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河北省冀州市冀州中学2016


2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 A 卷 文
( 考试时间:120 分钟 分值:150 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 52 分) 一、选择题:本大题共 13 小题,每小题 4 分,共 52 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 设全集 I ? {x | x2 ? 9,x ? Z} , A ? {1 , 2} , B ? {?2, ?1, 2},则 A ? (?I B) ? ( A. {1} B. {1, 2} C. {2} D. {0,1, 2} 2. 已知 z 是 z 的共轭复数,若 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i B. )

1? i C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i ? ? 3 2, 则 “ ? ? ” 是 3. 已 知 ? ? R , 向 量 a ? ? 3,? ? ,b ? ? ? ? 1, ? 5 ? ? “ a ? b ”的 ( )

2 ? ( z


开始 输入 x

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知输入的 x 值为 1 ,执行如右图所示的程序框 图, 则输出的结果为 ( ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 15 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,若 B=30°,b=2, c=2 ,则角 C= ( ) A.60°或 120° B.60° C.30°或 150° D.30° 6. 已知 x ? 1 , y ? 1 ,且 lg x , 2 , lg y 成等差数列,则 x ? y 有 ( ) A.最小值 20 B.最小值 200 C.最大值 20 D.最大值 200 7.将函数 f(x)=sin(x+ 可以是 A. ( ,0)B. (﹣ ,0) C. ( ,0) D. (﹣ )的图象向左平移

n ?1 n ? n ?1 x ? 2x ? 1

n ? 3?
否 输出 x 结束



个单位,所得函数 g(x)图象的一个对称中心 ( ,0) )

8. 现有 名女教师和 名男教师参加说题比赛,共有 道备选题目,若每位选手从中有放回地随机 选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( ) A. B. C. D.

1 9.函数 f(x)= ln|ex - e- x| 的部分图象大致是(



10.已知不等式组

?x ? y ? 4 ? 表示的平面区域为 D, 点 O(0,0)、 A(1,0),若 M 是 D 上的动点, 则向量 OA 在向量 OM ? x ? y ? ?2 , ?x ? 2 ?
方向上的投影的最小值为 2 5 A. B. 2 5 C. 10 10 ) 3 10 D. 10 ) A. (

11. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 ( B.

1 3

4 3

C.
2

8 3

D.

10 3
0

12.抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A、B 为抛物线上的两个动点,且满足 ?AFB= 120 ,过弦 |MN| AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 的最大值为( ) |AB| A. 3 3 B. 1 C. 2 3 3 D. 2

2x 2 , g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) ,若对于任意 x1 ? [0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] ,使得 13. 设 f ( x) ? x ?1 ( ) g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则 a 的取值范围是 5 5 5 A. [4,??) B. ( 0, ] C. [ , 4 ] D. [ ,?? ) 2 2 2
第Ⅱ卷(非选择题,共 98 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案直接答在答题纸上。 14.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(2,﹣1),则它的离心率为 15.若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 x ? a ? a ? 1? y ? a 2 ? 1 ? 0 垂直,则 a = 16. 某小卖部销售某品牌的饮料的零售价与销量间的关系统计如下 : 单价 x(元) 销量 y(瓶) 3.0 50
? ?

. 3.8 35 4.0 28

3.2 44
?
?

3.4 43

3.6 40

已知 x,y 的关系符合回归方程 y ? b x ? a ,其中 b =-20.若该品牌的饮料的进价为 2 元,为使利 润最大,零售价应定为________元. 17. 已知定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 的导函数为
x

f ' ( x) ,若对于任意实数 x ,有 f (x) ? f '(x)



且 y ? f ( x) ? 1 为奇函数,则不等式 f ( x) ? e 的解集为 三、解答题:本大题共 7 小题,共 82 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18. (本小 题满分 12 分) 数列{an}是以 d(d≠0)为公差的等差数列,a1=2,且 a2,a4,a8 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn= 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅰ)求 m 的值; (n∈N*) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

?

? ? ) ? cos(2 x ? ) ? m sin 2 x (m ? R) , f ( ) ? 2 . 3 6 12

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 b ? 2 , f ( ) ? 3 , ?ABC 的面积是 3 , 求 ?ABC 的周长.

B 2

20. (本小题满分 12 分) 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,一经推出便风靡全国,甚至涌 现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间, 某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名,其中每天玩微信超过 6 小时的用户 为“A 组”,否则为“B 组”,调查结果如下: A组 B组 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 (Ⅰ)根据以上数据,能否有 60%的把握认为“A 组”用户与“性别”有关? (Ⅱ)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份,求所抽取 5 人中“A 组”和“B 组”的人数; (Ⅲ)从(2)中抽取的 5 人中再随机抽取 2 人赠送 200 元的护肤品套装,求这 2 人中至少有 1 人在 “A 组”的概率. 参考公式: K 2 ? 参考数据:

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量. (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635

P(K 2 ? k0 )
k0

21.(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ? 2 ,

?ACB ? 120? , D 为 A1B1 的中点.
(Ⅰ)证明: AC 1 / / 平面 BC1 D ;

ABC 的射影在 AC 上, (Ⅱ) 若 A1 A ? AC 点A 1 , 1 在平面
且侧面 A 求三棱锥 A1 ? BC1D 的体 1 ABB 1 的面积为 2 3 , 积.

