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河南省洛阳市2014届高三上学期第一次统一考试数学理试题(B卷)

洛阳市 201 3——2014 学年(上)高三年级统一考试

数学试卷(理) B 卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.共

150 分.考试时间 120 分钟.

一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有一项是

符合题目要求的.

1.设复数 z= 2 (i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 的虚部为 ?1? i

A.1

B.-i

C.-1

D.i

2.已知集合 A={1,2,4},则集合 B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为

A.3

B.6

C.8

D.9

3.执行右图所示的程序框图,若输入 x=8,则输出 y 的值为

A.- 3 4

B. 1 2

C. 5 2

D.3

4.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

且 (a+b)2-c2 =4,C=120°,则△ABC 的面积为

A. 3 3

B. 2 3 3

C. 3

D. 2 3

5.已知

F1,F2 是双曲线

x2- y2 4

=1 的两个焦点,过

F1 作垂直于

x

轴的

直线与双曲线相交,一个交点为 P,则|PF2|=

A.6

B.4

C.2

? x+y≤2,

6.设实数

x,y

满足不等式组

??y-x≤2, ?? y≥1.



y x+3

的取值范围是

D.1

A.[0, 2 ] 3

B.[ 1 , 2 ] 43

C.[0, 1 ] 2

D.[ 1 , 1 ] 42

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.12-π

B.12-2π

C.6-π

D.4-π

·1·

8.已知 2sinα +cosα = 10 ,则 tan2α = 2

A. 3 4

B. 4 3

C.- 3 4

D.- 4 3

9.将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,则不同的分配方案有

A.30 种

B.60 种

C.90 种

D.150 种

10.已知正三棱柱 ABC- A?B?C? 的所有顶点都在球 O 的球面上,AB=3, AA? =2,则球 O

的体积为

A. 4? 3

B. 8? 3

C. 32? 3

D. 64? 3

11.已知 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤|f( ? )|对一切 6

x∈R 恒成立,且 f( ? )>0,则 f(x)的单调递增区间是 2

A.[kπ - ? ,kπ + ? ](k∈Z)

3

6

B.[kπ + ? ,kπ + 2? ](k∈Z)

6

3

C.[kπ ,kπ + ? ](k∈Z) 2

D.[kπ - ? ,kπ ](k∈Z) 2

12.已知函数 f(x)=|x+ 1 |-|x- 1 |,若关于 x 的方程 f(x)=2m 有四个不同的实根,

x

x

则实数 m 的取值范围是

A.(0,2)

B.(2,+∞) C.(1,+∞)

D.(0,1)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.曲线 y=x lnx 在点(e,e)处的切线方程为_____________. 14.已知 F1,F2 是椭圆 x2 +y2 =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆短轴的端点,且
a2 b2
∠F1PF2=90°,则该椭圆的离心率为___________.
15.用 min{a,b}表示 a,b 两个数中的较小的数,设 f(x)=min{ x2 , x },那么由函数 y=f(x)

的图象、x 轴、直线 x= 1 和直线 x=4 所围成的封闭图形的面积为_____________. 2

uuur

uuur uur

16.在平行四边形 ABCD 中,| AD |=4,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点,若 AC · BE =4,

uuur 则| AB |______________.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
·2·

已知数列{ an }的前 n 项和 Sn =2 an - 2n+1 +2(n 为正整数).

(1)求数列{ an }的通项公式;

(2)令 bn = log2 a1 + log2

a2 2

+…+ log2

an n

,求数列{ 1 bn

}的前 n 项和Tn .

18.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱 形,∠ABC=60°,平面 PAB⊥平面 ABCD, PA=PB=2AB.
(1)证明:PC⊥AB; (2)求二面角 B-PC-D 的余弦值.
19.(本小题满分 12 分) 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 1,2,3 三个问题,每位参赛者按问题 1,2, 3 的顺序作答,竞赛规则如下: ①每位参赛者计分器的初始分均为 10 分,答对问题 1,2,3 分别加 1 分,2 分,3 分, 答错任一题减 2 分; ②每回答一题,积分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局;当累计 分数大于或等于 12 分时,答题结束,进入下一轮;当答完三题,累计分数仍不足 12 分时,答 题结束,淘汰出局.
已知甲同学回答 1,2,3 三个问题正确的概率依次为 3 , 1 , 1 ,且各题回答正确与否相互之 423
间没有影响. (1)求甲同学能进入下一轮的概率; (2)用 X 表示甲同学本轮答题结束时累计分数,求 X 的分布列和数学期望.

20.(本小题满分 12 分) 已知动圆过定点 A(0,2),且在 x 轴上截得的弦 MN 的长为 4.
(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)过点 A(0,2)作一条直线与曲线 C 交于 E,F 两点,过 E,F 分别作曲线 C 的切
线,两切线交于 P 点,当|PE|·|PF|最小时,求直线 EF 的方程.

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)= 1-x +lnx+1. ax
(1)若函数 f(x)在[1,2]上单调递减,求实数 a 的取值范围;
·3·

(2)若 a=1,k∈R 且 k< 1 ,设 F(x)=f(x)+(k-1)lnx-1,求函数 F(x)在 e
[ 1 ,e]上的最大值和最小值. e
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时。用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲.
如图,AB 为圆 O 的直径,CD 为垂直于 AB 的一条弦, 垂足为 E,弦 BM 与 CD 交于点 F. (1)证明:A,E,F,M 四点共圆;
(2)证明: AC2 +BF·BM= AB2 .

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极

轴.已知直线

l

的参数方程为

?x=2+tcosα ??y=t sin?.

,

(t

为参数).曲线

C

的极坐标方程为

ρ sin2 ? =8cosθ .
(1)求曲线 C 的直角坐标方程;
(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 x 轴的交点为 F,求|A1F|+|B1F|的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 设函数 f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式 f(x)≥2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤|a-2|的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

·4·

·5·

·6·

·7·

·8·

·9·

·10·


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