? ak?1 ) ? a0 ? (2k) ? 0 ? n(n ? 1) .

k ?1

k ?1

因为 1 ? 1 ? 1 ? 1 (n ? 1) ,所以 an n(n ? 1) n n ? 1

1 ? 1 ? ? ? 1 ? (1 ? 1 ) ? (1 ? 1) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 1 ? 1 ? 1.

a1 a2

a2009

2 23

2009 2010

2010

------------------------------------------14 分

10.求不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? 3x4 ? 3x5 ? 5x6 ? 21 的正整数解的组数.

解 令 x1 ? x2 ? x3 ? x , x4 ? x5 ? y , x6 ? z ,则 x ? 3, y ? 2, z ? 1.

先考虑不定方程 x ? 3y ? 5z ? 21满足 x ? 3, y ? 2, z ? 1的正整数解.

? x ? 3, y ? 2, z ? 1,?5z ? 21? x ? 3y ? 12,?1 ? z ? 2.----------------------------------5 分

当 z ?1时,有 x ? 3y ? 16 ,此方程满足 x ? 3, y ? 2 的正整数解为 (x, y) ? (10, 2), (7, 3), (4, 4) .

当 z ? 2时,有 x ? 3y ? 11,此方程满足 x ? 3, y ? 2 的正整数解为 (x, y) ? (5, 2) .

所以不定方程 x ? 3y ? 5z ? 21满足 x ? 3, y ? 2, z ? 1的正整数解为

(x, y, z) ? (10, 2, 1), (7, 3, 1), (4, 4, 1), (5, 2, 2) .

------------------------------------------10 分

又方程 x1

?

x2

?

x3

?

x(x ? N, x

?

3)

的正整数解的组数为

C

2 x

?1

,方程

x4

?

x5

?

y

(y? N,x

?

2) 的正整

数解的组数为

C1 y ?1

,故由分步计数原理知,原不定方程的正整数解的组数为

C

2 9

C11

?

C

2 6

C12

?

C

2 3

C13

?

C

2 4

C11

?

36

?

30

?9?6

?

81 .

------------------------------------------15 分

11.已知抛物线 C: y ? 1 x 2 与直线 l: y ? kx ?1没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动点,过 P 作抛物线 2
C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q;

PM QM

(2)若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M,N 两点,证明:

?



PN QN

证明

(1)设 A(x1, y1) ,则 y1

?

1 2

x12





y

?

1 2

x2



y?

?

x

,所以

y?

| x? x1

?

x1 .

于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 y ? y1 ? x1 (x ? x1 ) ,即 y ? x1x ? y1 .

设 P(x0 , kx0 ? 1) ,则有 kx0 ?1 ? x0 x1 ? y1 .

设 B(x2 , y2 ) ,同理有 kx0 ? 1 ? x0 x2 ? y2 .

所以 AB 的方程为 kx0 ?1 ? x0 x ? y ,即 x0 (x ? k) ? ( y ?1) ? 0 ,

所以直线 AB 恒过定点 Q(k,1) .

------------------------------------------7 分

(2)PQ 的方程为 y ? kx0 ? 2 (x ? k) ?1,与抛物线方程 y ? 1 x 2 联立,消去 y,得

x 0?k

2

x2 ? 2kx0 ? 4 x ? (2k 2 ? 2)x0 ? 2k ? 0 .

x0 ? k

x0 ? k

设 M (x3 , y3 ) , N (x4 , y4 ) ,则

x3

?

x4

?

2kx0 ? 4 x0 ? k

,

x3

x4

?

(2k 2

? 2)x0 x0 ? k

? 2k



要证 PM ? QM ,只需证明 x3 ? x0 ? k ? x3 ,即

PN QN

x4 ? x0 x4 ? k

2x3 x4 ? (k ? x0 )( x3 ? x4 ) ? 2kx0 ? 0



由①知,

②式左边=

2(2k 2 ? x0

2)x0 ?k

?

4k

?

(k

?

x0 )

2kx0 ? 4 x0 ? k

?

2kx0

? 2(2k 2 ? 2)x0 ? 4k ? (k ? x0 )(2kx0 ? 4) ? 2kx0 (x0 ? k) ? 0 .

x0 ? k

故②式成立,从而结论成立.

------------------------------------------15 分

12.设 a,b, c, d 为正实数,且 a ? b ? c ? d ? 4 .证明:
a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? 4 ? (a ? b)2 . bcd a 证明 因为 a ? b ? c ? d ? 4 ,要证原不等式成立,等价于证明

a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? a ? b ? c ? d ? 4(a ? b)2

bcd a

a?b?c?d

事实上,

a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? (a ? b ? c ? d) bcd a

? ( a 2 ? b ? 2a) ? (b2 ? c ? 2b) ? (c2 ? d ? 2c) ? ( d 2 ? a ? 2d )

b

c

d

a

? 1 (a ? b)2 ? 1 (b ? c)2 ? 1 (c ? d )2 ? 1 (d ? a)2

b

c

d

a

① ----------------5 分 ②----------------10 分

由柯西不等式知

[(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? d )2 ? (d ? a)2 ](a ? b ? c ? d )

b

c

d

a

? (| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) 2

又由| b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |?| b ? a | 知

(| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) 2 ? 4(a ? b)2

由②,③,④,可知①式成立,从而原不等式成立.

③----------------15 分
④ ------------------------------------20 分


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