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河南省洛阳市2014届高三上学期第一次统一考试数学理试题(B卷)

洛阳市 201 3——2014 学年(上)高三年级统一考试 数学试卷(理) B卷

本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 4 页. 共 150 分.考试时间 120 分钟. 一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有一项是 符合题目要求的. 1.设复数 z=

2 (i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 z 的虚部为 ?1 ? i

A.1 B.-i C.-1 D.i 2.已知集合 A={1,2,4},则集合 B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为 A.3 B.6 C.8 D.9 3.执行右图所示的程序框图,若输入 x=8,则输出 y 的值为 A.- C.

3 4

B.

1 2

5 2
2 2

D.3

4.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 (a+b) -c =4,C=120°,则△ABC 的面积为

A.

3 3

B.

2 3 3

C. 3

D. 2 3

y2 1 5.已知 F1,F2 是双曲线 x - = 的两个焦点,过 F1 作垂直于 x 轴的 4
2

直线与双曲线相交,一个交点为 P,则|PF2|= A.6 B.4 C.2

D.1

? x+y≤2, y ? 6.设实数 x,y 满足不等式组 ?y- x≤2, 则 的取值范围是 x+3 ? y≥1. ?
2 ] 3 1 C.[0, ] 2
A.[0,

1 2 , ] 4 3 1 1 D.[ , ] 4 2
B.[

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.12-π B.12-2π C.6-π D.4-π

·1·

8.已知 2sinα +cosα =

10 ,则 tan2α = 2
4 3
C.-

A.

3 4

B.

3 4

D.-

4 3

9.将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,则不同的分配方案有 A.30 种 B.60 种 C.90 种 D.150 种 10.已知正三棱柱 ABC- A?B ?C ? 的所有顶点都在球 O 的球面上,AB=3, AA? =2,则球 O 的体积为 A.

4? 3

B.

8? 3

C.

32? 3

D.

64? 3

11.已知 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤|f( x∈R 恒成立,且 f(

? )>0,则 f(x)的单调递增区间是 2 ? ? ? 2? A.[kπ - ,kπ + ](k∈Z) B.[kπ + ,kπ + ](k∈Z) 3 3 6 6 ? ? C.[kπ ,kπ + ](k∈Z) D.[kπ - ,kπ ](k∈Z) 2 2 1 1 12.已知函数 f(x)=|x+ |-|x- |,若关于 x 的方程 f(x)=2m 有四个不同的实根, x x
则实数 m 的取值范围是 A. (0,2) B. (2,+∞) C. (1,+∞) D. (0,1)

? )|对一切 6

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.曲线 y=x lnx 在点(e,e)处的切线方程为_____________. 14.已知 F1,F2 是椭圆 x + y =1 (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆短轴的端点,且 2 2
2 2

a

b

∠F1PF2=90°,则该椭圆的离心率为___________. 15.用 min{a,b}表示 a,b 两个数中的较小的数,设 f(x)=min{ x , x },那么由函数 y=f(x)
2

1 和直线 x=4 所围成的封闭图形的面积为_____________. 2 uuu r uuu uur r 16.在平行四边形 ABCD 中,| AD |=4,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点,若 AC · BE =4,
的图象、x 轴、直线 x= 则| AB |______________.

uuu r

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
·2·

已知数列{ an }的前 n 项和 Sn =2 an - 2 (1)求数列{ an }的通项公式; (2)令 bn = log 2 a1 + log 2

n+1

+2(n 为正整数) .

a a2 1 +…+ log 2 n ,求数列{ }的前 n 项和 Tn . 2 n bn

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱 形,∠ABC=60°,平面 PAB⊥平面 ABCD, PA=PB=2AB. (1)证明:PC⊥AB; (2)求二面角 B-PC-D 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 1,2,3 三个问题,每位参赛者按问题 1,2, 3 的顺序作答,竞赛规则如下: ①每位参赛者计分器的初始分均为 10 分,答对问题 1,2,3 分别加 1 分,2 分,3 分, 答错任一题减 2 分; ②每回答一题,积分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局;当累计 分数大于或等于 12 分时,答题结束,进入下一轮;当答完三题,累计分数仍不足 12 分时,答 题结束,淘汰出局. 已知甲同学回答 1,2,3 三个问题正确的概率依次为

3 1 1 , , ,且各题回答正确与否相互之 4 2 3

间没有影响. (1)求甲同学能进入下一轮的概率; (2)用 X 表示甲同学本轮答题结束时累计分数,求 X 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 已知动圆过定点 A(0,2) ,且在 x 轴上截得的弦 MN 的长为 4. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)过点 A(0,2)作一条直线与曲线 C 交于 E,F 两点,过 E,F 分别作曲线 C 的切 线,两切线交于 P 点,当|PE|·|PF|最小时,求直线 EF 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

1- x +lnx+1. ax
·3·

(1)若函数 f(x)在[1,2]上单调递减,求实数 a 的取值范围;

(2)若 a=1,k∈R 且 k< [

1 ,设 F(x)=f(x)+(k-1)lnx-1,求函数 F(x)在 e

1 ,e]上的最大值和最小值. e

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时。用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图,AB 为圆 O 的直径,CD 为垂直于 AB 的一条弦, 垂足为 E,弦 BM 与 CD 交于点 F. (1)证明:A,E,F,M 四点共圆; (2)证明: AC +BF·BM= AB .
2
2

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴.已知直线 l 的参数方程为 ? ρ sin ? =8cosθ .
2

? x=2+tcosα , (t 为参数) .曲线 C 的极坐标方程为 ?y=t sin ? .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 x 轴的交点为 F,求

1 1 + 的值. |AF| |BF|

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 设函数 f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式 f(x)≥2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤|a-2|的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

·4·

·5·

·6·

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