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) 的左焦点为 F1 , 右顶点为 A 上顶点为 B1 , 1, a2 3 ? 2 1? 6 P 的圆心坐标为 ( 过F , ). 1、 A 1、 B 1 三点的圆 2 2
22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 ? : (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m ( k , m 为常数, k ? 0 )与椭圆 ? 交于不同的两点 M 和 N . (ⅰ)当直线 l 过 E (1, 0) ,且 EM ? 2EN ? 0 时,求直线 l 的方程; (ⅱ)当坐标原点 O 到直线 l 的距离为

???? ?

??? ?

?

3 3 ,且 ?MON 面积为 时,求直线 l 的倾斜角. 2 2

23.(本小题满分 12 分)

已知 x=1 是 f(x)=2x+ +lnx 的一个极值点. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)设函数 g(x)=f(x)﹣ 围. ,若函数 g(x)在区间[1,2]内单调递增,求实数 a 的取值范

24. (本小题满分 10 分) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重合, 且取相同的长度单位.曲线 C1: ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 7 ? 0 ,和 C2: ?

? x ? 8cos ? ?? 为参数? . ? y ? 3sin ?

(Ⅰ)写出 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (Ⅱ)已知点 P(-4,4),Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到曲线 C1 距离的最小值. 河北冀州中学 2016-2017 学年度下学期期中高二年级文科数学答案 A 卷:1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C 9. D 10. C 11.D 12. A 13.C B 卷:1.C 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9. D 10. B 11.D 12. B 13.B 14. .15. 0 或 ?

3 2

16. 3.75

17. (0, ??)

18.解: (Ⅰ)由 a2,a4,a8 成等比数列, 2 2 ∴(2+3d) =(2+d) (2+7d) ,整理得:d ﹣2d=0, ∵d=2,d=0(舍去) , ∴an=2+2(n﹣1)=2n, 数列{an}的通项公式 an=2n; (Ⅱ)若 bn= = + = + , +?+

数列{bn}的前 n 项和 Tn=1 =1﹣ = .

19. 解: (Ⅰ)∵ f ( ∴ f(

?

?

12 解得: m ? 1 ??????????????????????4 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? sin(2 x ?

) ? sin(2 ?

? ? ? ? ? ? m ? ) ? cos(2 ? ? ) ? m sin(2 ? ) ? sin ? cos ? ? 2 12 3 12 6 12 2 3 2

?

12

)?2

?

? sin 2 x cos

?
3

? cos 2 x sin

?
3

) ? cos(2 x ? ) ?sin 2 x 3 6

?

? cos 2 x cos

?

? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ???????????????????6 分 3 B ? ∴ f ( ) ? 2sin( B ? ) ? 3 2 3

?

6

? sin 2 x sin

?

6

+ sin 2 x ,

∵0 ? B ?? , 又∵ S?ABC ?

? ? 4? ? 2? ? ? B? ? ,则 B ? ??????????8 分 ,∴ B ? ? 3 3 3 3 3 3

1 3 ac sin B ? ac ? 3 ∴ ac ? 4 ???????????????10 分 2 4 ∵ b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? (a ? c)2 ? 3ac ? 4 ∴ (a ? c)2 ? 4 ? 12 ? 16 ,∴ a ? c ? 4 ∴ ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 6 ??????????????????12 分
20. 解: (Ⅰ)由列联表可得

n ? ad ? bc ? 100 ? ? 26 ? 20 ? 30 ? 24 ? K ? ? ? 0.649 ? 0.708 -----2 分 56 ? 44 ? 50 ? 50 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2 2

没有 60%的把握认为“A 组”用户与“性别”有关------------------4 分 (Ⅱ)由题意得所抽取的 5 位女性中, “A 组”3 人, “B 组”2 人。---------6 分 (Ⅲ)设 A 组为

? a1, a2 , a3 ? ,B 组为 ?b1, b2 ? ----------------7 分

从这 5 人中任取 2 人,基本事件空间

? ? ?? a1, a2 ? , ? a1, a3 ? , ? a2 , a3 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a2 , b1 ?? a2 , b2 ?? a3 , b1 ? , ?a3 , b2 ? , ?b1, b2 ??
-----------------------10 分

9 .---------------------12 分 10 21. (Ⅰ)证明:连接 B1C 交 BC1 于点 E ,连接 DE . 则 E 为 B1C 的中点,又 D 为 A1B1 的中点,
这 2 人中至少有 1 人在“A 组”的概率是 所以 DE / / AC ,且 DE ? 平面 BC1D , AC ? 平面 BC1D , 1 1 则 AC 1 / / 平面 BC1 D .

