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最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数的最值》夯实基础

4.9 三角函数的最值 巩固·夯实基础 一、自主梳理 ? ? (k∈Z)时取得最大值 1,当且仅当 x=2kπ - (k∈Z)时 2 2 ? ?? 2 k? 2 取得最小值-1;函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0),当且仅当 x= + 时取得最大值 A,当且仅 ? ? ? ?? 2 k? 2 当 x= + 时取得最小值-A. ? ? 1.函数 y=sinx 当且仅当 x=2kπ + 2.函数 y=cosx 当且仅当 x=2kπ (k∈Z)时取得最大值 1;当且仅当 x=2kπ -π 时取得最小值 -1; 函 数 y=Acos( ω x+ φ )(A>0), 当 且 仅 当 x= x= 2 k? ? ? 2 k? ? ? ? ? ? 时 取 得 最 大 值 A, 当 且 仅 当 ? 时取得最小值-A. 3.函数 y=asinx+bcosx 的最大值是 a 2 ? b 2 ,最小值是- a 2 ? b 2 . 二、点击双基 1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x ? 1.(2005 全国高考卷Ⅰ)当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值为( 2 sin 2 x A.2 B.2 3 C.4 D.4 3 ) 解析:f(x)= 2 cos2 x ? 8 sin 2 x =cotx+4tanx. 2 sin x cos x (*) ∵x∈(0, ? ),∴cotx>0,tanx>0. 2 故(*)≥2 4 tan x cot x =4. 答案:C 2.函数 f(x)=cos2x+sinx 在区间[- ? ? , ]上的最小值是( 4 4 C.-1 ) A. 2 ?1 2 1 2 5 )+ . 2 4 B.- 1? 2 2 D. 1? 2 2 解析:f(x)=1-sin2x+sinx =-(sinx- ∴当 x=答案:D ? 1? 2 时,ymin= . 4 2 3.函数 y=x-sinx 在[ ? ,π ]上的最大值是( 2 B. ) A. ? -1 2 3? +1 2 C. 3? 2 2 2 D.π 解析:y=x-sinx 在[ ? ,π ]上是增函数, 2 ∴x=π 时,ymax=π . 答案:D sin x 的最大值是__________________,最小值是_________________. 2 ? sin x 2 ? sin x ? 2 2 解析一:y= =1. 2 ? sin x 2 ? sin x 4.y= 当 sinx=-1 时,得 ymin=-1; 当 sinx=1 时,得 ymax= 解析二:原式 ? sinx= 1 . 3 2y (∵y≠1) 1? y ?| 2y 1 |≤1 ? -1≤y≤ . 3 1? y 1 ,ymin=-1. 3 ∴ymax= 答案: 1 3 -1 5.设实数 x、y 满足 x2+y2=1,则 3x+4y 的最大值为______________. 解析:由 x2+y2=1 可设 x=cosθ ,y=sinθ . 则 3x+4y=3cosθ +4sinθ =5sin(θ +φ ). 则其最大值为 5. 答案:5 诱思·实例点拨 【例 1】 函数 y=acosx+b(a、b 为常数),若-7≤y≤1,求 bsinx+acosx 的最大值. 剖析:函数 y=acosx+b 的最值与 a 的符号有关,故需对 a 分类讨论. 解:当 a>0 时, ? ?a ? b ? 1 ?a=4,b=-3; ?? a ? b ? ?7 ?? a ? b ? 1 ?a=-4,b=-3. ?a ? b ? ?7 4 ); 3 当 a=0 时,不合题意; 当 a<0 时, ? 当 a=4,b=-3 时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+φ )(tanφ =- 当 a=-4,b=-3 时,bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+φ )(tanφ = ∴bsinx+acosx 的最大值为 5. 【例 2】 求函数 y= 4 ). 3 2 ? sin x 的最大值和最小值. 2 ? cos x 剖析:此题的解法较多,一是利用三角函数的有界性;二是数形结合法,将 y 看成是两点连 线的斜率;三是利用万能公式换算,转化成一元函数的最值问题(由于万能公式不要求掌握, 所以此方法只作了解即可). 解法一:去分母,原式化为 sinx-ycosx=2-2y,即 sin(x-φ )= 2 ? 2y 1? y2 . 故 | 2 ? 2y | 1? y 2 ≤1,解得 4? 7 4? 7 ≤y≤ . 3 3 ∴ymax= 4? 7 4? 7 ,ymin= . 3 3 解法二:令 x1=cosx,y1=sinx,有 x12+y12=1.它表示单位圆,则所给函数 y 就是经过定点 P(2, 2)以及该圆上的动点 M(cosx,sinx)的直线 PM 的斜率 k,故只需求此直线的斜率 k 的最值即 可.由 | 2 ? 2k | 1? k 2 =1,得 k= 4? 7 . 3 ∴ymax= 4? 7 4? 7 ,ymin= . 3 3 讲评:数形结合法是高考中必考的数学思维方法,对此读者要有足够的重视. 【例 3】 已知函数 f(x)=2asin2x-2 3 asinx· cosx+a+b(a≠0)的定义域为 [0, ? ] ,值域为 [-5,1] , 2 求常数 a、b 的值. 剖析:首先通过三角恒等变形 ,将函数化成一个角的一种函数的形式 ,然后注意函数定义域对 确定函数的值域的影响. 解:f(x)=a(1-cos2x)- 3 asin2x+a+b =-a(cos2x+ 3 sin2x)+2a+b =-2asin(2x+ ? )+2a+b. 6 ? ? 7? ? ],∴2x+ ∈[ , ]. 2 6

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