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2015-2016学年天津市新华中学高二(上)第二次月考数学试卷(解析版)

2015-2016 学年天津市新华中学高二(上)第二次月考数学试卷
一、选择题 2 1.命题 p:?x>0,总有 x ﹣1≥0,则?p 为( ) 2 2 A.?x0≤0,使得 x ﹣1<0 B.?x0>0,使得 x ﹣1<0 2 2 C.?x>0,总有 x ﹣1<0 D.?x≤0,总有 x ﹣1<0 2.“若 x≠a 且 x≠b,则 x ﹣(a+b)x+ab≠0”的否命题是( 2 A.若 x=a 且 x=b,则 x ﹣(a+b)x+ab=0 2 B.若 x=a 或 x=b,则 x ﹣(a+b)x+ab≠0 2 C.若 x=a 且 x=b,则 x ﹣(a+b)x+ab≠0 2 D.若 x=a 或 x=b,则 x ﹣(a+b)x+ab=0
2 2 2



3.“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4.设 a<0,则抛物线 y=4ax 的焦点坐标为( A. (a,0) B. (﹣a,0) C.
2



) D.

5.过点(2,﹣2)且与双曲线

﹣y =1 有公共渐近线的双曲线方程是(

2



A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

6. 若椭圆

+y =1 上一点 A 到焦点 F1 的距离为 2, B 为 AF1 的中点, O 是坐标原点, 则|OB|

2

的值为( )21 世纪教育网版权所有 A.1 B.2 C.3 D.4

7. 设 F1、 F2 是椭圆

的左、 右焦点, P 为直线 x= )21*cnjy*com

上一点, △F2PF1

是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B. C. D.

1

8.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y =2px 的焦点的距离为 4,且 )

2

双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) ,则双曲线的焦距为( A.2 B.2 C.4 D.4

9.椭圆 到 y 轴的距离为( A. B.

的焦点为 F1,F2,点 M 在椭圆上,且 M 在以 F1F2 为直径的圆上,则 M ) D.

C.

10.设圆 C 的圆心在双曲线 C 被直线 l:x﹣ A. B.



=1(a>0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切,若圆 )

y=0 截得的弦长等于 2,则 a 的值为( C.2 D.3

二、填空题 11. (2012 秋?思明区校级期末)若抛物线 y =8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9,则点 P 的坐 标为 .21cnjy.com 12. (2015 秋?天津校级月考) 若圆 x +y =4 与圆 x +y +ax﹣6=0 (a>0) 的公共弦的长为 2 则 a= .21·cn·jy·com
2 2 2 2 2



13.已知双曲线

和椭圆

有相同的焦点,且双曲线的 . .

离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 14.下列有关命题的叙述,正确的序号为 ①若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题. 2 ②“x>5”是“x ﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件. ③曲线 与曲线

的焦点相同.

④已知命题 p: F1, F2 是平面内距离为 6 的两定点, 动点 M 在此平面内, 且满足|MF1|+|MF2|=8, 则 M 点的轨迹是椭圆;命题 q:F1,F2 是平面内距离为 6 的两定点,动点 M 在此平面内, 且满足||MF1|﹣|MF2||=6,则 M 点在轨迹是双曲线;则命题 p∧?q 是真命题. 15. 已知过抛物线 y =2px (p>0) 的焦点且斜率为 则抛物线的方程为 .21·世纪*教育网
2

的直线交抛物线于 A, B 两点, |AB|=9,

2

16. (2009 秋?西城区期末)设 a>1,则双曲线 是 .

的离心率 e 的取值范围

三、解答题 17. (2015 秋?天津校级月考)已知命题 p:|1﹣ |≤3;命题 q:x +2x+1﹣m ≤0(m>0) ,
2 2

若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.21 教育网

18. (2015 秋?天津校级月考) 已知双曲线 (p>0)的焦点 F 到双曲线的渐近线的距离为 1, (1)求抛物线 C 的方程;

的离心率为

, 若抛物线 C: y =2px

2

(2)过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点(点 A 在 x 轴下方) ,若 的斜率.

