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2015高考数列解答题含解析


1.【2015 高考福建,文 17】等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ? 2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

2. 【 2015 高考北京,文 16 】 (本小题满分 13 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 ,

a4 ? a3 ? 2 .
(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等?

3.【2015 高考安徽,文 18】已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn Sn ?1

4.【2015 高考湖北,文 19】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的公 比为 q.已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ?
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

5.【2015 高考山东,文 19】已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数列 ? 项和为

?

1 ? ? 的前 n ? an ? an ?1 ?

n . 2n ? 1

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

-1-

6.【2015 高考四川,文 16】设数列{an}(n=1,2,3…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a3,且 a1, a2+1,a3 成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn,求 Tn. an

7.【2015 高考天津,文 18】 (本小题满分 13 分)已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是 等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 . (I)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (II)设 cn = an bn , n ? N* ,求数列 {cn } 的前 n 项和.

8. 【 2015 高 考 浙 江 , 文 17 】 ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 满 足 ,

a1 ? 2, b1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N* ),
1 1 b1 ? b2 ? b3 ? 2 3
(1)求 an 与 bn ; (2)记数列 {an bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

1 ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . n

9.【2015 高考重庆,文 16】已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 = (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn .

9 . 2

-2-


(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ? 2



1.【2015 高考福建,文 17】等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 .

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

【答案】 (Ⅰ) an ? n ? 2 ; (Ⅱ) 2101 . 【解析】 (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由已知得 ?

? ?a1 ? d ? 4 , ? ?? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 15

解得 ?

?a1 ? 3 . ?d ? 1

所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 2 . (II)由(I)可得 bn ? 2n ? n . 所以 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 ? ? 2 ? 1? ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? ??? ? 210 ? 10

?

? ?

?

?

?

? ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 210 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 10 ?

?

2 ?1 ? 210 ? 1? 2

?

?1 ? 10 ? ?10
2

? ? 211 ? 2 ? ? 55
? 211 ? 53 ? 2101 .
2. 【 2015 高考北京,文 16 】 (本小题满分 13 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 ,

a4 ? a3 ? 2 .
(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等? 【答案】 (I) an ? 2n ? 2 ; (II) b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等.
-3-

试题解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2

(n ? 1, 2, ) .

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 , 所以 q ? 2 , b1 ? 4 . 所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 3.【2015 高考安徽,文 18】已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn Sn ?1

【答案】 (Ⅰ) an ? 2n ?1 (Ⅱ) 【解析】

2n ?1 ? 2 2n ?1 ? 1

(Ⅰ)由题设可知 a1 ? a 4 ? a 2 ? a3 ? 8 , 又 a1 ? a4 ? 9 , 可解的 ?
3

?a1 ? 1 ?a1 ? 8 或? (舍去) ? a4 ? 8 ? a 4 ? 1

由 a 4 ? a1 q 得公比 q ? 2 ,故 a n ? a1 q n ?1 ? 2 n ?1 . (Ⅱ) S n ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? 2n ? ? 2n ? 1 1? q 1? 2

又 bn ?

an ?1 S ? Sn 1 1 ? n ?1 ? ? S n S n ?1 S n S n ?1 S n S n ?1

-4-

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ? ?S ? S ? ??? ?S ? S ? ? ? ... ? ? ?S ? S ? ?? S ?S 2 ? 3 ? n ?1 ? 1 n ?1 ? 1 ? 2 ? n

?1

1 ? ? 1

1 ?

? 1

1 ?

1

1

? 1?

1 2
n ?1

?1

.

4.【2015 高考湖北,文 19】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的公 比为 q.已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ?
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

1 ? a ? (2n ? 79), ? 2n ? 3 ?an ? 2n ? 1, ? ? n 9 【答案】 (Ⅰ) ? 或? ; (Ⅱ) Tn ? 6 ? n ?1 . n ?1 2 ? ?bn ? 2 . ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . n ? 9 ?

5.【2015 高考山东,文 19】已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数列 ? 项和为

?

1 ? ? 的前 n a ? a ? n n ?1 ?

n . 2n ? 1

(I)求数列 ?an ? 的通项公式;

-5-

(II)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

【答案】 (I) an ? 2n ? 1. (II) Tn ? 【解析】 (I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 . 9

1 1 ? ,所以 a1a2 ? 3 . a1a2 3

令 n ? 2, 得

1 1 2 ? ? ,所以 a2 a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1. (II)由(I)知 bn ? 2n ? 22 n ? 4 ? n ? 4n , 所以 Tn ? 1 ? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4 n , 所以 4Tn ? 1 ? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? ( n ? 1) ? 4 n ? n ? 4 n ?1 , 两式相减,得 ?3Tn ? 41 ? 42 ? ...... ? 4 n ? n ? 4 n ?1

?

