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最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数的最值》夯实基础


4.9 三角函数的最值 巩固·夯实基础 一、自主梳理 ? ? (k∈Z)时取得最大值 1,当且仅当 x=2kπ - (k∈Z)时 2 2 ? ?? 2 k? 2 取得最小值-1;函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0),当且仅当 x= + 时取得最大值 A,当且仅 ? ? ? ?? 2 k? 2 当 x= + 时取得最小值-A. ? ? 1.函数 y=sinx 当且仅当 x=2kπ + 2.函数 y=cosx 当且仅当 x=2kπ (k∈Z)时取得最大值 1;当且仅当 x=2kπ -π 时取得最小值 -1; 函 数 y=Acos( ω x+ φ )(A>0), 当 且 仅 当 x= x= 2 k? ? ? 2 k? ? ? ? ? ? 时 取 得 最 大 值 A, 当 且 仅 当 ? 时取得最小值-A. 3.函数 y=asinx+bcosx 的最大值是 a 2 ? b 2 ,最小值是- a 2 ? b 2 . 二、点击双基 1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x ? 1.(2005 全国高考卷Ⅰ)当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值为( 2 sin 2 x A.2 B.2 3 C.4 D.4 3 ) 解析:f(x)= 2 cos2 x ? 8 sin 2 x =cotx+4tanx. 2 sin x cos x (*) ∵x∈(0, ? ),∴cotx>0,tanx>0. 2 故(*)≥2 4 tan x cot x =4. 答案:C 2.函数 f(x)=cos2x+sinx 在区间[- ? ? , ]上的最小值是( 4 4 C.-1 ) A. 2 ?1 2 1 2 5 )+ . 2 4 B.- 1? 2 2 D. 1? 2 2 解析:f(x)=1-sin2x+sinx =-(sinx- ∴当 x=答案:D ? 1? 2 时,ymin= . 4 2 3.函数 y=x-sinx 在[ ? ,π ]上的最大值是( 2 B. ) A. ? -1 2 3? +1 2 C. 3? 2 2 2 D.π 解析:y=x-sinx 在[ ? ,π ]上是增函数, 2 ∴x=π 时,ymax=π . 答案:D sin x 的最大值是__________________,最小值是_________________. 2 ? sin x 2 ? sin x ? 2 2 解析一:y= =1. 2 ? sin x 2 ? sin x 4.y= 当 sinx=-1 时,得 ymin=-1; 当 sinx=1 时,得 ymax= 解析二:原式 ? sinx= 1 . 3 2y (∵y≠1) 1? y ?| 2y 1 |≤1 ? -1≤y≤ . 3 1? y 1 ,ymin=-1. 3 ∴ymax= 答案: 1 3 -1 5.设实数 x、y 满足 x2+y2=1,则 3x+4y 的最大值为______________. 解析:由 x2+y2=1 可设 x=cosθ ,y=sinθ . 则 3x+4y=3cosθ +4sinθ =5sin(θ +φ ). 则其最大值为 5. 答案:5 诱思·实例点拨 【例 1】 函数 y=acosx+b(a、b 为常数),若-7≤y≤1,求 bsinx+acosx 的最大值. 剖析:函数 y=acosx+b 的最值与 a 的符号有关,故需对 a 分类讨论. 解:当 a>0 时, ? ?a ? b ? 1 ?a=4,b=-3; ??

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