,求直线 l

19. (2015 秋?天津校级月考)已知椭圆 轴正半轴交于 A 点,与 y 轴正半轴交于点 B(0,2) ,且 作直线 l 交椭圆于不同的两点 P,Q. (1)求椭圆的方程; (2)若在 x 轴上的点 M(m,0) ,使

右焦点为 F,又椭圆与 x ,过点 D(4,0)

,求 m 的取值范围.

3

2015-2016 学年天津市新华中学高二(上)第二次月考数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题 2 1.命题 p:?x>0,总有 x ﹣1≥0,则?p 为( ) 2 2 A.?x0≤0,使得 x ﹣1<0 B.?x0>0,使得 x ﹣1<0 2 2 C.?x>0,总有 x ﹣1<0 D.?x≤0,总有 x ﹣1<0 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;规律型;简易逻辑. 【分析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 2 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题 p:?x>0,总有 x ﹣1≥0,则?p 2 为?x0>0,使得 x ﹣1<0. 故选:B. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题否定关系,是基础题. 2.“若 x≠a 且 x≠b,则 x ﹣(a+b)x+ab≠0”的否命题是( ) 2 A.若 x=a 且 x=b,则 x ﹣(a+b)x+ab=0 2 B.若 x=a 或 x=b,则 x ﹣(a+b)x+ab≠0 2 C.若 x=a 且 x=b,则 x ﹣(a+b)x+ab≠0 2 D.若 x=a 或 x=b,则 x ﹣(a+b)x+ab=0 【考点】四种命题. 【专题】常规题型. 【分析】根据命题否定的规则进行求解,注意“且”的否定为:“或”; 【解答】解:∵若 x≠a 且 x≠b,则 x ﹣(a+b)x+ab≠0”,∵对且否定是或,对不等于否定是 等于,21 教育名师原创作品 2 ∴其命题的否定为:若 x=a 或 x=b,则 x ﹣(a+b)x+ab=0, 故选 D. 【点评】此题考查四种命题中的否命题,注意一些常见的否定词,此题是一道基础题; 3.“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 【考点】直线与圆的位置关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 2 2 【分析】直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切,求出 a 和 b 的关系结合条件 a=b, 判断充要条件关系. 【解答】解:若 a=b,则直线与圆心的距离为 ∴y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切 若 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切,则
2 2 2 2 2 2 2 2

等于半径,

4

∴a﹣b=0 或 a﹣b=﹣4 故“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切”的充分不必要条件. 故选 A. 【点评】本题考查直线和圆的位置关系,充要条件的判定,是有点难度的基础题. 4.设 a<0,则抛物线 y=4ax 的焦点坐标为( A. (a,0) B. (﹣a,0) C.
2 2 2

) D.

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;规律型;函数思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】化简抛物线方程为标准形式,然后求解焦点坐标即可. 【解答】解:a<0,则抛物线 y=4ax 的标准方程为:x = 标为: .
2 2

,焦点坐标在 y 轴上,焦点坐

故选:C. 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,考查计算能力.
2

5.过点(2,﹣2)且与双曲线

﹣y =1 有公共渐近线的双曲线方程是(



A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

【考点】双曲线的标准方程. 【分析】设所求双曲线方程为 到所求的双曲线方程. 【解答】解:设所求双曲线方程为 把(2,﹣2)代入方程 ﹣y =λ,
2

﹣y =λ,把(2,﹣2)代入方程

2

﹣y =λ,求出 λ,可得

2

﹣y =λ,

2

解得 λ=﹣2.由此可求得所求双曲线的方程为



故选 A. 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程,解题时要注意公式的灵活运用.
2

6. 若椭圆

+y =1 上一点 A 到焦点 F1 的距离为 2, B 为 AF1 的中点, O 是坐标原点, 则|OB|

的值为( ) 【出处:21 教育名师】 A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据椭圆的定义得:|AF2|=6﹣2=4,OB 是△AF1F2 的中位线,由此能求出|OB|的值

5

【解答】解:∵椭圆

+y =1,

2

∴a=3, ∵A 到焦点 F1 的距离为 2, ∴|AF2|=6﹣2=4, ∵O 是 F1F2 的中点,B 为 AF1 的中点, ∴B 是△AF1F2 的中位线, ∴|OB|= =2.