O 作 OF ? AB 于点 F ,连接 A1F . (Ⅱ)解:取 AC 的中点 O ,连接 AO 1 ,过点 ABC 的射影 O 在 AC 上,且 A1 A ? AC 因为点 A 1 在平面 1 ,
所以 AO ? 平面 ABC ,∴ AO ? AB , AO 1 1 ? OF ? O , 1 ∴ AB ? 平面 AOF ,则 A1F ? AB . 1 设 AO ? h ,在 ?ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 120? , 1 ∴ AB ? 2 3 , OF ? 由 S A1 ABB1 ?

1 1 2 , A1F ? ?h , 2 4

1 3 . ? h2 ? 2 3 ? 2 3 ,可得 A1O ? h ? 2 4 1 1 3 1 1 1 则 VA1 ? BC1D ? VB ? A1C1D ? ? A1O ? S ?A1C1D ? ? ? ? ? 2 ? 2sin120? ? . 3 3 2 2 2 4 1 所以三棱锥 A1 ? BC1D 的体积为 . 4 a 1 1 22.解: (Ⅰ)? A 1 (a,0) , B1 (0,1) ,? A 1B 1 的中点为 ( , ) , A 1B 1 的斜率为 ? 2 2 a 1 a ∴ A1B1 的垂直平分线方程为 y ? ? a ( x ? ) ???????????2 分 2 2 P ∵圆 P 过点 F 、 、 三点,∴圆心 在 A B A1B1 的垂直平分线上. 1 1 1

1? 6 1 3? 2 a ? ? a( ? ) ,解得 a ? 3 或 a ? ? 2 (舍) 2 2 2 2 2 x ? 椭圆的方程为: ? y 2 ? 1????????????????????4 分 3 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ?

? x2 2 ? ? y ?1 由? 3 可得: (3k 2 ? 1) y 2 ? 2my ? m2 ? 3k 2 ? 0 ? y ? kx ? m ? 2m m 2 ? 3k 2 ? y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? ??③?????????????????5 分 3k ? 1 3k 2 ? 1 (ⅰ) ? 直线 l 过 E (1, 0) ,? k ? m ? 0 ??④ ???? ? ??? ? ? ? EM ? 2EN ? 0 ,?( x1 ?1, y1 ) ? 2( x2 ?1, y2 ) ? (0,0)
从而 y1 ? 2 y2 ? 0 ??⑤ 由③④⑤可得: k ? 1, m ? ?1 ,或 k ? ?1, m ? 1

? 直线 l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 ???????????????8 分
(ⅱ)? 坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 , 2

?

|m| k 2 ?1

?

3 3 ? m 2 ? (k 2 ? 1) ??⑥ 4 2

结合③: | MN |? 1 ?

1 1 | y2 ? y1 |? 1 ? 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 k k

? 1?

1 2m 2 m2 ? 3k 2 ??⑦ ? ( ) ? 4 ? k2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) (3k 2 ? 1) 2

由⑥⑦得: | MN |?

? S ?MON

1 3 3 3( k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? | MN | ? ? ?????????????10 分 2 2 4 (3k 2 ? 1) 2

? ?MON 面积为

3 , 2 3 3( k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) 3 3 ? 由 可得: k ? ? 2 2 4 (3k ? 1) 2 3 3 3 ? 5? 由于 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? 或 ? ? ??????????????????12 分 6 6
设直线 l 的倾斜角为 ? ,则 tan ? ? ? 23. 解: (Ⅰ)f′(x)=2﹣ + ,

x=1 是 f(x)=2x+ +lnx 的一个极值点, 故 f′(1)=2﹣b+1=0,解得:b=3;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:g(x)=2x+ +lnx﹣ ﹣ =2x+lnx﹣ , 若函数 g(x)在区间[1,2]内单调递增, 则 g′(x)=2+ +
2

=



则 2x +x+a≥0 在[1,2]恒成立, 即 a≥﹣2x2﹣x 在[1,2]恒成立, 令 h(x)=﹣2x2﹣x=﹣2 + ,x∈[1,2],

h(x)在[1,2]递减,h(x)max=h(1)=﹣3, 故 a≥﹣3. 24.解:(Ⅰ)曲线 C1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 ,曲线 C2 的普通方程为

x2 y 2 ? ?1 64 9

(Ⅱ)设曲线 C2 上的点 Q ?8cos? ,3sin ? ? 则 PQ 中点为 M ? 4cos ? ? 2,

? ?

x ? 2 y ? 7 ? 0 的距离为 d ?

4cos? ? 2 ? 3sin ? ? 4 ? 7 5
8 5 5

?

5sin ?? ? ? ? ? 13 5

3sin ? ? 4 ? ? ,M 到直线 2 ?
, 所以当

sin ?? ? ? ? ? 1时, d 的最小值为


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