4(1 ? 4n ) 1 ? 3n n ?1 4 ? n ? 4n ?1 ? ?4 ? , 1? 4 3 3 3n ? 1 n ?1 4 4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 ?4 ? ? . 9 9 9

所以 Tn ?

6.【2015 高考四川,文 16】设数列{an}(n=1,2,3…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a3,且 a1, a2+1,a3 成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn,求 Tn. an

【解析】(Ⅰ) 由已知 Sn=2an-a1,有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2) 即 an=2an-1(n≥2) 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1, 又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列 即 a1+a3=2(a2+1)
-6-

所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2 所以,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列 故 an=2n.

1 1 n [1 ? ( ) ] 1 1 1 1 1 2 1 2 ? n 所以 Tn= ? 2 ? ...... ? n ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ? 1? n 1 an 2 2 2 2 2 1? 2
7.【2015 高考天津,文 18】 (本小题满分 13 分)已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是 等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 . (I)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (II)设 cn = an bn , n ? N* ,求数列 {cn } 的前 n 项和. 【答案】 (I) an ? 2n ?1 , n ? N? , bn ? 2n ? 1, n ? N? ;(II) S n ? ? 2n ? 3? 2 ? 3
n

【解析】 (I)列出关于 q 与 d 的方程组,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项;(II)用错位相减法求和. 试题解析: (I) 设 {an } 的公比为 q, {bn } 的公差为 d,由题意 q ? 0 ,由已知,有 ?
4 2

?2q 2 ? 3d ? 2, 消 4 ? q ? 3d ? 10,

去 d 得 q ? 2q ? 8 ? 0, 解得 q ? 2, d ? 2 ,所以 {an } 的通项公式为 an ? 2n ?1 , n ? N? , 的通项公式为 bn ? 2n ? 1, n ? N? . (II)由(I)有 cn ? ? 2n ? 1? 2
n ?1

{bn }

,设 {cn } 的前 n 项和为 S n ,则

S n ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? 2 Sn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ?
两式相减得 ? S n ? 1 ? 2 ? 2 ?
2 3

? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 , ? ? 2n ? 1? ? 2 n , ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n ? ? ? 2n ? 3? ? 2 n ? 3,

所以 S n ? ? 2n ? 3? 2 ? 3 .
n

8. 【 2015 高 考 浙 江 , 文 17 】 ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 满 足 ,

a1 ? 2, b1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N* ),
1 1 b1 ? b2 ? b3 ? 2 3 1 ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . n
-7-

(1)求 an 与 bn ; (2)记数列 {an bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 【答案】(1) an ? 2 ; bn ? n ;(2) Tn ? (n ? 1)2
n n ?1

? 2(n ? N * )

试题解析:(1)由 a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,得 an ? 2 .
n

当 n ? 1 时, b1 ? b2 ? 1 ,故 b2 ? 2 . 当 n ? 2 时, 所以 bn ? n . (2)由(1)知, an bn ? n ? 2
2 n

b 1 n ?1 , bn ? bn ?1 ? bn ,整理得 n ?1 ? n bn n

所以 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?
3

? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1
3

2Tn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?
2

所以 Tn ? 2Tn ? ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 所以 Tn ? (n ? 1)2
n ?1

? 2n ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n)2n ?1 ? 2

?2.
9 . 2

9.【2015 高考重庆,文 16】已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 = (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 【答案】 (Ⅰ) an =

n +1 , (Ⅱ) Tn = 2n - 1 . 2

试题解析: (1)设 {an } 的公差为 d ,则由已知条件得

3? 2 9 d= , 2 2 3 化简得 a1 + 2d = 2, a1 + d = , 2 1 解得 a1 =1,d = , 2 n- 1 n +1 故通项公式 an =1+ ,即 an = . 2 2 a1 + 2d = 2,3a1 +

-8-

(2)由(1)得 b1 =1,b4 =a15 = 设 {bn } 的公比为 q,则 q 3 = 故 {bn } 的前 n 项和

15+1 =8. 2

b4 = 8 ,从而 q = 2 . b1

b1 (1 - q n ) 1? (1 2n ) Tn = = = 2n - 1 . 1- q 1- 2

-9-


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