故选:B. 【点评】本题考查椭圆的定义和三角形的中位线,考查基础知识的灵活运用.

7. 设 F1、 F2 是椭圆

的左、 右焦点, P 为直线 x= )www-2-1-cnjy-com

上一点, △F2PF1

是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】利用△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据 P 为直线 x= 一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率. 【解答】解:∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1| ∵P 为直线 x= ∴ ∴ 故选 C. 上一点 上

【点评】本题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于基础题.

6

8.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y =2px 的焦点的距离为 4,且

2

双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) ,则双曲线的焦距为( ) A.2 B.2 C.4 D.4 【考点】双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据题意,点(﹣2,﹣1)在抛物线的准线上,结合抛物线的性质,可得 p=4,进 而可得抛物线的焦点坐标, 依据题意, 可得双曲线的左顶点的坐标, 即可得 a 的值, 由点 (﹣ 2,﹣1)在双曲线的渐近线上,可得渐近线方程,进而可得 b 的值,由双曲线的性质,可得 c 的值,进而可得答案.2-1-c-n-j-y 【解答】解:根据题意,双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) , 即点(﹣2,﹣1)在抛物线的准线上,又由抛物线 y =2px 的准线方程为 x=﹣ ,则 p=4, 则抛物线的焦点为(2,0) ; 则双曲线的左顶点为(﹣2,0) ,即 a=2; 点(﹣2,﹣1)在双曲线的渐近线上,则其渐近线方程为 y=± x, 由双曲线的性质,可得 b=1; 则 c= ,则焦距为 2c=2 ; 故选 B. 【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质,注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线 的交点坐标为(﹣2,﹣1)”这一条件的运用,另外注意题目中要求的焦距即 2c,容易只计 算到 c,就得到结论.
2

9.椭圆 到 y 轴的距离为( A. B.

的焦点为 F1,F2,点 M 在椭圆上,且 M 在以 F1F2 为直径的圆上,则 M ) D.

C.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设出 M,求出 F2,F1 坐标,M 在以 F1F2 为直径的圆上,运用向量的数量积为 0, 可得等式,联立求出 M 点的横坐标即可求出答案. 【版权所有:21 教育】 【解答】解:设 M(x,y)则 ∵椭圆 ① ,0) ,F2( ,0) , =( ﹣x,﹣y)=0,

的焦点为 F1,F2,∴F1(﹣ =(﹣

M 在以 F1F2 为直径的圆上, ∵
2 2

﹣x,﹣y) ,

=0,∴x ﹣3+y =0,②

7

由①②知 x = ,x= M 到 y 轴的距离为: .

2



故选:B. 【点评】本题综合考查了向量在圆锥曲线中的应用,属于计算题.

10.设圆 C 的圆心在双曲线



=1(a>0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切,若圆 )www.21-cn-jy.com

C 被直线 l:x﹣ y=0 截得的弦长等于 2,则 a 的值为( A. B. C.2 D.3 【考点】圆与圆锥曲线的综合. 【专题】计算题. 【分析】圆 C 的圆心 C( 的距离可求出圆 C 方程

