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湖南师范大学附属中学高一数学 正切函数的图象与性质(1)教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案:正切函数的图象与性质(1)
目的:学会画出正切函数的图象,并掌握正切函数的性质。 过 程:一、课题:正切函数的图象和性质。 二、正切函数 y ? tan x 的图象。 1.首先考虑定义域: x ? k? ?

?
2

?k ? z ?

2.为了研究方便,再 考虑一下它的周期:

? tan?x ? ? ? ?

sin?x ? ? ? ? sin x ? ? ? ? ? tan x? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? cos?x ? ? ? ? cos x 2 ? ?

? ? ? ? y ? tan x? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 的周期为 T ? ? (最小正周期) 2 ? ?
3. 因此我们可选择 ? ?

? ? ?? , ? 的区间作出它的图象。 ? 2 2?

根 据正切函数 的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x

x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线”
y

3 ? ? 2

?? ? ? 2

0

? 2

?

3 x ? 2

1

三、正切函数的性质

引导学生观察,共同获 得:

1、 定义域: ? x | x ? 2、 值域:R

? ?

?

? ? k? , k ? z ? , 2 ?

观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于 3、 周期性: T ? ?

?
2

? ?k ? z ? , x ? ?? ? ?? k? ? 时, tan x ?

?
2

? k? ?k ? z ? , x ? ??

?
2

2

?? ?? 。 ? k? 时, tan x ?

4、 奇偶性: tan?? x ? ? ? tan x 奇函数。 5、 单 调性:在开区间 ? ? 四、例 题: 例一、 比较 tan? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ?
? ? 的大小。 ?

? 13? ? ? 17? ? 与 tan? ? ? 4 ? ? 5

解:? tan? ?

2? ? ? 13? ? ? 17? ? , ? ? ? tan , tan? ? ? ? ? tan 5 4 ? 4 ? ? 5 ?

又: 0 ?

?
4

?

2? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 内单调递增 , 5 ? 2? 2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 。 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ? ? ?

? tan

?
4

? tan

例二、 讨论函数 y ? tan? x ?

??

? 的性质。 4?

略解: 定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? 值域:R 在 ? k? ?

? ?

?

? , k ? z? 4 ?

非奇非偶函数

? ?

3? ?? , k? ? ? 上是增函数。 4 4?

图象可看作是 y ? tan x 的图象向左平移 五、小结: y ? tan x, x ? R且x ? k? ? 六、作业:

?
2

? 单位。 4

, k ? z 的图象,性质。

2


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