,0) ,双曲线的渐近线方程为
2

x±ay=0,再由 C 到渐近线

+y =2. 由 l 被圆 C 截得的弦长是 2 及圆 C 的半径



可知

=1,由此能求出 a 的值. 【来源:21·世纪·教育·网】 ,0) ,

【解答】解:圆 C 的圆心 C( 双曲线的渐近线方程为 C 到渐近线的距离为 d=
2

x±ay=0, = ,

故圆 C 方程

+y =2. 可知,

由 l 被圆 C 截得的弦长是 2 及圆 C 的半径为 圆心 C 到直线 l 的距离为 1, 即 =1,

∴a= . 故选 A. 【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用. 二、填空题 2 11. (2012 秋?思明区校级期末)若抛物线 y =8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9,则点 P 的坐 标为 (7,±2 ) . 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

8

【分析】设 P 的坐标为(m,n) ,根据抛物线的定义得 m+2=9,解出 m=7,再将点 P(7,n) 代入抛物线方程,解之可得 n= ,由此得到点 P 的坐标. 【解答】解:设 P(m,n) ,则 2 ∵点 P 到抛物线 y =8x 焦点的距离为 9, 2 ∴点 P 到抛物线 y =8x 准线 x=﹣2 的距离也为 9,可得 m+2=9,m=7 2 ∵点 P(7,n)在抛物线 y =8x 上 2 ∴n =8×7=56,可得 n= = 因此,可得点 P 的坐标为(7,±2 ) 故答案为: (7,±2 ) 【点评】本题给出抛物线上一点 P 到焦点的距离,求点 P 的坐标,着重考查了抛物线的标 准方程和简单几何性质的知识,属于基础题. 12. (2015 秋?天津校级月考) 若圆 x +y =4 与圆 x +y +ax﹣6=0 (a>0) 的公共弦的长为 2 , 则 a= ±2 . 【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】将两圆的方程相减,化简得 ay﹣2=0,即为两圆的公共弦所在直线方程.再由两圆 的公共弦长为 2 ,根据垂径定理建立关于 a 的等式,解之即可得到实数 a 的值. 2 2 【解答】解:圆 x +y =4 的圆心为原点 O,半径 r=2. 2 2 2 2 将圆 x +y =4 与圆 x +y +ay﹣6=0 相减, 可得 ay﹣2=0,即得两圆的公共弦所在直线方程为 ay﹣2=0. 原点 O 到 ay﹣2=0 的距离 d=| | 设两圆交于点 A、B, 由|AB|=2 ,根据垂径定理可得 = ,解之得 a=±2.
2 2 2 2

故答案为:±2. 【点评】本题给出两圆的公共弦长,求参数 a 之值.着重考查了圆的标准方程与圆的性质、 圆与圆的位置关系等知识,属于中档题. 【来源:21cnj*y.co*m】

13.已知双曲线

和椭圆

有相同的焦点,且双曲线的

离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 【考点】圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先利用双曲线



和椭圆有相同的焦点求出 c=

,再利

用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出 a=2,即可求双曲线的方程.

9

【解答】 解: 由题得, 双曲线 0) ,c= : = = ?a=2.?b =c ﹣a =3,
2 2 2

的焦点坐标为 (

, 0) , (﹣



且双曲线的离心率为 2×

双曲线的方程为

=1.

故答案为:

=1.

【点评】本题是对椭圆与双曲线的综合考查.在做关于椭圆与双曲线离心率的题时,一定要 注意椭圆中 a 最大,而双曲线中 c 最大. 14.下列有关命题的叙述,正确的序号为 ②④ . ①若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题. ②“x>5”是“x ﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件. ③曲线 与曲线 的焦点相同.
2

④已知命题 p: F1, F2 是平面内距离为 6 的两定点, 动点 M 在此平面内, 且满足|MF1|+|MF2|=8, 则 M 点的轨迹是椭圆;命题 q:F1,F2 是平面内距离为 6 的两定点,动点 M 在此平面内, 且满足||MF1|﹣|MF2||=6,则 M 点在轨迹是双曲线;则命题 p∧?q 是真命题. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题;对应思想;综合法;简易逻辑. 【分析】由复合命题的真假判断判断①;求解一元二次不等式,然后结合充分必要条件的判 断方法判断②;由椭圆和双曲线的性质判断③;由椭圆和双曲线的定义结合复合命题的真 假判断判定④. 【解答】解:①p∨q 为真命题,包括 p、q 一真一假,此时 p∧q 为假命题,故①错误; ②由 x ﹣4x﹣5>0,得 x<﹣1 或 x>5,∴“x>5”是“x ﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件,故 ②正确; ③曲线 是焦点在 x 轴上的椭圆,c =20﹣m﹣6+m=14.
2 2 2

曲线

是焦点在 y 轴上的双曲线,∴两曲线焦点不同,故③错误;

④命题 p:F1,F2 是平面内距离为 6 的两定点,动点 M 在此平面内,且满足|MF1|+|MF2|=8, 则 M 点的轨迹是椭圆,此命题为真命题;命题 q:F1,F2 是平面内距离为 6 的两定点,动 点 M 在此平面内,且满足||MF1|﹣|MF2||=6,则 M 点在轨迹是双曲线,此命题为假命题;则 命题 p∧?q 是真命题,故④正确. 故答案为:②④.

10

【点评】本题考查命题的直接判断与应用,考查了复合命题的真假判断,考查充分必要条件 的判断方法,考查圆锥曲线的定义和性质,是基础题. 15. 已知过抛物线 y =2px (p>0) 的焦点且斜率为 2 则抛物线的方程为 y =8x . 【考点】抛物线的标准方程. 【分析】 设直线 AB 的方程为:
2

的直线交抛物线于 A, B 两点, |AB|=9,

. 与抛物线的方程联立可得 4x ﹣5px+p =0,

2

2

利用根与系数的关系可得 x1+x2.再利用弦长公式|AB|=x1+x2+p,即可得到 p. 【解答】解:设直线 AB 的方程为: .

联立

,化为 4x ﹣5px+p =0,

2

2

∴x1+x2=

. ,解得 p=4.

∵|AB|=9=x1+x2+p,∴
2

∴抛物线的方程为:y =8x. 2 故答案为:y =8x. 【点评】本题考查了直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式,属于中档题.

16. (2009 秋?西城区期末)设 a>1,则双曲线 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】 由双曲线的方程可得, = <5, 从而得到离心率 e 的取值范围. 【解答】解:由双曲线的方程可得 c= = =

的离心率 e 的取值范围是

, 由 a>1 可得 2<2+ +



∴ = ∴2+0+0<2+ + 故答案为:

= <2+2+1,∴ .

,∵a>1, < < ,

11

【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质,不等式的性质的应用,求得 = 解题的关键. 三、解答题 17. (2015 秋?天津校级月考)已知命题 p:|1﹣ |≤3;命题 q:x +2x+1﹣m ≤0(m>0) ,
2 2

,是

若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.2·1·c·n·j·y 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;定义法;简易逻辑. 【分析】先化简命题 p,q,将条件¬p 是¬q 的必要不充分条件,转化为 q 是 p 的必要不充 分条件,进行求解. 21*cnjy*com 【解答】解:由|1﹣ 即﹣3≤
2

|≤3 得:﹣3≤1﹣

≤3,

﹣1≤3,即﹣2≤
2

≤4,解得﹣3≤x≤9,

由 x +2x+1﹣m ≤0(m>0) ,得[x+(1﹣m)][x+(1+m)]≤0, 即﹣1﹣m≤x≤﹣1+m,m>0, 若¬p 是¬q 的必要不充分条件, 即 q 是 p 的必要不充分条件, 即 ,即 ,

解得 m≥10. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用逆否命题的等价性,将条件进行转 化是解决本题的关键,主要端点等号的取舍.

18. (2015 秋?天津校级月考) 已知双曲线 (p>0)的焦点 F 到双曲线的渐近线的距离为 1, (1)求抛物线 C 的方程;

的离心率为

, 若抛物线 C: y =2px

2

(2)过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点(点 A 在 x 轴下方) ,若 的斜率. 【考点】双曲线的应用;抛物线的标准方程. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

,求直线 l

12

【分析】 (1)利用双曲线
2

的离心率为

,可得双曲线的渐近线的方程为

y=±

x,根据抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点 F 到双曲线的渐近线的距离为 1,即可求

抛物线 C 的方程; (2)利用 ,求出 A,B 的坐标,利用斜率公式,可得结论.

【解答】解: (1)∵双曲线

的离心率为



∴ = ∴ =

, , x,

∴双曲线的渐近线的方程为 y=±
2

∵抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点 F 到双曲线的渐近线的距离为 1,



=1,∴p=4,
2

∴抛物线 C 的方程为 y =8x; (2)抛物线的焦点 F(2,0) 设 A(x,y) ,B(m,n) , (y<0) ,则 ∵ ,∴(2﹣x,﹣y)= (m﹣2,n)

∴m=8﹣3x,n=﹣3y ∵A,B 都在抛物线上 2 2 ∴y =8x,9y =8(8﹣3x) ∴x= , ∴y=﹣ , = .

∴AB 的斜率就是

【点评】 本题考查抛物线的方程, 考查向量知识的运用, 考查学生的计算能力, 属于中档题.

19. (2015 秋?天津校级月考)已知椭圆 轴正半轴交于 A 点,与 y 轴正半轴交于点 B(0,2) ,且 作直线 l 交椭圆于不同的两点 P,Q. (1)求椭圆的方程;

右焦点为 F,又椭圆与 x ,过点 D(4,0)

13

(2)若在 x 轴上的点 M(m,0) ,使 ,求 m 的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】计算题;数形结合;分类讨论;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方 程. 【分析】 (1)由题意可得 B(0,b) ,F(c,0) ,D(
2 2 2

,0) .即可表示出





?



又 a =b +c ,即可得出椭圆的方程; (2)设 l 的方程为 y=k(x﹣4) ,与椭圆方程联立,利用△>0 即可得出 k 的取值范围;设 交点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,PQ 的中点 R(x0,y0) ,利用(2)中的根与系数的关系和 中点坐标公式可用 k 表示点 R 的坐标,当 k=0 时,容易得出 M;k≠0 时,若| ⊥l?k?kMR=﹣1,再根据 k 的取值范围即可得出. 【解答】解: (1)由题意可得 B(0,b) ,F(c,0) ,D( 于是 故 =(c,﹣b) , =2, ?
2

|=|

|?MR

,0) .

=(

﹣c,0)=(

,0)=(2,0) .

=b2=4
2 2

∴c=2,于是 a =b +c =8 ∴椭圆方程为 .

(2)点 D(4,0)在椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与椭圆 C 无交点,所 以 l 的斜率存在.
2 2 2 2

故设 l 的方程为 y=k(x﹣4) ,由

得(2k +1)x ﹣16k x+32k ﹣8=0,

依题意△=﹣(64k ﹣32)>0,k < ∴l 的斜率的取值范围为﹣ <k< .

2

2

设交点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,PQ 的中点 R(x0,y0) ,则 x1+x2=



x0=

=

,y0=k(x0﹣4)=k(

﹣4)=



当 k=0 时,P、Q 为长轴的两个顶点. 此时 M(0,0)满足| k≠0 时,若| |=| |=| |,

|?MR⊥l?k?kMR=﹣1

14

又 kMR=

÷(m﹣
2

)=
2 2 2

由 kMR?k=﹣1,即 4k =﹣(2m﹣8)k ﹣m=(8﹣2m)k ﹣m(4﹣2m)k =m. ∵0<k2< ,∴m≠2 时,k2= ∴0< < . .



解得



∴0<m<1 综上得 0≤m<1. 【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系转化为方程联立得到△ >0 即根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线之间的关系等是解题的关键.

15


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